精品解析：福建省莆田砺志学校2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高一年级 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数，则（ ） A. 4 B. C. 2i D. 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. ±2 6. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 二、多选题：（每小题6分，满分18分.每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B. 单位向量是相等向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 向量的模可以比较大小 10. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：（每小题5分，满分15分） 12. __________. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量. （1）求； （2）求向量与的夹角的大小. 16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 17. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）若，的面积为，且，求、； （2）在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高一年级 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数，则（ ） A. 4 B. C. 2i D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中， 所以. 故选：A. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 4. 在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，然后利用锐角三角形的性质求得的值. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 又，所以， 又因为为锐角三角形，可得. 故选：C 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 6. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 7. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 二、多选题：（每小题6分，满分18分.每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B. 单位向量是相等向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 向量的模可以比较大小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的定义以及单位向量，零向量的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确， 对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误， 对于C， 零向量与任意向量平行，C正确， 对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案. 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】通过余弦定理解的个数来判断三角形解的个数，也可以通过正弦定理大边对大角来判断解的个数. 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以，即，方程无解，故A错误； 因为，，，由余弦定理得， 所以，即， 所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确； 因为，，所以，又， 所以有两个解，故C正确； 因为，，， 由余弦定理得， 所以，所以有1个解，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：（每小题5分，满分15分） 12. __________. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量. （1）求； （2）求向量与的夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由向量，得. 【小问2详解】 由向量，得， 又，于是， 而，所以. 16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 17. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. 【小问2详解】 由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） 取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2） 因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）若，的面积为，且，求、； （2）在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出角，再通过三角形面积公式和余弦定理，联立方程求解、的值； （2）先用余弦定理求出，再在中，代入已知边和的值，用余弦定理计算中线的长度. 【小问1详解】 因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. 由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又，，则，. 【小问2详解】 由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $