山东烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四制）

**基本信息** 立足八年级数学核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查一元二次方程、二次根式、四边形等知识，融入秦九韶公式等文化素材与多解法探究，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、矩形判定等|基础概念辨析，如第3题矩形判定方法| |填空题|6/18|菱形性质、秦九韶公式应用|文化素材融入，如第14题三斜求积公式| |解答题|9/72|方程解法、四边形综合证明|多解法与探究性，如第23题四边形面积两种证法，第25题结合几何变换考查推理能力|

山东省烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）已知是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 4．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 6．（3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝4，则线段EG的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 7．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 8．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 9．（3分）计算的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 10．（3分）·【中档】如图，在菱形中，∠A＝60°，AD＝6，点E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD＝120°；②4FG＝GC；③△ADE≌△CDG；④S△CDB＝18．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为　 　 ． 12．（3分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为　 　 ． 13．（3分）小明在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为　 　 ． 14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知△ABC的三边长分别为1，，3，则△ABC的面积为　 　 ． 15．（3分）·【中档】如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，∠DFE的度数为 　 　 ． 16．（3分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AD＝16，CD＝10，点E，F分别在BC，CD上，BE＝4，CF＝6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　 ． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）·【中档】解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）2x2﹣8x+8＝0． 19．（8分）如图，将△ABC沿射线BC平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD．F，G分别是AC，DE的中点，连接DF，CG． （1）求证：△ADF≌△ECG； （2）若CG＝AF，求证：四边形ABCD是矩形． 20．（8分）·【中档】在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　 　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第　 　 步开始出错的，其错误原因是　 　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 21．（8分）·【中档】我们已经学过以下5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图． （1）下面三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是　 　 ； （2）已知∠α和线段b，求作菱形ABCD，使∠ABC＝∠α，BD＝b．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为　 　 ； （3）如图3，已知∠AOB和线段m，在边OA上作一点P，使点P到OB的距离等于线段m．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号） 22．（8分）·【中档】关于x的一元二次方程x2+2kx+6k﹣9＝0． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于5，求k的取值范围． 23．（8分）·【中档】一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 24．（8分）观察下列等式，解答问题： 第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4；… （1）请直接写出第6个等式　 　 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 25．（8分）·【较难】【方法回顾】 （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝3，BE＝1，则EF的值为　 　 ． 【问题解决】 （2）如图2，菱形ABCD的边长为2，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长． 【思维拓展】 （3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积比△PAB的面积多1，请直接写出PB2﹣PD2的值． 山东省烟台市招远市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C D A D C A 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）已知是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【考点】一元二次方程的定义．版权所有 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，， 解得：a＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是关键． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的混合运算．版权所有 【答案】A 【分析】A．根据算术平方根的定义进行计算，然后判断即可； B．根据合并同类二次根式法则进行计算，然后判断即可； C．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可； D．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； D．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练整式二次根式的乘除法则和二次根式的性质． 3．（3分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 【考点】矩形的判定．版权所有 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形； B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状； D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形． 故选：D． 【点评】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小． 4．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式．版权所有 【答案】C 【分析】根据最简二次根式定义解答即可． 【解答】解：A.，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C.，是最简二次根式，故选项C符合题意； D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 5．（3分）若关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】C 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出42﹣4×（﹣2）×k＝0，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4×（﹣2）×k＝0， 解得：k＝﹣2， ∴k的值是﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 6．（3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝4，则线段EG的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【考点】中点四边形；三角形的面积．版权所有 【答案】D 【分析】连接EG，HF交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，证明四边形EFGH是菱形，根据四边形EFGH面积，可求得EG，进而求得OG，根据勾股定理可求出GH． 【解答】解：如图：连接EG，HF交于点O， 因为E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点， ∴EH∥BD，EHBD， FG∥BD，FGBD， EF∥AC，EFAC， GH∥AC，GHAC， ∵BD＝AC， ∴EH＝FG＝EF＝GH， ∴四边形EFGH是菱形． ∵四边形EFGH面积为24，HF＝4， ∴244EG， 解得EG＝12， 故选：D． 【点评】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 7．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．版权所有 【答案】A 【分析】根据a在数轴上所在的位置判断出其符号及绝对值的大小，再化简二次根式即可． 【解答】解：由数轴可得， 0＜a＜1， 则a﹣1＜0，a＞0， ∴原式＝|a|+|a﹣1|＝a﹣a+1＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值和二次根式的化简．我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；（a≥0），（a＜0）． 8．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．版权所有 【答案】D 【分析】根据矩形的性质的可得AD∥BC，∠C＝90°，则∠ADB＝∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1＝90°﹣α，∠2＝2α，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADB＝∠1， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠ADB＝∠A'DB， ∴∠1＝∠A'DB， ∵∠DEC＝90°﹣α， 即2∠1＝90°﹣α， ∴，故A不正确， ∵∠BDE≠∠CDE， ∴∠1≠α，故B不正确， ∵将矩形ABCD沿对角线ED折叠， ∴∠C'ED＝∠CED ∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．（3分）计算的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 【考点】二次根式的混合运算．版权所有 【答案】C 【分析】利用二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解： ＝[（2）（2）]2025•（2） ＝（4﹣5）2025•（2） ＝（﹣1）•（2） 2． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 10．（3分）·【中档】如图，在菱形中，∠A＝60°，AD＝6，点E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD＝120°；②4FG＝GC；③△ADE≌△CDG；④S△CDB＝18．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．版权所有 【答案】A 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，DA∥CB，∠BCD＝∠A＝60°， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°， ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴BF平分∠ABD，DE平分∠ADB，BF⊥AD， ∴∠BDG∠ADB＝30°，∠DBG∠ABD＝30°， ∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①符合题意； ②∵∠BDG＝∠DBG＝30°， ∴DG＝BG， ∵DC＝BC，GC＝GC， ∴△DCG≌△BCG（SSS）， ∴∠BCG＝∠DCG∠BCD＝30°， ∵AD∥BC，BF⊥AD， ∴BF⊥BC， ∴∠CBG＝90°， ∴GC＝2BG， 同理：DG＝2FG，GC＝2DG， ∴DG＝BG＝2FG， ∴4FG＝GC，故②符合题意； ③∵AD＝CD，CG＞CD， ∴CG＞AD， BG+DG＞BD， ∴CG＞BD， ∵∠AED＝∠CDG＝90°， ∴△ADE和△CDG不全等，故③不符合题意； ④如图，设CG与BD交于点M， 同①得：△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝AD＝6，∠DBC＝60°， 由②可知，∠BCM＝30°， ∴∠CMB＝90°， ∴BMBD＝3， ∴CM3， ∴S△CDBBD•CM6×39，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为　8　 ． 【考点】同类二次根式；最简二次根式．版权所有 【答案】8． 【分析】先把化简为，然后再根据题意，最简二次根式与二次根式是同类二次根式，可得：x﹣5＝3，解方程即可得出答案． 【解答】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴x﹣5＝3， 解得：x＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式，最简二次根式定义是解题的关键． 12．（3分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为　5　 ． 【考点】菱形的性质．版权所有 【答案】5 【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，即可得AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长． 【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4， ∴AB5． 即这个菱形的边长为：5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直． 13．（3分）小明在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为　1　 ． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】1． 【分析】根据求得的答案比正确答案小1，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：a2﹣2a＝1， 整理得：a2﹣2a﹣1＝0， 解得：a1＝1，a2＝1（不符合题意，舍去）， ∴a的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知△ABC的三边长分别为1，，3，则△ABC的面积为　　 ． 【考点】二次根式的应用．版权所有 【答案】． 【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，，3的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，，3，则△ABC的面积为： ∴S， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 15．（3分）·【中档】如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，∠DFE的度数为 　30°　 ． 【考点】角的计算．版权所有 【答案】30°． 【分析】由矩形性质可得，∠BEC＝∠DEF＝90°，桌布折叠两次，可得∠BCE90°＝30°，∠CBE＝∠FDE，进而可求出∠DFE的值． 【解答】解：由正方形性质可得， ∠BEC＝∠DEF＝90°， 桌布折叠两次可得， ∠BCE90°＝30°，∠CBE＝∠FDE， ∴∠CBE＝90°﹣∠BCE＝60°， ∴∠FDE＝∠CBE＝60°， ∴∠DFE＝∠FED﹣∠FDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DFE的度数为30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了正方形的性质、角度的计算知识点，熟练把握折叠的性质是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 16．（3分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AD＝16，CD＝10，点E，F分别在BC，CD上，BE＝4，CF＝6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为 　　 ． 【考点】矩形的性质．版权所有 【答案】． 【分析】连接BG，并延长BG交AD于点P，证明△GAP和△GEB全等得AP＝BE，PG＝BG，进而得DP＝12，再求出DF＝4，在Rt△DPF中，由勾股定理得PF，然后证明GH是△BPF的中位线，再根据三角形中位线定理即可得出GH的长． 【解答】解：连接BG，并延长BG交AD于点P，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠GAP＝∠GEB，∠GPA＝∠GBE， ∵点G是AE的中点， ∴AG＝EG， 在△GAP和△GEB中， ， ∴△GAP≌△GEB（AAS）， ∴AP＝BE，PG＝BG， ∴DP＝AD﹣AP＝AD﹣BE， ∵AD＝16，BE＝4， ∴DP＝AD﹣BE＝12， ∵CD＝10，CF＝6， ∴DF＝CD﹣CF＝4， 在△DPF中，∠D＝90°， 由勾股定理得：PF， ∵PG＝BG，点H是BF的中点， ∴GH是△BPF的中位线， ∴GHPF． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．版权所有 【答案】（1）72； （2）2． 【分析】（1）将各式化简后再算加法即可； （2）利用平方差及完全平方公式计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝432 ＝72； （2）原式＝3+22﹣（12﹣7） ＝3+22﹣5 ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）·【中档】解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）2x2﹣8x+8＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】（1）x1＝0，x2＝6； （2）x1＝x2＝2． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， 则x＝0或x﹣6＝0， 所以x1＝0，x2＝6； （2）2x2﹣8x+8＝0， x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， 所以x1＝x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 19．（8分）如图，将△ABC沿射线BC平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD．F，G分别是AC，DE的中点，连接DF，CG． （1）求证：△ADF≌△ECG； （2）若CG＝AF，求证：四边形ABCD是矩形． 【考点】矩形的判定；平移的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）由平移可知AD∥CE，AD＝CE，DE＝AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴∠DAF＝∠CEG． ∵F，G分别是AC，DE的中点， ∴AF＝EG， ∴△ADF≌△ECG（SAS）． （2）由平移可知DC∥AB，DC＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵△ADF≌△ECG， ∴CG＝DF． 又∵F是AC的中点，CG＝AF， ∴DF＝AF＝CF， ∴∠ADF＝∠DAF，∠CDF＝∠DCF， ∴2∠ADF+2∠CDF＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据平移的性质得出，四边形ACED是平行四边形，然后得出∠DAF＝∠CEG，最后利用全等三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据平移的性质得出四边形ABCD是平行四边形，再根据条件得出DF＝AF＝CF，得出∠ADC＝90°，然后可得出结论． 【解答】证明：（1）由平移可知AD∥CE，AD＝CE，DE＝AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴∠DAF＝∠CEG． ∵F，G分别是AC，DE的中点， ∴AF＝EG， ∴△ADF≌△ECG（SAS）． （2）由平移可知DC∥AB，DC＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵△ADF≌△ECG， ∴CG＝DF． 又∵F是AC的中点，CG＝AF， ∴DF＝AF＝CF， ∴∠ADF＝∠DAF，∠CDF＝∠DCF， ∴2∠ADF+2∠CDF＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 20．（8分）·【中档】在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第　一　 步开始出错的，其错误原因是　未将所给方程化为一般式　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【考点】根的判别式；一元二次方程的一般形式；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【答案】（1）； （2）一，未将所给方程化为一般式； （3）x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14， 则x﹣3， 所以． 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）， 当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x． 故答案为：； （2）观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． 故答案为：一，未将所给方程化为一般式； （3）x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14， 则x﹣3， 所以． 【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 21．（8分）·【中档】我们已经学过以下5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图． （1）下面三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是C ； （2）已知∠α和线段b，求作菱形ABCD，使∠ABC＝∠α，BD＝b．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为　②③①④　 ； （3）如图3，已知∠AOB和线段m，在边OA上作一点P，使点P到OB的距离等于线段m．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号） 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）C； （2）②③①④； （3）如图3中，点P即为所求． 【分析】（1）根据作图痕迹利用基本作图一一判断即可； （2）根据作图痕迹判断即可； （3）在射线OB上取一点E，作EF⊥OB，在射线EF上截取线段ET，使得ET＝m，过点T作TM⊥EF交OA于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）下面三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是C． 故答案为：C； （2）已知∠α和线段b，求作菱形ABCD，使∠ABC＝∠α，BD＝b．小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为②③①④． 故答案为：②③①④； （3）如图3中，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，读懂图象信息． 22．（8分）·【中档】关于x的一元二次方程x2+2kx+6k﹣9＝0． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于5，求k的取值范围． 【考点】根的判别式；解一元一次不等式．版权所有 【答案】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（6k﹣9） ＝4k2﹣24k+36 ＝（2k﹣6）2≥0， ∴原方程有两个实数根； （2）k≤﹣1． 【分析】（1）计算判别式Δ，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为x1＝﹣3，x2＝﹣2k+3，结合原方程有一个根不小于5，即可得出k≤﹣1． 【解答】解：（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（6k﹣9） ＝4k2﹣24k+36 ＝（2k﹣6）2≥0， ∴原方程有两个实数根； （2）∵x2+2kx+6k﹣9＝0， ∴（x+3）（x+2k﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣2k+3， ∵方程有一个根不小于5， ∴﹣2k+3≥5， ∴k≤﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出原方程的解． 23．（8分）·【中档】一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的面积．版权所有 【答案】32． 【分析】方法一：过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，证明△ABC≌△ADE（ASA），得AC＝AE＝8，再由三角形面积计算即可； 方法二：过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，证明△ADC≌△ABE（ASA），得AC＝AE＝8，再由三角形面积计算即可． 【解答】解：方法一：如图1，过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E， ∵AE⊥AC， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠EAC＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ADC+∠B＝360°﹣（∠BAD+∠BCD）＝360°﹣（90°+90°）＝180°，∠EDA+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠EDA， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC＝AE＝8， ∴四边形ABCD的面积＝△AEC的面积AC×AE8×8＝32； 方法二：如图1，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵AE⊥AC， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠EAC＝∠EAB+∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAB， ∵∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠BAD+∠BCD）＝360°﹣（90°+90°）＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 在△ADC与△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（ASA）， ∴AC＝AE＝8， ∴四边形ABCD的面积＝△AEC的面积AC×AE8×8＝32． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分）观察下列等式，解答问题： 第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4；… （1）请直接写出第6个等式　　 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．版权所有 【答案】（1）； （2）第n个等式：， 证明：∵n为正整数， ∴ ， ∴； （3）2026． 【分析】（1）观察已知条件中的等式，找出等式中数字的变化规律，写出答案即可； （2）根据（1）中发现的规律，用含n的式子表示第n个等式，然后通过对左边进行化简证明等式成立即可； （3）利用（2）中得出的规律对所求式子进行化简，然后计算即可． 【解答】解：（1）∵第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 故答案为：； （2）∵第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4； …， ∴第n个等式：， 证明：∵n为正整数， ∴ ， ∴； （3） ＝1011+1015 ＝2026． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是根据已知等式，找出等式中数字的变化规律． 25．（8分）·【较难】【方法回顾】 （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝3，BE＝1，则EF的值为　2　 ． 【问题解决】 （2）如图2，菱形ABCD的边长为2，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长． 【思维拓展】 （3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积比△PAB的面积多1，请直接写出PB2﹣PD2的值． 【考点】四边形综合题．版权所有 【答案】（1）2． （2）1.5； （3）4． 【分析】（1）利用“AAS”证明△ABE≌△ADF，则BE＝AF，AE＝DF，然后利用EF＝AE﹣AF得到DF﹣BE＝EF； （2）证明△DAF≌△ABE（ASA），推出DF＝AE＝AF+EF＝AF+1，AF＝BE，再利用勾股定理构建方程解决问题即可． （3）如图3中，过点P作PN⊥BA交BA的延长线于N，PM⊥DA交DA的延长线于M，设PN＝x，PM＝y．设AB＝AD＝a，由S△PAD﹣S∠PAB＝m，推出ayax＝1，可得ay﹣ax＝2，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝AF，AE＝DF， ∵EF＝AE﹣AF，DF＝3，BE＝1 ∴EF＝DF﹣BE＝3﹣1＝2． 故答案为：2． （2）如图2中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝∠DAF＝90°， ∵∠BAD+∠AFD＝180°，即∠BAP+∠FAD+∠AFD＝180°， ∵∠ADF+∠FAD+∠AFD＝180°， ∴∠BAP＝∠ADF， ∴△DAF≌△ABE（ASA）， ∴DF＝AE＝AF+EF＝AF+1，AF＝BE， ∵∠DAF＝90°， ∴AF2+AD2＝DF2， 则AF2+4＝（AF+1）2， 解得AF＝1.5， ∴BE＝AF＝1.5； （3）如图3中，过点P作PN⊥BA交BA的延长线于N，PM⊥DA交DA的延长线于M，设PN＝x，PM＝y． ∵∠PMA＝∠MAN＝∠PNA＝90°， ∴四边形PMAN是矩形， ∴PN＝AM＝x，PM＝AN＝y， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，设AB＝AD＝a， ∵S△PAD﹣S△PAB＝1， ∴ayax＝1， ∴ay﹣ax＝2， ∴PB2﹣PD2＝x2+（a+y）2﹣[y2+（a+x）2]＝2ay﹣2ax＝2（ay﹣ax）＝4， 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $