精品解析：山东临沂市莒南县2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积展开后共有（ ）项. A. 60 B. 80 C. 30 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，展开式的每一项都是从三个括号中各取一个项相乘得到的，因此总项数等于每个括号中项数的乘积. 【详解】因为展开式的每一项都是从三个括号中各取一个项相乘得到的， 因此总项数等于每个括号中项数的乘积 第一个括号 有3项； 第二个括号 有5项； 第三个括号 有4项. 故总项数为. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 4. 已知随机变量，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以和的平均数为，即，解得. 5. 对于事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有， 故. 6. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理可知第行第个数为，可列方程，解方程即可. 【详解】由二项式定理可知第行第个数为， 则第行中从左至右第个数与第个数分别为，， 又比值为， 即， 化简可得， 解得， 故选：C. 7. 随机变量的分布列如表：则的取值范围是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，故， 故， 而即，故， 故. 8. 有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（ ） A. 128种 B. 144种 C. 224种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【详解】先在每个盒子中放入与盒子编号相同编号的手套（在左手、右手中选择一只）， 则有种放法， 再将剩余编号为的手套错排放入4个盒子中， （1）编号为1的手套放入编号为的某一个盒子，有3种放法， （2）把余下编号为2,3,4的手套放入余下的3个盒子中，满足手套编号与盒子编号不同时有3种放法， 故每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有种. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，再利用赋值法判断BCD的正误. 【详解】因为展开式中所有的二项式系数和为，故即， 故A正确； 由可得， 令，则， 两边求导后得， 令，则，故B错误； 令，则，再令，则， 故，故C正确； 令，则，故， 故D正确. 11. 甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（ ） A. 若，则比赛结束时总局数不可能是3 B. 若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为 C. 若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为 D. 若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据局数为奇数可判断其正误，对于B，根据独立事件的概率公式可求恰好4局结束比赛且甲获胜的概率，从而判断其正误，对于C，根据条件概率公式结合互斥事件、独立事件的概率公式求解后可判断其正误，对于D，利用动态转移结合递推数列可求甲最终获胜的概率，从而可判断其正误. 【详解】设局比赛中甲胜了局，则乙胜了局，故. 对于A，若，若比赛结束时总局数为，则为奇数， 故不可能为，故A正确； 对于B，若，设为“恰好4局结束比赛且甲获胜”， 因为，故或，因甲获胜，故，且前两局一胜一负， 故，故B错误； 对于C，若，此时，故奇数， 设为“不超过5局比赛结束”， 为“甲以4：1获胜”， 因为不超过局，故或. 若局结束比赛，因为，故甲连胜3局或乙连胜局， 故此时比赛结束的概率为； 若局结束比赛，则前局为甲（或乙）3胜负且无3连胜，第局甲（或乙）胜， 故此时比赛结束的概率为， 故，而 故，故C正确； 对于D，若，比赛进行一段时间后， 此后设为甲的得分与乙的得分的差，则， 记时甲最终获胜的概率为，则，， 又， 故， 故， 利用叠乘可得， 故， 同理， 故，而， 故，故. 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，故， 故. 13. 若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 14. 正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 【答案】 【解析】 【详解】从个顶点中任取个点， 如果个点共面，则它们来自正方体的6个面或6个对角面，此时它们不构成三棱锥， 故三棱锥的个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极大值． （1）求a，b的值； （2）求函数的零点的个数． 【答案】（1）， （2）函数的零点的个数为1 【解析】 【分析】（1）根据极大值点导数为0及列方程求解，再检验即可； （2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 对求导得， 由，且，解得，． 经检验，，符合题意，所以，． 【小问2详解】 由， 令或 令， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以可得函数的极小值为，又极大值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内． 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 17. 学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼． （1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率； （2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【小问1详解】 设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球， 第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得： . 【小问2详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选择乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而甲第天选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. 【小问3详解】 在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 19. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由： “双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【小问1详解】 （ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积展开后共有（ ）项. A. 60 B. 80 C. 30 D. 45 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如表：则的取值范围是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（ ） A. 128种 B. 144种 C. 224种 D. 256种 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（ ） A. 若，则比赛结束时总局数不可能是3 B. 若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为 C. 若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为 D. 若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________． 13. 若函数，则的单调递减区间为________． 14. 正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极大值． （1）求a，b的值； （2）求函数的零点的个数． 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 17. 学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼． （1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率； （2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系． 18. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 19. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $