精品解析：江苏徐州市睢宁县2025-2026学年度第二学期期中学情调研高二数学试题

2025—2026学年度第二学期期中学情调研 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：D 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 56 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式，得， 令，得， 于是展开式中的常数项为. 4. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶， 由题意可得，， 所以. 5. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果. 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A. 6. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 7. 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 8. 已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ） A. 6或7 B. 6 C. 8或9 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 展开式的通项为（且）， 若，且，时， 则展开式中含的项为， 依题意可得， 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为； 若，此时，，则无解，故舍去； 若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去）， 此时，则展开式中含的项的系数为； 若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数， 由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去； 综上可得的展开式中含的项的系数是或. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，，则 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 若分布，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若分布，，则，故D错误． 故选：BC. 10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离的最小值为 C. 过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为 D. 当时，三棱锥外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A，表示出各点坐标，利用向量数量积运算即可判断； 对于选项B，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解； 对于C，取，连接，可得过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，求出各边长即可判断； 对于D,有条件可得，由​是直角三角形，可得外接圆半径​​，外心为​中点，设外接球球心，由即可得到球心坐标，从而求得外接圆的半径结合球的体积公式即可求解. 【详解】以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由，得， 由为对角线上的动点，设 对于A，，， 所以 则，故A正确； 对于B，由于，， 所以， ，， 则点到直线的距离， 即 所以当​时，，B正确; 对于C，取，连接， 因为，，所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 则，所以，且 故过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形， 由于，，， 所以过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为，故C不正确； 对于D，由，，得，则， 由​是直角三角形，其外接圆半径​​，外心为​中点， 设外接球球心，由： 则，解得：， 则外接球半径：， 所以三棱锥外接球的体积：，故D正确； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 13. 随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量的分布表计算出，代入方差的计算公式即可求得. 【详解】由题设及，解得， . 故答案为： 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用间接法以及排列知识求出； （2）利用捆绑法以及排列的知识解决. 【小问1详解】 将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； 【小问2详解】 因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 16. 如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，. （1）求平面与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）由题意，根据线面垂直性质与判定，建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （2）利用空间向量的位置关系，根据向量坐标，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，又因为为的中点， 所以与均为等腰直角三角形，所以 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，又，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 平面的一个法向量为. 又因为平面的一个法向量为，所以. 设平面与平面所成角为，则. 【小问2详解】 假设线段上存在点，使得平面 设， 所以. 因为平面，所以， 所以，即点是线段的中点， 所以存在点，点为线段的中点. 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示． （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 【答案】（1） （2） 0 1 2 ． 【解析】 【小问1详解】 该样本中学生分数为优秀的频率，故优秀的人数为人； 【小问2详解】 从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为． 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为． 则的分布列为： 0 1 2 所以． 18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）设，则当时，求除以15所得余数． 【答案】（1）； （2），，； （3）0 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的定义得到方程，求出答案； （2）由二项式定理得到展开式通项公式，得到有理项； （3）根据二项式定理变形，从而得到余数. 【小问1详解】 根据题意，，即，又，故； 【小问2详解】 由题意得， 其展开式的通项公式， 要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故， 当时，， 当时，， 当时，， 故有理项为，，； 【小问3详解】 而， 当时， ， 而能够被15整除， 故除以15所得余数为0． 19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. （1）证明：平面； （2）若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ，是的中点，， 平面，平面，， 又，又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面； （2）①点到平面的距离为；②存在，或. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；②设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】  ①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点到平面的距离为；  ②， 设，则， ， 设平面的法向量为 则，即， 令，可得， 设平面与平面夹角， 所以， 又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又， 所以，所以， 化简得，解得或， 所以或， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学情调研 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 56 C. D. 4. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 7. 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ） A. 6或7 B. 6 C. 8或9 D. 9 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，，则 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 若分布，，则 10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离的最小值为 C. 过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为 D. 当时，三棱锥外接球的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 13. 随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 16. 如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，. （1）求平面与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示． （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）设，则当时，求除以15所得余数． 19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. （1）证明：平面； （2）若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $