重庆市长寿中学校2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试卷

**基本信息** 高三四月数学检测卷以文化传承（观星台）与科技前沿（DeepSeek）为情境载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、数列|第7题以观星台正四棱台为背景，渗透文化传承| |多选|3/18|概率统计、立体几何|第9题健身达人概率模型，体现实际应用| |填空|3/15|向量、双曲线|第14题双曲线渐近线与焦点，考查逻辑推理| |解答|5/77|导数、概率、解析几何|第18题DeepSeek培训情境，第19题“七星瓢虫曲线”创新设计，突出数学建模|

2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|x（2﹣x）＞0}，B＝{x|x＜2}，则（　　） A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A 2．已知a∈R，则“a＜2”是“|a|≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知z＝2﹣i，则|z2+1|＝（　　） A．4 B． C． D． 4．等差数列{an}中，a2+a3+a4+a5+a6＝90，求a1+a7＝（　　） A．45 B．15 C．18 D．36 5．若函数的值域是[4，+∞），则实数a取值范围为（　　） A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞） 6．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．观星台是我国现存最古老的天文台．包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产．已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高9.46米，台下正四边形边长16米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（　　） A．1388米3 B．1398米3 C．1406米3 D．1456米3 8．对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知f（x）＝sin|x|+|sinx|，g（x）＝[f（x）]，现有下列两个命题，①函数y＝g（x）是周期函数；②方程f（x）•g（x）＝x有2个实数根，则（　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为．若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（　　） A．该人一周的跑步距离为12km的概率为 B．该人一周的跑步距离为11km的概率为 C．已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D．若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为X，则X的数学期望 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　　） A．存在点P，使得A1P⊥平面BCC1B1 B．存在点P，使得A1P⊥平面BDC1 C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0 11．对于曲线（其中m，n，α均为正数），下列说法正确的是（　　） A．曲线C是轴对称图形 B．当m+n＝1，α＝1时，曲线C围成的封闭区域面积的取值范围为 C．当α＝2时，曲线C与曲线|xy|＝1有4个交点 D．当m＝n，0＜α＜1时，曲线C围成的封闭区域的面积小于2m2 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，为单位向量，且⊥，若2，则cos，　 　 ． 13．数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1＝3b1＝3，a2＝b2，b3＝3a5．若数列{cn}满足cn＝an+bn，则数列{cn}的前n项和Sn＝ 　 　 ． 14．已知F1，F2分别为双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E的一条渐近线上（第一象限内），且0，线段MF2与E交于点N，且N为MF2的中点，则E的离心率为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知． （1）求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； （2）已知函数，记方程在区间[0，21]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x3+2x4+…+2xn﹣1+xn的值． 16．（15分）已知函数． （1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线5x﹣2y+1＝0垂直，求f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数k的取值范围． 17．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是边长为4的等边三角形，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形． （1）若PC＝4，证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）若二面角P﹣AB﹣C的大小为，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 18．（17分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； （2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19．（17分）如图，由椭圆C1：1（a＞b＞0）和抛物线C2：y2＝2px（p＞0）组合成曲线Γ，C1与C2存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线Γ为“七星瓢虫曲线”．特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”． （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”Γ中，若C1是“等差椭圆”，且a＝5．直线l：y＝kx+m（km＝2）与C1相交所得弦的中点为M，与C2相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积kOM•kON为定值． 参考答案 一．选择题 1．C． 2．B． 3．B． 4．D． 5．A． 6．D． 7．D． 8．C． 二．多选题 9．ACD． 10．BC． 11．AB． 三．填空题 12．． 13．． 14．1． 四．解答题 15．解：（1） cos x ， 则f（x）的最小正周期为， 令，k∈Z，则，k∈Z， 故f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z． （2）， 若x∈[0，21]，则，， 又， 则结合正弦函数图象可知，方程g（x）在区间[0，21]上的根共有6个， 设， 则由正弦函数图象的对称性可得，t3+2t4+2t5+t6＝（t3+t4）+（t4+t5）+（t5+t6）＝5π+7π+9 π＝21π， 又， 则， 即x3+2x4+2x5+x6＝92． 16．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），， 由题意可知，解得， 所以． 由f′（x）＞0，得或x＞2， 所以函数f（x）的单调递增区间是，（2，+∞）； （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），要使函数f（x）在定义域内为增函数， 只需f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立， 即kx2﹣2x+k≥0在区间（0，+∞）上恒成立， 即在区间（0，+∞）上恒成立． 令，x∈（0，+∞）， 则，当且仅当x＝1时等号成立， 所以k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）． 17．解：（1）证明：在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则． 取AC的中点H，连接BH，PH，则BH⊥AC． 在△PAC中，，则∠APC＝90°， △PAC是以∠APC为直角的等腰三角形，故PH⊥AC． 在△PHB中，，则∠PHB＝90°． 由于PH⊥HB，PH⊥AC，HB∩AC＝H，HB，AC⊂平面ABC， 则PH⊥平面ABC． 又PH⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC． （2）以B为坐标原点，以BC，BA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），C（4，0，0），A（0，4，0）． 由于△PAB是边长为4的等边三角形，二面角P﹣AB﹣C的平面角为， 则． 设直线PA与平面PBC所成角为θ，设平面PBC的一个法向量为． 由于， 由，得， 取z＝2，则． 由于， 故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为． 18．解：（1）由题意可得，X的可能取值为0，1，2， ，， ， 分布列为： X 0 1 2 P 所以． （2）设甲，乙答对题数分别为M，N， 则M∼B（2，p1），N∼B（2，p2）， 设事件A表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜，， 则P（A）＝P（M＝1）P（N＝2）+P（M＝2）P（N＝1）+P（M＝2）P（N＝2） ， 令t＝p1p2，则，即，且t＞0， 当且仅当p1＝p2时，取等号， 则，其中， 结合二次函数性质可知，当时，即时，P（A）取得最大值． 19．解：（1）设椭圆的半焦距为c，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以2b＝a+c， 又a2＝b2+c2，所以， 则5c2+2ac﹣3a2＝0， 两边同时除以a2，得5e2+2e﹣3＝0，解得（e＝﹣1舍去）． 所以“等差椭圆”的离心率为． （2）证明：设l与相交于C（x1，y1），D（x2，y2）， 线段CD的中点M（x0，y0），则，， 两式相减，得， 所以，即（x1﹣x2）•2x0， 由已知x1≠x2，x≠0，所以， 即，则， 联立得k2x2+2（km﹣6）x+m2＝0， 又km＝2，则k2x2﹣8x+m2＝0．Δ＝64﹣4k2m2＝48＞0， 故，， 所以中点N的坐标为，可得， 所以，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $