精品解析：江苏省睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二下学期期中热身训练数学试题

睢宁县菁华高级中学2024-2025学年度高二年级期中热身训练 数 学 试 题 考试时长：120分钟 满分分值：150分 命题人：吴子牛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题网的答案标号涂层.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他符案标号，同答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 2. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 3. 若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果. 【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件； 当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：， 其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点； 所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件. 综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件. 故选A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型. 4. 已知，，，则关于，，的方程共有（ ）组不同的解. A. 36 B. 45 C. 50 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 5. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，再结合互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，通过导数求得，即可得出． 【详解】因为存在实数，使得成立， 所以， ， 令得或或， 列表 极小值 当时，有极小值也是的最小值， 所以． 故． 故选：B． 8. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有最小值 D. 有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，计算导数值即可判断A；利用导数求出函数的单调区间及函数的最小值即可判断BC；结合函数的单调性利用最小值大于零即可判断D. 【详解】的定义域为，， 对于A，，错误； 对于B和C，由，得，当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故BC正确； 对于D，由在上单调递减，在单调递增，且的最小值为， 所以无零点，错误． 故选：BC． 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 11. 已知，且，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】原式变形为，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合不等式的性质逐项分析判断. 【详解】由，，得，则， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 不等式，因此， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，由，得，，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故答案为：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】由多项式的展开式中的系数为， 可得，即，解得. 故答案为：． 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________． 【答案】0.35 【解析】 【分析】由已知可得：，从而计算出，再利用对称性，即可计算出. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， 可得：，且， 又，所以. 故答案为：0.35 【点睛】正态分布的问题通常利用正态曲线的特点解题： （1）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交. （2）曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1，即频率的总和为100%. 14. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程. 【详解】因为，，所以，， 设直线与曲线和分别切于点，， 所以切线方程分别为，， 即，， 因此，则， 又， 所以， 化简得， 解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）名男生和名女生站成一排，男、女分别排在一起的站法有多少种排法？ （2）从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有多少种？ （3）某学校招收的名特长生中有名绘画特长生，现要将这名学生平均分配到个班中去，每班都分到名绘画特长生的分配方法有多少种？ （4）已知多项式． ①求； ②求． 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）① ；②． 【解析】 【分析】（1）将男生、女生各视为一个整体，利用捆绑法可求得结果； （2）对男生、女生的人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果； （3）先将名篮球特长生平均分配到个班中去，然后再将剩余的人平均分到三个班上去，结合分步乘法计数原理可得结果； （4）①利用二项展开式可求得的值；②利用赋值法可求得所求代数式的值. 【详解】（1）第一步：把男生和女生分别看成一个元素，有种排法， 第二步：男生和女生内部还有一个全排列有种排法， 总排法数为种． （2）解：分三种情况：①男女共有种选法； ②男女共有种选法； ③男女共有种选法； 总方法数为：种不同方法． （3）第一步：将名篮球特长生平均分配到个班中去，有种分法； 第二步：将名学生平均分配到个班中去，有种分法； 所以共有种分法． （4）①因为， 且. 所以，． ②令，得； 令，得， 所以，． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的极值点． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先求解函数的单调性，进而求解极值点． 【小问1详解】 由， 得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，，得， 当时，，函数在上单调递增，无极值点； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点. 综上所述，当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有极小值点，无极大值点. 17. 已知函数． （1）若为函数的极值点，求的值； （2）若在定义域上不单调，求的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值； （2）由在定义域上不单调，可得在上有解，从而求出的取值范围； （3）由（2）知，当，有两个极值点，且，将化简为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而求出取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以. 【小问2详解】 因为的定义域为，， 要使在定义域上不单调，则在上有解， 即在上有解， 由得，当且仅当时取等号， 当时，，在上单调，不符合题意， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当，有两个极值点，由， 则，，所以， 因为， 所以 设 则， 又当时，，且，则， 故，则在上单调递减，则， 即的取值范围为. 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得. 【小问2详解】 记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对， 所以，，，，， 由全概率公式可得. 所以，该学生能猜对的概率为. 【小问3详解】 由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为， 记得分为的概率为，且，， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 . 因此，丁组获胜的概率为. 19. 若函数在[a，b]上存在x1，x2()，使得，则称f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a，b]上的中值点． （1）判断函数f(x)＝x3－3x2＋1是否是[－1，3]上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，，存在，使得，且是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是在[n，m]上的中值点． ①求a的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数进行研究分析，转化为二次方程在开区间内有两个不同零点的问题，然后可以证明正确； （2）①转化为有两解的问题，令，先根据有两不等正实数零点，利用导数进行研究得到必要条件，然后再证明其充分性；②等价转化为等价于证明,即.利用导数分析单调性可证，从而证得要证不等式. 【小问1详解】 因为函数f(x)＝x3－3x2＋1， 所以，。 所以平均斜率为。 求导函数， 方程即， 设函数，, 在上,单调递减，在上,单调递增， , 所以函数在区间内有两个不同零点. 因此，在上是双中值函数. 【小问2详解】 ①函数定义域, 导函数为. 已知得f(m)＝f(n)，所以，所以有两解. 令，则有两不等正实数零点. 求导. 当时，，在定义域内单调递增，至多有一个零点，与题意矛盾. 所以,此时，在内，单调递减；在上,单调递增， 为使函数有两不等正实数零点，则必有，解得， 当时,我们来证明必有两不等正实数零点. 首先注意,然后只需要找到大于的实数，使得. 先证明,进而利用放缩法找到大于的实数，使得. 令,, 在上,单调递减，在上,单调递增， ,所以,当且仅当时取等号，所以, 所以,所以， 所以， 设，因为，所以,所以,显然,所以. 所以有两不等正实数零点. 且在内,单调递增；内,单调递减；上，,单调递增. 显然对于，当时，,当时，, 所以当,直线与函数的图像有三个交点，其横坐标一个小于,一个在内，一个大于, 取最小的一个为,最大的一个为,则满足,使得,且f(x)是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f(x)在[n，m]上的中值点． 综上，实数的取值范围是. ②证明：因为点，所以. 因为，所以, 所以要证不等式进一步等价于，即. 下面证明,即证 ,由于,而函数在上为单调减函数， 所以等价于证明,即. 下面证明对于. 设,因为，所以,, 令显然是单调增函数，所以时,所以单调递增，又因为,所以时, 即对于. 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 睢宁县菁华高级中学2024-2025学年度高二年级期中热身训练 数 学 试 题 考试时长：120分钟 满分分值：150分 命题人：吴子牛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题网的答案标号涂层.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他符案标号，同答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，，，则关于，，的方程共有（ ）组不同的解. A. 36 B. 45 C. 50 D. 24 5. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有最小值 D. 有两个零点 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为，则______． 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________． 14. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）名男生和名女生站成一排，男、女分别排在一起的站法有多少种排法？ （2）从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有多少种？ （3）某学校招收的名特长生中有名绘画特长生，现要将这名学生平均分配到个班中去，每班都分到名绘画特长生的分配方法有多少种？ （4）已知多项式． ①求； ②求． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的极值点． 17. 已知函数． （1）若为函数的极值点，求的值； （2）若在定义域上不单调，求的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求的取值范围． 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 19. 若函数在[a，b]上存在x1，x2()，使得，则称f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a，b]上的中值点． （1）判断函数f(x)＝x3－3x2＋1是否是[－1，3]上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，，存在，使得，且是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是在[n，m]上的中值点． ①求a的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $