精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题 1. 设函数在处的导数存在，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】. 故选：D 2. 若，则=（ ） A. 210 B. 105 C. 455 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】由题干条件和组合数的性质可算得，代入即可计算得出答案. 【详解】根据题意，由组合数的性质可得， 所以. 故选：B. 3. 随机变量，．若，则X在内取值概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线，得，再由即可求解. 【详解】因为随机变量，，所以， 因为，所以. 所以X在内取值的概率为. 故选：A 4. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】特殊元素优先排，先利用捆绑法把2位老师看成一个整体，有种排法，再给2位老师选5个位置中的中间3个， 剩下4名学生在4个位置全排列，再由分步乘法计数原理即可算出不同的排法总数. 【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法， 老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列， 2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列， 所以有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种. 故选：D. 5. 已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，对进行分类讨论发现当时，不存在极值点，当时，恰好存在一个极值点，由此可得答案. 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 6. 某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工，则题目所求的即为， 由题意易得，由古典概型可算得，再由条件概率的定义即可算得答案. 【详解】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工， 由题意可知，事件AB表示周六值班的是男职工，周日值班的是女职工，二者同时发生， 一共有种符合条件的情况，总情况数有，所以， 由条件概率的计算公式可知. 故选：B. 7. 定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的表达式，归纳分析可知，求，展开式有项，且每项的系数是组合数，由此可得出答案. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数， 所以的展开式中的系数是. 故选：C. 8. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知服从二项分布，服从超几何分布，由二项分布和超几何分布的性质依次分析各个选项， 对于选项ABD，可通过特殊值赋值验证发现其时错误的. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9. 已知的展开式共有8项，则（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确； 对于B，展开式通项为， 设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确； 对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误； 对于D，展开式二项式系数和为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. B. 当时， C. 是偶函数 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由极值点的导数为零，即可求，根据函数的单调性可判断选项B，再根据凸凹性，可判断选项D，根据偶函数关于轴对称，可判断选项C. 【详解】对于A，，由题意，是的解， 则，解得，故A正确； 对于B，因，所以， 函数的定义域为，， 令，解得，令，解得或， 故在上单调递减，又，则，故B错误； 对于C，由，所以关于对称， 则关于对称，即是偶函数，故C正确； 对于D，，可得， 又，则得， 因在上单调递增，则 故有， 即，故D正确. 故选：ACD 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（ ） A. B. 若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C. 若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D. 若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题意可得传球递推关系，且初始条件，由递推关系可算得； 对于B，由A可知当传球3次后，球在甲手中的概率，接下来的递推关系不同，可算得此时； 对于C，第3次传球后球在甲手中的概率，接下来递推关系为，由此可算得； 对于D，添加规定后传球递推关系仍为，所以的值与A选项相同，由此可得出答案. 【详解】对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为， 因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人， 所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系： ，且，由此可算得，所以A正确； 对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来， ，所以B错误； 对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为， 故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，， ，所以C正确； 对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题 12. 的展开式中，系数最大的项是第________项． 【答案】 【解析】 【分析】在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再利用二项式的性质可得答案 【详解】解：因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大， 所以第项的系数最大， 故答案为： 13. 某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 【答案】21 【解析】 【分析】根据迈三级台阶的次数分类讨论，最后再由分类加法计数原理即可得不同的走法总数. 【详解】考虑迈三级台阶的次数： 迈0次三级台阶，即每次迈2级台阶，走7次，只有1种走法； 迈1次三级台阶，还有11级，无法被2整除，不可能； 迈2次三级台阶，还有8级，再迈4次2级台阶，一共要迈6次，所以有种走法； 迈3次三级台阶，还有5级，无法被2整除，不可能； 迈4次三级台阶，还有2级，再迈1次2级台阶，一共要迈5次，所以有种走法； 迈5次三级台阶，已经超过14级台阶了，不可能， 根据分类加法计数原理，不同的走法共有种. 故答案为：21. 14. 已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案：. 四、解答题 15. 学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： （1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ （2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ （3）若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【小问1详解】 选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． 【小问2详解】 若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． 【小问3详解】 选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得导函数，对进行分类讨论即可得到函数的单调性； （2）先化简题干的不等式，分离参数得到，通过构造函数找到的最小值，由此可求得实数a的取值范围． 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 因为，若时，在上单调递增； 若时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，故实数a的取值范围为. 17. 将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． （1）求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； （2）在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法，利用排列组合的知识可求得当时的放法总数，同理可求得当时的放法总数，由此可求得甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； （2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，由条件概率的定义可知在A信件放入甲信箱的前提下，B信件不放入甲信箱的概率. 【小问1详解】 X的所有可能取值为1，2，3， 当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法： ①6封信里选1封放入甲信箱，再选2封放入乙信箱，再选2封放入丙信箱，二者平均分配需要倍缩， 最后1封放入丁信箱，后三个信箱为全排列， ②6封信里选1封放入甲信箱，再选3封放入乙信箱，最后2封各1封放入丙丁信箱，后三个信箱为全排列， 所以当时，放法总数为， 同理可得当时，放入甲邮箱中两封信的放法总数， 当时，放入甲邮箱中三封信的放法总数， 因此，， ， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望． 【小问2详解】 在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 所以B信件不放入甲邮箱中的概率为． 18. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）若无零点，求a的取值范围． （3）若，有两个实数根，，证明： 【答案】（1）最大值为，最小值为0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【小问1详解】 当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 ∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 19. 某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天随机选择去一家餐厅用餐，以后每天的用餐规律是：如果第1天去了A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.7；如果第1天去了B餐厅，第2天去A餐厅的概率为0.8． （1）求王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐的概率. （2）求王同学在第天去A餐厅用餐的概率． （3）已知随机变量：表示王同学第i天去A餐厅用餐，表示他第i天去B餐厅用餐，满足．设随机变量表示王同学在前n天内去A餐厅用餐天数，其中，求． 【答案】（1） （2）， （3），． 【解析】 【分析】（1）设事件=“王同学在第天去B餐厅用餐”，事件B=“王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐”，则，由题干条件可算得答案； （2）设事件=“王同学在第天去A餐厅用餐”，由全概率公式可算得，由此可得满足的递推关系，通过构造等比数列可得的表达式. （3）由题意可得，利用题干条件和数列的分部求和法即可算得． 【小问1详解】 设事件=“王同学在第天去B餐厅用餐”，事件B=“王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐”， 由概率的加法公式和乘法公式，得 ； 【小问2详解】 设事件=“王同学在第天去A餐厅用餐”， 由全概率公式，得，，， 所以， 故，， 因为，所以为等比数列，其首项为，公比为． 故，所以，； 【小问3详解】 因为服从两点分布，所以， 故， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题 1. 设函数在处的导数存在，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，则=（ ） A. 210 B. 105 C. 455 D. 240 3. 随机变量，．若，则X在内取值的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.1 4. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 5. 已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 8. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 已知的展开式共有8项，则（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. B. 当时， C. 是偶函数 D. 当且时， 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（ ） A. B. 若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C. 若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D. 若添加规定：当球甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 三、填空题 12. 的展开式中，系数最大的项是第________项． 13. 某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 14. 已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 四、解答题 15. 学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： （1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ （2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ （3）若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数a取值范围． 17. 将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． （1）求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； （2）在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 18 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）若无零点，求a的取值范围． （3）若，有两个实数根，，证明： 19. 某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天随机选择去一家餐厅用餐，以后每天的用餐规律是：如果第1天去了A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.7；如果第1天去了B餐厅，第2天去A餐厅的概率为0.8． （1）求王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐的概率. （2）求王同学在第天去A餐厅用餐的概率． （3）已知随机变量：表示王同学第i天去A餐厅用餐，表示他第i天去B餐厅用餐，满足．设随机变量表示王同学在前n天内去A餐厅用餐的天数，其中，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$