4.1正弦和余弦（教学设计）-2025-2026学年九年级数学上册（湘教版 ）

该初中数学教学设计聚焦九年级上册《正弦和余弦》中正弦概念的理解与应用，通过播放高跟鞋舒适度视频引出实际问题，引导学生抽象出直角三角形，结合八年级已学直角三角形知识，搭建从现实情境到数学模型的学习支架。 此设计亮点在于融合AI工具与几何画板辅助探究，学生通过测量特殊角对边与斜边比值，经推理归纳正弦定义，培养数学思维中的推理能力。小组合作与闯关游戏巩固知识，解决导入问题体现用数学语言表达现实世界，提升学生抽象能力与应用意识，助力教师高效教学，夯实三角函数基础。

2026年道县优质教学资源评选活动 ---九年级上册第四章第1节《正弦和余弦 》教学设计 课程基本信息 主备人 蒋琳姣 课型 新授课 学科 数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 湘教版4.1 教学目标 1. 引导学生从现实情境中，抽象出直角三角形中边角关系的探索过程，理解锐角三角函数中的正弦和余弦的意义。 2. 通过学习,会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 3. 通过AI辅助工具提升学习效率和个性化学习体验。 4.经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维表达世界，用数学的思维思考世界。 教学重难点 教学重点: 理解并运用正弦表示直角三角形中的两边比，正确掌握特殊角的正弦值。 教学难点:理解正弦的概念并进行运用。 学情分析 学生在八年级下册已经学习的《直角三角形》的相关知识，对直角三角形角的关系、边的关系有了初步的认识与了解，为探究锐角三角函数的意义，揭示直角三角形中边角关系的学习打下了良好的基础。虽然这节课知识较为抽象，学生应用知识解决问题会有一定的因难，但教师要善于积极引导，让学生融入课堂，引导他们积极观察、探索，使他们感受知识的魅力和乐趣。 教学准备 多媒体课件、直角三角形硬纸片、直尺、三角板、AI小程序、几何画板小程序、导入视频等。 教学过程 情景导入，初步认知 教师活动 学生活动 设计意图 播放视频，引出问题： 问题1：美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15cm，请问高跟鞋鞋跟为多少厘米时脚的感觉最舒适？ 问题2：从上述情景中，你可以抽象出一个什么数学图形呢？能否结合数学图形把这个问题抽象为数学问题？ 问题3：你准备怎样解决这个问题呢？ 问题4：对于直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？ 教师抛出问题情境，引发学生的思考，让学生在思考中进入新知的探究过程。 教师引导学生由问题情境，抽象出数学问题和数学图形. 学生认真阅读问题、思考问题，寻找解决问题的方法。 学生积极思考各个问题，小组内合作交流，探究解决上述问题. 通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生兴趣，落实数学核心素养，引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的眼光思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考. 思考探究，获取新知 教师活动 学生活动 设计意图 操作活动: 记录AI工具测量的直角三角形中标出的11°角、30°角、65°角的对边与斜边的长及它们的斜边与对边的比值.（结果保留两位小数）. 通过探究发现：在直角三角形中，11°角、30°角、65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它们分别等于0.19、0.50、0.91. 问题5：若把这些特殊的角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？你能想办法利用已学的知识进行证明吗？ 验证猜想：已知：∆ABC和∆DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则有什么关系？为什么？ 证明： ∴△ABC ∽△DEF 归纳结论： 1.在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 2.在直角三角形中，我们把锐角∠α的对边与斜边的比叫作∠α的正弦，记作sinα. 即 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA = ，sinB = . 3. 教师多媒体出示AI程，并引导学生根据操作活动，指导学生分组记录数据。 教师引导学生分析记录的数据，并巡视指导学习困难的学生，随机点名请学生展示，师生共同评价学生的展示情况。 教师引导学生分析几何推理的过程，引导学生运用已知条件推导未知条件，变成已知条件为证明所用，规范推理论证的过程。 引导学生归纳得出结论。 学生分工合作，动手记录AI操作得出的数据，测对比数据，狂想、推理、归纳得出定义和30°的特殊角正弦值. 此环节的设计是为了突出定义的形成过程，帮助学生理解定义，通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”、“数形结合”的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 一个问题串，引导学生深入探究，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生的主体地位，让学生参与知识的发生、生成过程. 典例精析，巩固新知 教师活动 学生活动 设计意图 【例1】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13. （1） 求sinA的值； （2） 求sinB的值； 教师巡视指导学生解答，抽签请学生上台展示并讲解，师生共同评价后，教师进一步分析讲解。 学生在练习本上尝试完成解题过程，小组内讨论交流做法，选派小组代表进行展示. 例题的设计考查学生对勾股定理和正弦的定义的运用，检测学生对于所学的正弦定义的理解和运用情况。 运用新知，深化理解 教师活动 学生活动 设计意图 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦(　　) A.扩大到原来的2倍 B.缩小为原来的 C.扩大到原来的4倍 D.不变 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°, AB＝10，AC＝8，则sin A的值是 . 3.在△ABC中，∠C＝30°，DE∥BC， 则sin ∠ADE= . 4.当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为10cm，请问高跟鞋鞋跟为多少厘米时脚的感觉最舒适？ (参考值：sin11°≈0.19) 练习设计成闯关游戏，帮助学生点击闯关选择，并引导学生运用知识解决问题 学生进行知识闯关，检测自己对知识的掌握运用情况。 运用新知环节回到引入的课题的问题，检测学生对于知识的理解和运用能力，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的能力. 课堂小结 教师活动 学生活动 设计意图 请从下列关键词中选出一个或几个，谈谈你对这节课的收获与感受. 我学会了 什么知识？ 我掌握了 什么方法？ 我欣赏 某某同学？ 我希望自己 得到什么发展？ 教师引导学生从不同的维度进行小结，提升学生的归纳小结能力. 学生根据表格中的内容，进行知识小结，提升自己的能力. 针对本课知识从不同的维度进行小结，帮助学生梳理知识，达到再次巩固的目的，同时提炼学习研究数学的方法. 板书设计： 第四章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦第1课时 1.正弦：在直角三角形中，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作，即 2.特殊角的正弦值： 教学反思： 本节课我依据新课程标准，以培养学生的核心素养为目的设计本节课的教学内容。本节课的优点主要有：以学生为主体，教师通过引导学生自主学习、小组合作探究、交流讨论、分享展示的形式探究本节课的知识，注得培养学生自主学习的能力。创设机会，结合AI、几何画板、随机点名器，让学生展示，较好地调动学生学习积极，检测学生对知识的掌握情况。精选例题、习题，较好地训练培养了学生的能力，从知识、方法、互评、自评四个方面进行小结，帮助学生构建知识结构，分层作业设计，满足不层次的学生的发展需求。 需要改进的地方：合作探究环节，让学生思考、讨论的时间不够，可以提前把学习任务单印发给学生，让学生提前预习，对于发展中学生关注不够，要进一步关注他们的学习，让他们在学习中得到发展。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $