精品解析：新疆巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高中数学期中考试卷 一、单选题 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均变化率定义计算即可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 3. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 4. 已知函数在处的切线与直线垂直，则 A. 2 B. 0 C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可. 详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C. 点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题. 5. 从6本不同的数学书，4本不同的英语书中各取2本，则不同的取法种数是（   ） A. 10 B. 24 C. D. 90 【答案】D 【解析】 【详解】第一步：从6本不同数学书中取2本，取法数为：； 第二步：从4本不同英语书中取2本，取法数为：. 根据分步乘法计数原理，总取法种数为：. 6. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 7. 从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得． 【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法， 再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种. 故选：C. 8. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 【答案】A 【解析】 【详解】通项公式，由， 代入得. 二、多选题 9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分类与分步计数原理逐个计算即可. 【详解】A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误. B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确. C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况： 若取1红1黄，有种选法； 若取1红1绿，有种选法； 若取1黄1绿，有种选法； 因此共有种选法，该选项错误. D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确. 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解法一：利用赋值罚，逐项求解即可. 解法二：根据二项式定理求出展开式，再逐一判断即可. 【详解】解法一：令，则； 令，则，所以，故A错误； 令，则， 所以，故B正确； 展开式的通项公式为， 所以， 所以，故D错误； 对两边求导得 ，再令，得，故C正确. 解法二： ， 又， 所以， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线的斜率为__________. 【答案】3 【解析】 【详解】对 求导得. 代入 得 因此,切线的斜率为3. 13. 若的展开式中的常数项为，则________________. 【答案】1 【解析】 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 14. 3个男生与3个女生站成一排，若要求3个男生互不相邻，排法个数为________________. 【答案】 【解析】 【详解】利用插空法求解. 先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法. 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在和上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【小问1详解】 易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. 【小问2详解】 令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最值． 【答案】（1）减区间为，增区间为和 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）求出函数在区间上的极大值和极小值，再与、比较大小，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，其中，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的减区间为，增区间为和. 【小问2详解】 解：列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 又因为，，则， 因此，函数在上的最大值为，最小值为. 17. 求解下列问题： （1）计算：； （2）求证：. （3）解关于的不等式：； 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 18. 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【答案】（1）4060 （2）756 （3）784 【解析】 【分析】（1）利用组合的定义及组合数公式即可求解； （2）利用组合的定义及分步乘法计数原理，结合组合数公式即可求解； （3）利用组合的定义及分类加法计数原理，结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． 【小问2详解】 抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． 【小问3详解】 满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 19. 已知在的展开式中，第项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）； （2）； （3），，. 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果； 将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果； 令通项中的指数为整数，求出结果即可. 【小问1详解】 解：通项公式为. 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 【小问2详解】 解：由可知，令，解得. 所以含项的系数为. 【小问3详解】 解：由题意可知，， 则可能的取值为，，. 所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学期中考试卷 一、单选题 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处的切线与直线垂直，则 A. 2 B. 0 C. 1 D. －1 5. 从6本不同的数学书，4本不同的英语书中各取2本，则不同的取法种数是（   ） A. 10 B. 24 C. D. 90 6. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 7. 从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 二、多选题 9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线的斜率为__________. 13. 若的展开式中的常数项为，则________________. 14. 3个男生与3个女生站成一排，若要求3个男生互不相邻，排法个数为________________. 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最值． 17. 求解下列问题： （1）计算：； （2）求证：. （3）解关于的不等式：； 18. 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 19. 已知在的展开式中，第项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $