13.1 数据的集中趋势 第3课时 众数 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第13章 数据的分析 青岛版 八年级下册 内容提要 数据的集中趋势 数据的离散程度 随机现象的变化趋势 温故而知新 都是刻画一组 数据的集中趋势的量。 1.刻画数据的集中趋势的统计量： 平均数及加权平均数，中位数 一 组 数 据 x1,x2, …,xn 的平均数 ,是指 这n个数之和除以n 得到的值, 即 。 2.平均数 温故而知新 3.加权平均数 在n个数据中,如果x1,x2,…,xk 分别出现了w1,w2,…,wk 次, 其中w1+w2+…+wk=n, 则比值 分别叫作这k个数据 x1,x2,…,xk 的权.称 , ,...， 为这k个数据的加权平均数. 温故而知新 注意：用权解决决策问题 不同的权，直接影响最后决策的结果，在实际生活中，我们经常会遇到这类问题，当在某个方面要求比较高的时候，往往可以加大这方面的权，以得到预想的结果。 温故而知新 平均数及加权平均数，中位数都是刻画一组数据的集中趋势的量， 除此之外，还有哪些统计量能刻画一组数据的集中趋势? 设计情景 导入新课 青岛版数学 八年级下册 第13章 数据得分析 13.1 数据的集中趋势 第3课时 众数 (1)某鞋店一周内销售了某品牌女鞋60双，各种鞋码的销售量统计如下： 鞋码 35 36 37 38 39 40 41 42 销量/双 3 9 16 18 8 3 2 1 销售鞋码中38出现次数最多，应该多进38码的女鞋。 鞋店再次进货时，你觉得应多进哪种鞋码的女鞋呢? 2023年这十天的日最高气温的平均数是20.2,2022年为20.6,所以可以认为2022年这十天的日最高气温总体略高。 (2)2023年春分前后，某地区连续十天的日最高气温与上一年度同期的日最高气温对比数据，如下表所示： 2023年气温/℃ 15 17 19 19 21 21 21 21 23 25 2022年气温/℃ 22 17 17 17 18 20 20 22 26 27 所以也可认为2023年这十天的日最高气温总体较高。 2023年气温/℃ 15 17 19 19 21 21 21 21 23 25 2022年气温/℃ 22 17 17 17 18 20 20 22 26 27 2022年这10天中17℃出现的次数最多，有3天， 而2023年21℃出现的次数最多，有4天， 一组数据中出现次数最多的数据有什么意义？你在生活中用它解决过问题吗? 一组数据中出现次数最多的数据能够反映一组数据的集中趋势，在生活中常作为决策和推断的依据。 如问题（1）中，根据38码鞋子销售量最大，建议以后多进38码的鞋子；问题（2）中，根据出现次数最多的温度可以推测同期的总体气温。 一般地,一组数据中出现 的数据,叫作这组数据的众数。 次数最多 提示：在一组数据中，如果个别数据之间相差较大，且某个数据出现的次数最多，那么用该数据(即众数)表示这组数据的集中趋势比较适合。 众数的概念: 概括与表达 知识点 众数的概念 1.对众数的解读： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关， 它一定出现在这组数据中； (2)一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能 没有，如一组数据3,4,7,8,10就没有众数； (3)众数只与数据出现的次数有关，不受个别数据影响； (4)众数的单位与原数据单位一致。 一组数据中出现次数最多的数据能够反映一组数据的集中趋势，在生活中常作为决策和推断的依据。 2.众数的作用 例1、某工艺品厂草编车间共有16名工人，为了了解每名工人的日均生产能力，随机调查了某一天每名工人的生产件数，获得数据如下表： 生产件数/件 10 11 12 13 14 15 人数 1 5 4 3 2 1 则这一天16名工人生产件数的众数是( ) A.5件 B.11件 C.12件 D.15件 B 众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数 例题讲析 例2、一次演讲比赛中，10位评委给甲、乙两位演讲者的打分如下表所示： （1）用恰当的统计图表整理、描述甲和乙的得分数据，分别 求出平均数、中位数和众数； （2）根据评委打分，比较甲、乙的演讲水平。 例题讲析 解:(1)甲的得分整理如下: 乙的得分整理如下: 得分/分 3 7 8 9 10 频数 1 1 1 6 1 得分/分 7 8 9 频数 1 6 3 用条形统计图描述两人得分情况,如图 甲得分的平均数为： =8.2 乙得分的平均数为： 中位数为9, 众数为9。 =8.2 中位数为8,众数为8。 (2)从平均数来看,两人的平均分相同,综合所有评委的评 分,说明两人 具有同等演讲水平。 由于个别评委打分时显示出较强的偏好性,所以将中位数作为评价标准能 避免极端数据的影响。 由于甲得分的中位数大于乙得分的中位数,所以可以认为甲的演讲水平高。 从众数来看,甲得9分的次数最多,乙得8分的次数最多,所以可以认为甲的演讲水平高于乙。 平均数、中位数和众数这三个统计量的各自特点 优点 缺点 平均数 所有的数据都参与运算，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动，它能够充分利用所有的数据信息 易受极端数据的影响。 中位数 仅与数据的排列位置有关，不易受极端值影响，当一组数据中的个别数据较大或较小时，可用中位数描述其集中趋势，中位数的计算简单。 未充分利用数据全部信息。 众数 当一组数据中某些数据多次重复出现时，更能反应问题。 当众数有多个且众数的频数相对较小时可靠性小，局限性大 平均数、中位数及众数的区别与联系 类别 区别 联系 与组内数据的关系 个数的 唯一性 是不是 组内的数 平均数 中位数 众数 与每个数据均有关受极端值影响 唯一 不受极端值影响 唯一 不一定是 不一定是 一定是 不唯一 与出现次数最多的数据有关 (1)都是描述一组数据集中趋势的统计量： (2)单位与原始数据的单位一致 平均数是"算"出来的，中位数是"排"出来的， 众数是"数"出来的。 例3、某口罩生产车间有15位工人，车间主任为了了解生产进度， 统计了15位工人某天生产口罩的个数，得到数据如下表： (1)写出这15位工人该天生产口罩个数的平均数，中位数和众数。 解：(1)这15位工人该天生产口罩个数的平均数为： =260 中位数为240，众数为240. 例题讲析 (2)不合理。 理由如下： 题表中数据显示，15人中每天能完成260个口罩的一共有4人， 还有11人不能完成此定额。 尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性。 (2)假如车间主任把每位工人每天生产口罩的个数定为260， 你认为这个定额是否合理?为什么? 平均数容易受到 一些极端数据的影响。 1. 全国男子篮球联赛进行了一个阶段后,排名前十的球队获胜场数分别为: 35 33 32 28 26 26 25 23 22 21. 求这十支球队获胜场数的平均数、中位数和众数。 解：平均数是27.1；众数为26；中位数为26。 跟踪练习 2.每年的8月8日是 “全民健身日”。某中学为了解八年级学生的假期锻炼情况,随 机调查了50名学生在8月第二周参与体育锻炼的天数,统计结果如下表: 这50名学生8月第二周参与体育锻炼天数的平均数、中位数和众数分别是多少? 解：平均数是2；中位数为2；众数为3。 跟踪练习 众 数:一组数据中出现次数最多的数据. 众数与平均数、中位数一样， 都是表示一组数据的集中趋势. 课堂小结 1.为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生"学宪法讲宪法"活动。某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七，八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分(10分为满分，9分或9分以上为优秀)进行整理，描述，分析，部分信息如下。 当堂检测 根据以上信息，回答下列问题。 (1)表格中的a= ,b= ,c= . (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好?请说明理由。 解：(1)两个年级各抽取50名学生，得分的中位数为按大小顺序排列后第25,26名学生成绩的平均数，由条形统计图可得七年级学生得分的中位数a==7.5。 八年级学生得分为8分的人数最多，为23人，所以众数b=8. 八年级学生得分的优秀率c=100%=22%. 故答案为7.5; 8; 22%. (2)我认为七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好， 因为七年级的优秀率更高。(答案不唯一，合理即可) $