江西九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年下学期期中检测高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦数列、统计与几何，以西红柿产量预测（线性回归）、情报传输概率等情境题，融合数学抽象与数据观念，梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列、统计量、相关关系|第3题散点图判断相关关系，考查几何直观| |多选题|3/18|等比数列性质、圆的方程|第9题结合充分必要条件，培养逻辑推理| |填空题|3/15|直线与圆、数列求和、古典概型|第14题颜色号码概率，体现数学应用| |解答题|5/77|等比中项、立体几何、概率分布、数列求和、椭圆|第17题情报传输概率模型，发展数学建模与运算能力|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C A A A D AD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】由等差数列的通项公式表示已知，求得首项和公差，再代入等差数列前n项和公式中，求得答案. 【详解】在等差数列中， 所以 故选：A 【点睛】本题考查等差数列中知三求二，主要应用到通项公式和前n项和公式构建方程组求解，属于简单题. 2．D 【分析】对于A，根据中位数分析运算；对于B，根据随机变量方差的性质求解判断；对于C，根据二项分布的期望以及期望的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断． 【详解】对于选项A，个数据从小到大排列，所以中位数应该是第四个与第五个的平均数，故A不正确； 对于选项B，随机变量满足，则，故B不正确； 对于选项C，因为，则，则，故C不正确； 对于选项D，因为随机变量， 由正态曲线的对称性可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D． 3．D 【分析】根据给定的散点图，利用正负相关的意义、相关系数的意义逐项判断. 【详解】对于A，图1中随增大而减小， y与x呈负相关，A错误； 对于B，图2中各点较分散，y与x的相关性不强，不能肯定不相关，B错误； 对于C，图3中随增大而增大，y与x呈正相关，相关系数大于0，C错误； 对于D，图1与图2，y与x都呈负相关，相关系数为负， 而图1中y与x的线性相关性较图2中y与x的线性相关性强， 所以，图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数，D正确. 故选：D 4．C 【分析】设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求和． 【详解】设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列， 由题，，，， 所以可得， 解得， 故. 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于常考题． 5．A 【分析】算出，然后求出，然后可得答案. 【详解】， 代入可得， 所以回归方程为． 当时，， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 故选：A 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，较简单. 6．A 【分析】根据递推公式，结合前项和与第项的关系求出通项公式，进而求出目标值. 【详解】数列中，，，当时，， 当时，，则，， 因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 数列的通项公式为：，，， 所以. 故选：A 7．A 【分析】用展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上展开式中的系数乘以1即得已知式展开式的常数项． 【详解】由题意，解得．故选A． 【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 8．D 【分析】先利用条件得到，进而得到，代入，利用与的关系推得是等差数列，进而求出，代入即可求得结果. 【详解】解：， ， ， 另外：，可得， . ， ，即， ，又， 数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，故， . 故选：D. 9．AD 【分析】利用必要不充分条件的意义判断A；利用递增数列列出不等式求解判断B；利用等比中项意义求出判断C；利用等差数列的性质，结合前项和公式计算判断D. 【详解】对于A，是公比为2的等比数列，则有（，）， 反之，当（，），若，数列不是等比数列， 因此“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，A正确； 对于B，，为单调递增数列， 则，，即， 而数列单调递减，即，因此，B错误； 对于C，令等比数列的公比为，依题意， 显然，而，因此，C错误； 对于D，等差数列，的前n项和为分别为，， 所以，D正确. 故选：AD 10．AD 【分析】根据相似比即可结合锐角三角函数求解A，根据圆的性质即可判断B，根据距离公式即可求解轨迹方程，进而可判断CD. 【详解】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线， 由两圆半径之比为，，可知切线与轴交于， 设切线的倾斜角为，选项正确. 与均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误. 向引切线，设切线长相等的点为,则， 所以，化简得直线，选项错误. 设的圆心分别为，点对切线的夹角等于点对切线的夹角， 于是由相似三角形知， 设，则， 可得到点的轨迹是一个圆，选项D正确. 故选：AD 11．BCD 【分析】由基本不等式即可判断A； 由，则，整理即可判断B； 根据，结合基本不等式即可判断C； 由，则，则，利用基本不等式即可判断D. 【详解】解：对于A，因为，，则，当且仅当，即时，取等号，故A错误； 对于B，因为，，，所以， 所以，即，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，因为，，， 则， 当且仅当，即时，取等号，故C正确； 对于D，因为，则， 所以， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解；首先判断直线过定点，利用直线与圆的位置关系，判断当过点且与垂直的弦的弦长最短. 【详解】由题意得，所以． 当时，两直线重合，舍去，故． 因为圆的方程可化为， 即圆心为，半径为5． 由于直线过定点， 所以过点且与垂直的弦的弦长最短， 且最短弦长为． 故答案为：； 13．/ 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 14． 【分析】先计算出从9面旗帜中任取3面的基本事件总数，再求出它们的颜色与号码均不相同的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案． 【详解】从9面旗帜中任取3面的基本事件共有：. 任取出3面，其中它们的颜色与号码均不相同的事件有： 故任取3面它们的颜色与号码均不相同的概率 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点古典概型及其概率计算公式，其中计算基本事件总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键． 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据等比中项的性质求解即可. （2）根据题意得到，再解方程即可. 【详解】（1）设为45和80的等比中项，则，所以. 所以45和80的等比中项为 （2）两个数和的等比中项是， 所以，，， 解得或，此时，，满足题意， 所以或. 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线与平面夹角的正弦值即可求出角度； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 直线与平面夹角的正弦值为， 则直线与平面所成角的大小为； （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 17．(1)分布列见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析，若将改为，则原结论未必成立. 【分析】（1）先考虑每一位的变化情况的分布情况，然后计算整个数据对应的分布列； （2）设情报中包含的0和1的数量分别为，只需要证明，再结合即得结论； （3）先求出的公式，再根据相应的公式求解结论. 【详解】（1）首先我们进行一些准备工作. 设情报中包含的0和1的数量分别为，则，. 对于单个数字0，设它在经过次传输之后，得到0和1的概率分别为， 则，，， 且由全概率公式得，. 从而， . 当时，有，，这里； 当时，由于，， 故， . 注意到，也适用于的情形， 所以，. 对于单个数字1，设它在经过次传输之后，得到1和0的概率分别为， 则同理有，， 事实上本质就是对调了. 由于情报中包含的0和1的数量分别为，故 ， 且. 回到原题. 在本小问的条件下，有，，， 从而， 故， ， ， ， 所以的分布列为 （2）若，则，故这与无关. （3）若，由，知， ， 所以； 若，，如果的每一位都是1，即，， 则，所以此时结论不一定成立. 【点睛】本题的关键点在于使用全概率公式得到数列的递推式，再根据等比数列相关知识求出通项公式，从而得到的通项公式. 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，将转化为关于和的方程，令，代入，得到另一个关于和的方程，联立两个方程求解即可. （2）（ⅰ）先写出的表达式，再乘以等比数列的公比得到，将两式相减，利用等比数列求和公式化简得到. （ⅱ）先将代入，化简得到关于的不等式，分为奇数和偶数两种情况讨论，取两种情况的交集得到最终的取值范围 【详解】（1）设数列的公差为d，由得， 由，令得， 联立，得，， 所以． （2）（ⅰ）由（1）可得， 所以，① ，② 得：， 所以． （ⅱ）将代入不等式得， 当n为奇数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 当n为偶数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 综上可知k的取值范围为． 19．（1）；（2）证明见解析． 【分析】(1)结合椭圆的离心率和点到直线的距离公式计算即可. (2)分类讨论直线斜率存在与不存在，设点A、B的坐标和直线AB方程，联立椭圆方程并消元，根据韦达定理，结合题中相关量的关系列方程，计算即可. 【详解】解：（1）因为椭圆（）的离心率为， 原点到直线的距离为． 所以解得，，． 所以椭圆的方程为 （2）设， 当直线斜率不存在时，则A、B两点坐标关于x轴对称， 设直线方程为， ① 又② 由①②解得或(舍去)，所以直线方程为， 所以直线过定点； 当直线斜率存在，设直线方程为， 则，得， ，， 同理可得：， 又有， 化简得，解得或， 当时，直线为，恒过定点； 当时，直线为，恒过定点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期期中检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．在等差数列中，，则前项和为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．数据的中位数是5 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，则 3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 4．已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（    ） A．16 B．19 C．20 D．23 5．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为（    ） A．6.1 B．5.1 C．3.5 D．5.2 6．记数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．33 B．46 C．49 D．42 7．若展开式的常数项等于-80，则 A．-2 B．2 C．-4 D．4 8．已知数列和首项均为1，且，，数列的前n项和为，且满足，则（    ） A．2019 B． C．4037 D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9．下列命题中，正确的有（    ） A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B．数列的通项为，若为单调递增数列，则 C．等比数列中，，是方程的两根，则 D．等差数列，的前项和分别为，，若，则 10．已知，则（    ） A．与均有公共点的直线斜率最大为 B．与均有公共点的圆的半径最大为4 C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆 D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆 11．若，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12．已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆截得弦长的最小值为______． 13．已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 14．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离． 17．情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等. (1)若，，求的分布列； (2)若，证明的数学期望与n无关； (3)若，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由. 18．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 19．已知椭圆（）的离心率为，直线经过椭圆右焦点与上顶点，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2），是椭圆上两动点，是一定点，且满足，证明：直线过定点． 第1页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $