一次函数的应用：行程问题、利润最值问题、梯度计费问题、方案选择问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数四大应用场景，通过真实情境问题构建从建模到求解的完整逻辑链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|3例+3变式|含图像分析、相遇追及、往返运动|从表格数据抽象一次函数，结合图像解决多过程运动问题| |利润最值问题|3例+3变式|涉及成本控制、销量约束、目标函数|利用一次函数单调性，结合不等式条件求最优方案| |梯度计费问题|3例+3变式|分段计价（费用、用量）|建立分段函数模型，通过分类讨论解决多档计费问题| |方案选择问题|3例+3变式|多方案比较、最优决策|构建不同函数关系，通过方程与不等式选择经济方案|

一次函数的应用：行程问题、利润最值问题、梯度计费问题、方案选择问题专项训练 一次函数的应用：行程问题、利润最值问题、梯度计费问题、方案选择问题专项训练 考点目录 行程问题 利润最值问题 梯度计费问题 方案选择问题 考点一 行程问题 例1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 100 160 200 显示剩余电量 100 70 52 40 【建立模型】 (1)表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 (2)五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 【答案】(1)， (2)①15，40；②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米；③该车在服务区至少需要充电27.5分钟 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据图象可得出时，e的值，再将代入即可； ②分情况讨论：当汽车离开服务区前，当汽车离开服务区后，当汽车在服务区充电时，三种情况求解即可； ③设该车在服务区充电y分钟，根据题意列出电量与时间和行驶路程的关系式，由保证仪表盘不亮起黄灯得出，从而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，两个函数都为一次函数， 设，， 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：； 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：． （2）解：①由图可知，该车到达贺州黄姚古镇时，，显示剩余电量e为； 该车进入服务区充电前，， 将代入，得：， ∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e为； ②由题意知，汽车每千米耗电量为：， 设该车距离出发点x千米， （i）当汽车到达服务区前， ， 解得：； （ii）当汽车离开服务区后，走完剩余路程的耗电量为， ∴， 解得：； （iii）当汽车在服务区充电时，汽车最终达到的电量为：， 汽车显示剩余电量e的值为从40变为90， ∴当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点200千米， 综上所述，当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米； ③设该车在服务区充电y分钟， 由题意知，， ∴， ∴该车在服务区至少需要充电27.5分钟． 例2．（2026·河北沧州·模拟预测）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式； (2)求小明、小丽第二次相遇时x的值； (3)当时，若，求x的值． 【答案】(1)线段所在直线的函数表达式为，线段所在直线的函数表达式为 (2)22.5 (3)x的值为20.5或24.5 【分析】（1）根据图象及题干信息，可得出线段所在直线为正比例函数表达式，结合点G的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段对应的速度，即为一次函数中的k值，结合点C的坐标，可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点F时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点F的横坐标，得其所对应的x值； （3）根据题意，可得出当时，恰好在线段所在范围内，故，解出对应的x值即可． 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，设线段的表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， ∴段的速度也为， 根据题意可知，点， ∴设线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点F所对应的x值， ∴， ∴， 解得，即， ∴小明、小丽第二次相遇时x的值为22.5． （3）解：当时，得， ∴， ∴当时，恰好在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得，， ∴当时，若，x的值为20.5或24.5． 例3．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 【答案】(1)500 (2)x的值为20； (3) 【分析】（1）根据函数图象可直接得出结果； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：（米）； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ， 解得： ∴． 变式1．（2026·吉林长春·二模）已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 【答案】(1) (2)两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距 【分析】（1）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设客车、货车两车相距时，客车行驶了，分三种情况：其一是两车相遇前，两车相距；其二是两车相遇后客车到达乙地前两车相距；其三是货车静止，客车到达乙地后返程途中两车相距；列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）. （2）解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距． 变式2．（2026·吉林长春·一模）甲同学骑共享单车保持匀速从A地到B地，到达B地后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回A地．设甲同学距离A地的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． (1) ； (2)在甲同学从B地返回A地的过程中，求y与x之间的函数关系式； (3)在甲同学从A地出发的同时，乙同学以的速度从B地匀速步行去A地，到达A地后停止．直接写出当乙同学到达A地前，乙同学与甲同学之间的距离为时，甲同学的运动时间． 【答案】(1)14 (2)y (3)6或 【分析】（1）根据题意，从A地到B地与B地回A地的路程和速度相等，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，将图象中的两个点代入解析式求得k、b即可求解； （3）本题需要进行分类讨论，分别以当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距，当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距两种情况列式求解即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，从A地到B地与B地回A地的路程和速度相等，则所用时间也相等， ∴， ∴； （2）解：设y与x之间的函数关系式为， 将与代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：根据题意，B地到A地的距离为，乙同学从B地匀速步行去甲同学A地速度为， 当时，，当时，， 设对应的函数解析式为， 把和代入得， 解得， ∴对应的函数解析式为：， 甲同学从A地去往B地的途中，对应的函数解析式为：， ①当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距， ∴， 解得； ②当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距， ∴ ， 解得； ∴综上所述：x的值为6或． 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为__________； (2)当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据函数图象获取信息得到答案即可； ②根据速度的计算公式计算即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：①张华的速度为：， 张华离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图象可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图象可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； 填表如下： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②由图像可得张华从文化广场返回家所用时间为：，文化广场到家的距离为：，故张华从文化广场返回家的速度为：； （2）解：当时，设张华离家的距离关于时间的函数解析式为，把代入得：， 解得：， ∴此时； 当时，； 当时，设张华离家的距离关于时间的函数解析式为，把，代入得：， 解得：， ∴此时； 综上，． 考点二 利润最值问题 例1．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． (2)购买A品牌毽子100个，B品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 【分析】（1）设未知数建立二元一次方程组，利用题目给出的价格差和总价条件求解，核心是用方程思想将文字条件转化为代数关系，从而算出两种毽子的单价． （2）根据数量限制求出变量的取值范围，再构造一次函数表示总费用，利用一次函数的单调性，在变量的可行范围内找到使费用最低的购买方案． 【详解】（1）设A品牌毽子的单价为x元，B品牌毽子的单价为y元， 根据题意，得：，解得， 所以A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． （2）设购买A品牌毽子m个，总费用为w元， 根据题意得：，解得， ， ∵，w随m的增大而增大， ∴时，总费用最少， 此时，． 所以购买品牌毽子100个，品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期中）某市从2026年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆A型电动自行车的进货单价为2500元，每辆B型电动自行车的进货单价为3000元．若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元．设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． (1)求y与m之间的函数关系式； (2)求商店能获得最大利润及此时的进货方案． 【答案】(1) 且为非负整数) (2) 购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆时可获得最大利润，最大利润为11000元. 【分析】（1）先根据总投入不超过8万元列一元一次不等式，求出自变量的取值范围，再根据总利润等于两种型号电动自行车的利润和，整理得到与的函数关系式； （2）利用一次函数的增减性，结合的取值范围，求出最大利润和对应的进货方案． 【详解】（1）解：设购进A型电动自行车辆，则购进B型电动自行车辆， 由题意，总投入不超过元， 可得， 化简得， 解得， 又，且为正整数， 因此，且为整数， 每辆A型电动自行车利润为(元)， 每辆B型电动自行车利润为(元)． 总利润. 因此与的函数关系式为（，且m为非负整数）． （2）解：由，得，因此随的增大而减小. 因为， 所以当时，取得最大值. 将代入得(元)， 此时(辆)， 答：商店获得最大利润为11000元，此时进货方案为购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆． 例3．（2026·山东济南·一模）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 变式1．（2026·云南临沧·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【答案】(1)甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克 (2)租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克 【分析】（1）设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克， 由题意，得解得 答：甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克； （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克， 由题意，得， ∵总租金不超过3000元， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（千克）， 此时，乙型无人机的数量为（架）， 答：租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克． 变式2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价/（元/件） 35 5 售价/（元/件） 45 8 小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1) (2)当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元 【分析】（1）由商品利润商品利润，可得解析式； （2）根据购进B商品的件数不少于A商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴随增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大的总利润 此时购进B商品的件数为， 答：当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元． 变式3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 【答案】(1)品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元 (2)购进品牌粽子盒时，获得最大利润元 【分析】（1）利用“数量相等”的等量关系列分式方程求解进价； （2）建立利润关于品牌数量的一次函数，结合函数增减性和约束条件，求最大利润． 【详解】（1）解：设品牌粽子每盒进价为元，则品牌粽子每盒进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，则， 故品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元． （2）解：设购进品牌粽子盒，则购进品牌粽子盒，其中， 总利润， 随的增大而减小，则当取最小值时，最大， 故最大利润为：（元）． 考点三 梯度计费问题 例1．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 变式1．（2022·河南·模拟预测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 【答案】(1)；；品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元 (2)小明选择品牌的共享电动车更省钱 (3)技术创新，提升生产工艺，降低生产成本（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）利用待定系数法求品牌的函数关系式即可；根据图象可知，品牌的函数关系式分两段求解，利用待定系数法求函数关系式即可； （2）先求出小明从家到工厂所用时间，再通过图象可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，即可得解； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设， 把点代入中，得， 解得， ． 由图象，可知当时，． 当时，设， 把点和点代入中， 得，解得， ． 品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元． （2）解：，． 由图象，可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱， ， 小明选择品牌的共享电动车更省钱． （3）解：技术创新，提升生产工艺，降低生产成本．（答案不唯一，合理即可） 变式2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 考点四 方案选择问题 例1．（2026·云南昆明·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 【答案】(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元 (2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 【分析】（1）设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元，求出，再结合题意列出一元一次不等式得出的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元． 根据题意得， 解方程组得， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元； （2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元． ， 购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的， ， ， 智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ，且为正整数． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值． 此时，． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 例2．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【答案】(1)当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱 (2)60元 【分析】（1）通过比较两种方案费用的大小关系，分三种情况讨论，得到不同打印张数下更省钱的方案； （2）根据“选择方案B比方案A多打印了20张”列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱； （2）解：设打印总费用为y元， 根据题意得， 解得 ∴使用打印总费用为60元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 例3．（25-26八年级下·四川成都·期中）为响应国家教育部的号召，多地陆续将中小学课间时长从10分钟延长至15分钟，鼓励孩子们在阳光下奔跑运动，做到“身上有汗，眼中带光”．某校据此组织学生在课间开展“匹克球”运动．该校计划采购某品牌的A、B两种匹克球套装．经了解，购买2套A型和1套B型需210元，购买1套A型和2套B型需180元． (1)求A、B两种匹克球套装的单价分别为多少元？ (2)学校决定购买A、B两种匹克球套装共50套，且购买A套装的数量不少于购买B套装的一半，请问学校怎样购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)A型匹克球套装单价为80元，B型匹克球套装单价为50元 (2)购买A型17套、B型33套时花费最少，最少费用为3010元 【分析】（1）设两种套装的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）设A型套装的购买数量，根据“A型数量不少于B型数量的一半”得到自变量的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可求出最小花费． 【详解】（1）解：设A型匹克球套装的单价为元，B型匹克球套装的单价为元． 根据题意，得 解得 答：A型匹克球套装单价为80元，B型匹克球套装单价为50元． （2）解：设购买A型套装套，总费用为元，则购买B型套装套． 根据题意，得 解不等式得 ∵为正整数， ∴的最小值为17，且 总费用 ∵， ∴随的增大而增大 ∴当时，取得最小值此时（元）， 答：购买A型17套、B型33套时花费最少，最少费用为3010元． 变式1．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数的应用：行程问题、利润最值问题、梯度计费问题、方案选择问题专项训练 一次函数的应用：行程问题、利润最值问题、梯度计费问题、方案选择问题专项训练 考点目录 行程问题 利润最值问题 梯度计费问题 方案选择问题 考点一 行程问题 例1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 100 160 200 显示剩余电量 100 70 52 40 【建立模型】 (1)表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 (2)五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 例2．（2026·河北沧州·模拟预测）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式； (2)求小明、小丽第二次相遇时x的值； (3)当时，若，求x的值． 例3．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 变式1．（2026·吉林长春·二模）已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 变式2．（2026·吉林长春·一模）甲同学骑共享单车保持匀速从A地到B地，到达B地后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回A地．设甲同学距离A地的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． (1) ； (2)在甲同学从B地返回A地的过程中，求y与x之间的函数关系式； (3)在甲同学从A地出发的同时，乙同学以的速度从B地匀速步行去A地，到达A地后停止．直接写出当乙同学到达A地前，乙同学与甲同学之间的距离为时，甲同学的运动时间． 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为__________； (2)当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； 考点二 利润最值问题 例1．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 例2．（25-26八年级下·福建福州·期中）某市从2026年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆A型电动自行车的进货单价为2500元，每辆B型电动自行车的进货单价为3000元．若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元．设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． (1)求y与m之间的函数关系式； (2)求商店能获得最大利润及此时的进货方案． 例3．（2026·山东济南·一模）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 变式1．（2026·云南临沧·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 变式2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价/（元/件） 35 5 售价/（元/件） 45 8 小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 变式3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 考点三 梯度计费问题 例1．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 变式1．（2022·河南·模拟预测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 变式2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 考点四 方案选择问题 例1．（2026·云南昆明·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 例2．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 例3．（25-26八年级下·四川成都·期中）为响应国家教育部的号召，多地陆续将中小学课间时长从10分钟延长至15分钟，鼓励孩子们在阳光下奔跑运动，做到“身上有汗，眼中带光”．某校据此组织学生在课间开展“匹克球”运动．该校计划采购某品牌的A、B两种匹克球套装．经了解，购买2套A型和1套B型需210元，购买1套A型和2套B型需180元． (1)求A、B两种匹克球套装的单价分别为多少元？ (2)学校决定购买A、B两种匹克球套装共50套，且购买A套装的数量不少于购买B套装的一半，请问学校怎样购买花费最少？最少费用是多少？ 变式1．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $