湖北随州市曾都区第一高级中学2026届高三第二阶段（四月）质量检测数学试卷

**基本信息** 2026届高三四月数学质检卷，以函数、几何、概率等核心模块为载体，通过函数导数综合题（第18题）、概率统计应用题（第19题）考查抽象能力与模型意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、双曲线、函数性质|基础概念与逻辑推理结合，如第4题偶函数性质应用| |多选|3/18|二项式定理、解三角形、抛物线|多维度辨析，如第11题抛物线与直线位置关系综合| |填空|3/15|三角函数定义、数列求和、立体几何体积|空间想象与运算能力，如第14题四棱锥外接球体积最值| |解答|5/77|数列、立体几何、椭圆、函数导数、概率统计|综合应用与创新，如第19题学术邀请情境下概率分布，体现数学建模|

2026届高三第二阶段（四月）质量检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合A＝{﹣1，2，3，5，8}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣1} C．{2，3} D．{2，3，5} 2．在复平面内，复数z的共轭复数对应的点的坐标是（1，﹣2），则（　　） A． B． C． D． 3．设a＜0且a≠﹣1，若双曲线的一条渐近线方程是，则a＝（　　） A． B． C．﹣4 D． 4．已知f（x）是偶函数，当x＞0，y＞0时，f（xy）＝f（x）+f（y）+1，则f（﹣1）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 5．已知a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（　　） A．|| B．|| C．|| D．|| 7．函数图象的对称中心为（　　） A．，k∈Z B．，k∈Z C．（kπ，0），k∈Z D．（2kπ，0），k∈Z 8．设函数f（x）ln|x|﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，则下列结论正确的是（　　） A．a0＝1 B．a1＝4044 C． D． 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，，A＝120°，则（　　） A． B．C＝30° C．△ABC的周长为 D．△ABC的面积为 11．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线l1，l2分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其A，D在第一象限，O为坐标原点，若，则（　　） A．抛物线的准线方程为y＝﹣1 B．若，则直线l1的斜率为 C．四边形ADBE的面积的最小值为64 D．若线段AB，DE的中点分别为点M，N，则△OMN与△FMN的面积之比为3：2 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣3，4），则　 　 ． 13．在数列{an}中，若a1＝3，an+1＝an+2，则它的前n项和Sn＝ 　 　 ． 14．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD．若四棱锥P﹣ABCD的体积为9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时，AP＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，2Sn＝an+1﹣3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3a1+log3a2+⋯+log3an，求数列的前n项和Tn． 16．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，． （1）求证：AB⊥平面PAC． （2）在线段BC上是否存在点D（不与B，C重合），使平面PAD与平面PAC所成锐二面角为30°？若存在，求三棱锥P﹣ABD与三棱锥P﹣ADC的体积之比；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形OAPB． （1）求|AB|的值； （2）求平行四边形OAPB面积的最大值． 18．（17分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex，， （1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间． （2）求证：． （3）令h（x）＝f（x）﹣g（x），若对任意不同的x1，x2∈[1，e]，都有|h（x1）﹣h（x2）|＜3|x1﹣x2|，求实数a的取值范围． 19．（17分）某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有n位研究员，每场会议需要邀请k位研究员作报告（n和k是固定的正整数，且n＞k）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部n位研究员中各自选择k人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为X． （1）当n＝6，k＝3时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量Yi，记“第i位研究员收到‘理论组’或‘应用组’邀请通知”为“Yi＝1”，否则记为“Yi＝0”，求P（Yi＝1），E（X）； （3）求使P（X＝m）取得最大值的整数m． 参考答案 一．选择题 1．A． 2．C． 3．A． 4．A． 5．B． 6．D． 7．A． 8．C． 二．多选题 9．ACD． 10．BD． 11．ABD． 三．填空题 12．． 13．n2+2n． 14．3． 四．解答题 15．解：（1）由2Sn＝an+1﹣3，当n＝1时，2a1＝a2﹣3， 又a1＝3，解得a2＝9； 当n≥2时，由2Sn＝an+1﹣3，得2Sn﹣1＝an﹣3， 相减可得2an＝an+1﹣an，故an+1＝3an， 由a2＝3a1，可得上式对n＝1也成立， 故{an}是首项和公比均为3的等比数列， 故． （2）由． 可得， Tn． 16．解：（1）证明：在△ABC中， 由正弦定理得，即， 所以，又AC＞AB，所以∠ACB＝30°， 所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC， 所以，所以PA＝BC＝2， 所以PA2+AB2＝PB2，则AB⊥PA， 因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC； （2）由PC2+AC2＝PA2，则PC⊥AC， 由AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，则AB⊥PC， 由AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，则PC⊥平面ABC， 结合AB⊥平面PAC，可将P﹣ABC补全为如下图所示的长方体， 构建如下图示空间直角坐标系A﹣xyz，则，且0＜k＜1， 所以， 若是平面PAD的一个法向量， 则，则， 取y＝﹣k，则， 又平面PAC的一个法向量为， 若平面PAD与平面PAC所成锐二面角为30°， 则， 所以， 整理得3k2+2k﹣1＝（k+1）（3k﹣1）＝0， 可得， 所以，线段BC上存在靠近C的三等分点， 此时S△ABD＝2S△ACD， 由， 则． 17．解：（1）因为点A，B分别在直线与上， 因此可设，， 设P（x0，y0），则， 因为四边形OAPB是平行四边形，因此， 即， 因此x1+x2＝x0，， 因此 2； （2）因为点A，B分别在直线与上， 设直线OA的倾斜角为α，则，∠AOB＝2α， ， 即，， 因此平行四边形OAPB的面积为， 在△OAB中，设|OA|＝a，|OB|＝b， ， 因此ab≤3，当且仅当a＝b时等号成立， 因此平行四边形OAPB的面积为， 当且仅当a＝b时等号成立，因此平行四边形OAPB的面积的最大值为． 18．解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）ex，f′（x）＝xex， 令f′（x）＜0，得x＜0，令f′（x）＞0，得x＞0， 所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）； （2）证明：函数的定义域为（0，+∞），求导得g′（x）＝x+lnx+1， 因为，， 所以，使得g′（x0）＝0，即x0+lnx0+1＝0，lnx0＝﹣x0﹣1， 又因为g′（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0； 所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，在（0，x0）上单调递减， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即； （3）， ∀x1，x2∈[1，e]，且x1＞x2，都有﹣3（x1﹣x2）＜h（x1）﹣h（x2）＜3（x1﹣x2）， 即， 所以h（x）﹣3x在[1，e]上单调递减，h（x）+3x在[1，e]上单调递增； 所以h′（x）﹣3≤0在[1，e]上恒成立，h′（x）+3≥0在[1，e]上恒成立； h′（x）＝axex﹣x﹣lnx﹣1＝axex﹣ln（xex）﹣1， 令t＝ln（xex），因为xex在[1，e]上单调递增， 所以xex∈[e，e1+e]，t∈[1，1+e]， 则aet﹣t﹣4≤0在t∈[1，1+e]上恒成立，aet﹣t+2≥0在t∈[1，1+e]上恒成立， 由aet﹣t﹣4≤0，得，令，则a≤ω（t）min， ，在t∈[1，1+e]上单调递减， ，所以， 由aet﹣t+2≥0，得，令，则a≥φ（t）max， ， 当t∈[1，3）时，φ′（t）＞0，φ（t）单调递增； 当t∈（3，1+e]时φ′（t）＜0，φ（t）单调递减； ，所以； 综上所述，实数a的取值范围为． 19．解：（1）设事件A表示：“研究员甲既没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 因此； （2） ； 由X＝Y1+Y2+⋯+Yn， 因此； （3）当k＝n时，m只能取n，有P（X＝m）＝P（X＝n）＝1， 当k＜n，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者， “两组各自独立、随机的选择k人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当X＝m时，同时收到两组人邀请的人数恰为2k﹣m， 仅收到一组人邀请的人数为m﹣k， 因此事件{X＝m}所含基本事件数为， 此时， 当k≤m＜t，P（X＝m）≤P（X＝m+1），即， 即， 化简得（m+1﹣k）2≤（2k﹣m）（n﹣m）， 即2m+1+k2﹣2k≤2kn﹣mn，因此， 假如，因此当（k+1）2能被n+2整除时， ， 故P（X＝m）在和处达到最大值， 因此当（k+1）2不能被n+2整除时， P（X＝m）在处达最大值，（注：[x]表示不超过x的最大整数）， 下证：， 因为1≤k＜n，因此， ， 故，显然， 因此． 学科网（北京）股份有限公司 $