精品解析：广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一年级下学期数学期中考试模拟（一）

深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025 级高一年级下学期 数学期中考试模拟（一） 一、单选题 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求得，再由复数的模的定义计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：C. 2. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 3. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 5. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定，可得判定①②③都不正确；根据线面平行的判定定理，可得判定④⑤都正确，即可求解. 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 6. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或，即或， 即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D错误． 故选：AB． 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：5. 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，利用母线长可求得大圆锥的底面圆半径，进而求得圆锥的高，可求大圆锥的体积，同理求得小圆锥的体积，可求圆台的体积. 【详解】圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积， 扇形所围成的大圆锥的弧长为，所围成底面圆的半径为， 所以圆锥的高为， 故扇形所围成的大圆锥的体积为. 同理可得扇形所围成的小圆锥的体积为， 所以则该圆台的体积为. 故答案为：. 14. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连结，根据极化恒等式求解即可. 【详解】取的中点，连结， 在内使用极化恒等式得 易知，故． 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线列方程，由此求得，进而求得. （2）利用向量垂直列方程，由此求得. （3）利用与的夹角是锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于，所以， 则. （2）， 由于，所以. （3）设与的夹角为，依题意为锐角， 所以. 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； 【小问2详解】 由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 18. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 是四棱柱，平行且等于， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） 平行且等于，平行且等于， 平行且等于， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面且，、平面， 平面平面； （3） 由（2）得，平面，平面， 则平面， 又平面，平面平面， ． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； （3）由线面平行证线线平行即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解； ②由三角形面积公式及向量数量积求解； （2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解； 【小问1详解】 ①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . 【小问2详解】 由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025 级高一年级下学期 数学期中考试模拟（一） 一、单选题 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 3. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、填空题 12. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 14. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $