第5章特殊平行四边形 单元测试卷-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：特殊的平行四边形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法错误的是（　） A．平行四边形的对边相等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．菱形的每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】∵平行四边形的性质为对边相等， ∴A说法正确，不符合题意， ∵正方形存在对称轴，且绕对角线交点旋转后与原图形重合， ∴正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，B说法正确，不符合题意， ∵矩形的对角线性质是互相平分且相等，不互相垂直， ∴C说法错误，符合题意， ∵菱形的性质包含每条对角线平分一组对角， ∴D说法正确，不符合题意． 2．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积． 【详解】解：∵菱形周长为，且菱形四条边相等， ∴菱形边长为 ． ∵菱形一条对角线长为，且菱形对角线互相垂直平分， ∴该对角线的一半长为 ． 根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为， 因此另一条对角线长为 ， ∴菱形面积为． 3．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 5．公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理先证明所得四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线互相垂直的条件，得到平行四边形有一个内角为直角，根据矩形定义即可得出结论． 【详解】解：如图，设任意四边形中，对角线，分别是的中点， ∵分别是的中点， 是的中位线， ∴，且， 同理可得，且，，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 即四边形灯带造型的形状一定是矩形． 6．如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，求出；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∵正方形的边长等于4， ∴， ∵点是边的中点， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 7．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 9．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】过点作，分别交于点，根据矩形的性质得到，，通过证明四边形是矩形，得到，同理可得：四边形、、都是矩形，则有，，，再根据图形面积之间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形、、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 【答案】① 【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确． ②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误． ③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误． ④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误． 12．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 13．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为． 14．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【答案】 或 【分析】根据菱形的性质，菱形邻角互补，对角线互相垂直平分，且平分内角，已知一个内角为，可得相邻内角为，需分已知对角线为短对角线和长对角线两种情况讨论，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点， 由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，， 分两种情况讨论： 当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 菱形面积， 当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，， ， 设，在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负根）， ，， 菱形面积， 15．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中．点，点，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据正方形性质得出，，利用同角的余角相等证得，进而利用证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长，结合点所在象限即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 16．将一张矩形纸片按如图方式折叠，使点落在边上的处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则_______ 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】在中，， 由折叠可得：，， 又四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ，， ，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质证明，得到，由，得到，结合已知等量代换可证得，等角对等边即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 19．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 20．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据，，判定四边形是平行四边形，再结合， 得到一个内角为直角，根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得证． （2）利用平分和四边形是矩形，结合求出 的长度，即的长度，由平分和 推出，设，利用勾股定理在中建立方程，求解得到的长度． 【详解】（1）证明：由题意易得，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， ， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 21．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，设移动的距离 (1)用x表示两个三角形重叠部分的面积 (2)若两个三角形重叠部分的面积为，求出移动的距离? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与的交点为E，与的交点为F，根据平行四边形的面积公式解答即可． （2）根据两个三角形重叠部分的面积为，建立方程解答即可． 本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的交点为E，与的交点为F， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形，且， 故， 由将边长为的正方形沿其对角线剪开， 故， 故， 故， 故， 故重叠部分的面积为：． （2）解：由两个三角形重叠部分的面积为， 得即， 解得， 故移动的距离为． 22．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 24．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：特殊平行四边形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法错误的是（　） A．平行四边形的对边相等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．菱形的每条对角线平分一组对角 2．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 5．公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 7．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 9．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 12．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 13．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 14．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 15．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中．点，点，则点的坐标是__________． 16．将一张矩形纸片按如图方式折叠，使点落在边上的处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则_______ 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，．求证：． 18．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 20．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 21．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，设移动的距离 (1)用x表示两个三角形重叠部分的面积 (2)若两个三角形重叠部分的面积为，求出移动的距离? 22．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 23．如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 24．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $