精品解析：河北邢台市部分学校2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章占50%，选择性必修第三册第六章至第七章第4节占50%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以． 2. 某天食堂供应4种不同的主食和8种不同的菜品，小张这天从该食堂选择1种主食和2种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 32种 B. 60种 C. 84种 D. 112种 【答案】D 【解析】 【详解】第一步，选择主食，有种不同的搭配方案； 第二步，选择菜品，有种不同的搭配方案． 故不同的搭配方案有种． 3. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得． 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为是关于的二次函数，对称轴为， 所以函数在时取到最小值为0，故. 4. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 5. 已知奇函数，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】是奇函数，则， 即 ，故， ，则， 求导得：， ，解得， ． 6. 若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（ ） A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 2.4 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以． 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以，即函数在上单调递增， 由可得，当时，即时，必有， 对于，等价于， 故可得，解得或， 即不等式的解集是. 8. 某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（ ） A. 504种 B. 1080种 C. 1224种 D. 2304种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为男女或男女，结合女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，利用排列数与组合数公式，即可求解. 【详解】根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女， ①当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案； ②当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案， 再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得，A正确． 由，得，B正确． 由，得，C错误． 由，得，D正确． 10. 将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（ ） A. 若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B. 若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C. 若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D. 若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 【答案】AC 【解析】 【分析】根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可. 【详解】若急诊科要安排两名实习医生， 则有种不同的安排方法，A正确． 若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误． 若，被安排在同一科室，则有 种不同的安排方法，C正确． 当内科只安排一名实习医生时，有 种不同的安排方法； 当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法； 当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法． 故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误． 11. 已知函数，，则下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点为0 B. 曲线与不存在公切线 C. 若，，则的最小值为1 D. 当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对求导，利用导数符号确定的单调区间和极值点，从而判断选项A，并为选项D中水平直线与图象的交点个数作准备；对选项B，按照公切线的判定思路，设两条曲线切线斜率相同，再比较切线截距，通过构造连续函数并利用零点存在定理说明公切线存在；对选项C，把不等式 理解为直线不在曲线上方，先由得到，再验证取切线时等号可以成立；对选项D，结合的单调性和二次函数的图象，判断交点个数之和最多时所在的范围，再验证符合条件． 【详解】，求导可得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 选项A：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为； 选项B： 要判断与是否存在公切线，即是否存在实数使得切线斜率相等且截距相等， 设公切线斜率为，则， ，求导可得， 代入可得，解得，对应的截距， 同理对于函数，截距为， 设函数，则公切线存在当且仅当有解， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 所以存在使，即与存在公切线； 选项C：若，，则图象上的每个点都不在直线的下方， 因为，代入得 . 又当时，，若，则 ，与 矛盾， 所以．故由 得. 下面证明等号可以取到．取直线，当时，. 当时，有，从而；当时，有， 从而；当时等号成立． 所以当，时，满足题意，且．因此的最小值为，选项C正确． 选项D：由前面单调性可知，直线与的交点个数最多为； 而 是开口向下的二次函数，所以直线与的交点个数最多为． 因此交点个数之和最多为， 因为，，且， 所以当直线与，的图象的交点个数之和最多时， 的值可以为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，则． 13. 某农场计划建造一个底面是正方形，且体积为216立方米的长方体形无盖蓄水池．已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，当该蓄水池的高为______米时，建造该蓄水池的总造价（池底和池壁的造价之和，单位：元）最低． 【答案】6 【解析】 【分析】通过设底面边长为变量，建立总造价的函数，利用导数求函数的最小值，进而得到对应的蓄水池高度. 【详解】设该蓄水池的底面边长为米，则该蓄水池的高为米， 所以建造该蓄水池的总造价， 所以． 由，得，则在上单调递增； 由，得，则在上单调递减， 故当时，取得最小值，此时该蓄水池的高度为 米， 即当该蓄水池的高为6米时，建造该蓄水池的总造价最低． 14. 已知，则______，______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可. 【详解】展开式的通项 ， 令，得，则，即． 设， 则． 令，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． （1）若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； （2）若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）用二项分布的概率公式计算即可； （2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望. 【小问1详解】 由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程是． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解； （2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 当切点是时，所求切线斜率， 则所求切线方程为，即． 当切点不是时，设与曲线相切的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得（舍去）， 则所求切线斜率， 故所求切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 17. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【小问1详解】 因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 18. 某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． （1）求； （2）求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可； （3）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式、等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 第二关和第三关的挑战者都是甲的概率为， 第二关和第三关的挑战者都是乙的概率为， 则第二关和第三关的挑战者是同一人的概率为. 【小问3详解】 由题意可得，即， 所以． 因为，所以， 则是首项为0.1，公比为0.5的等比数列， 所以， 故． 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）设有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数的正负求出单调区间. （2）（i）利用导数分析单调性，求出极大值与极小值，再列出不等式组求解. （ii）设，，利用导数确定单调性，并分别证得及即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得或，则函数在上单调递增； 由，得，则函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 由有3个零点，得，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（1）知，设函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，即对恒成立， 因此，由，得，而 函数在上单调递减，则，即； 设，求导得， 函数在上单调递增，则，即对恒成立， 因此，由，得，， 又函数在上单调递增，则，而，于是， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章占50%，选择性必修第三册第六章至第七章第4节占50%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 某天食堂供应4种不同的主食和8种不同的菜品，小张这天从该食堂选择1种主食和2种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 32种 B. 60种 C. 84种 D. 112种 3. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数 ，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 6. 若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（ ） A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 2.4 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（ ） A. 504种 B. 1080种 C. 1224种 D. 2304种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（ ） A. 若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B. 若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C. 若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D. 若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 11. 已知函数，，则下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点为0 B. 曲线与不存在公切线 C. 若，，则的最小值为1 D. 当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 13. 某农场计划建造一个底面是正方形，且体积为216立方米的长方体形无盖蓄水池．已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，当该蓄水池的高为______米时，建造该蓄水池的总造价（池底和池壁的造价之和，单位：元）最低． 14. 已知，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． （1）若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； （2）若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程是． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 17. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 18. 某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． （1）求； （2）求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； （3）求． 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）设有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $