4.1 正弦和余弦 （课件）-2025-2026学年九年级数学上册（湘教版 ）

这是一份初中数学“第四章 锐角三角函数 4.1 正弦”的同步教学课件，通过高跟鞋舒适角度情境导入，抽象出直角三角形模型，经操作活动、相似证明得出正弦定义，结合典例分析、课堂练习（含解决导入问题）及分层作业，构建完整学习支架。 资料特色突出核心素养，以现实问题培养数学眼光（抽象能力），用相似推理证明比值常数发展数学思维（推理能力），通过正弦解决高跟鞋问题强化数学语言（模型意识），情境贯穿、AI测量操作及实践作业设计，适用于九年级学生，关注升学考试三角函数应用，能提升学生探究应用能力，为教师提供生动高效的教学资源。

合作探究一： 问题2：从上述情境中，可以抽象出一个什么数学图形呢？ 能否结合数学图形把问题抽象为数学问题呢？ 11° A B C 10cm ？ 抽象：在Rt∆ABC， ∠C=90°，∠A=11°，AB=10cm， 求BC的长. 问题3：如何解决这个问题呢？ 问题4：对于直角三角形的边角关系，已经学了什么内容？ 角的关系：两锐角互余 直角三角形中的边与角有怎样的关系？ 边的关系：勾股定理 第四章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 道县第五中学 蒋琳姣 第1课时 正 弦 新知探究 操作活动:记录AI工具所测量的直角三角形中标出的11°角、30°角、65°角的 对边与斜边长，及它们的对边与斜边的比值.（结果保留两位小数）. 11° 对 边 斜边 A B C 65° A C B 斜边 对边 30° 斜边 对 边 A B C 新知探究 你能想办法利用已学的知识进行证明吗？ 问题5：若把这些特殊的角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 通过操作我们发现：在直角三角形中，11°角、30°角、65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它们分别等于0.19、0.50、0.91 . 探究二： 已知，在Rt∆ABC与Rt∆DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D=α， 是否相等呢？ 验证猜想： 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关. 证明：∵∠A=∠D=α，∠C=∠D=90° ∆ABC和∆DEF都是直角三角形，其中∠C=∠F=90°， ∠A=∠D=α， 则 有什么关系？为什么？ B A C E D F 特别提醒： 2.sin30°= . 1.sinA也可记为sin∠BAC 归纳结论 或sinα 正弦 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的 ， 记作: ， 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90° 则sinA = sinB = 即： 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90° ，BC=5，AB=13. 【例1】如图，在Rt△ABC中， ，BC=5，AB=13. （1）求sinA的值； （2）求sinB的值． A A B C 5 13 典例分析 ∠C=90° （2）在Rt△ABC中，∠C=90° ，BC=5，AB=13. 课堂练习 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°, AB＝10，AC＝8， 则sin A的值是 . 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(　　) A.扩大到原来的2倍 B.缩小为原来的 C.扩大到原来的4倍 D.不变 D 3.在△ABC中，∠B＝30°，DE∥BC，则sin ∠ADE= . A B C 第2题图 A B C D E 第3题图 11° A B C 10cm ？ 课堂练习 （sin11°≈0.19） 解：根据题意得：在Rt∆ABC中 ∵AB=10，sinA= 答：高跟鞋鞋跟为1.9厘米时脚的感觉最舒适 4.当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为10cm，请问高跟鞋鞋跟为多少厘米时脚的感觉最舒适？ 请从下列关键词中选出一个或几个，谈谈你对这节课的感受. 我学会了 什么知识？ 我掌握了 什么方法？ 我欣赏 某某同学？ 我希望自己 得到什么发展？ 课堂小结 1.必做题：教材第111页练习第1、2题. 课堂作业 2.拓展题： 如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB. （1）sinB可以用哪两条线段的比表示出来？ （2）若AC=5，CD=3，求sinB的值 3.实践题： 运用今天所学的知识，通过测量计算，检查你妈妈的高跟鞋穿着是否舒服？如果不舒服，请帮她改进. 感谢聆听！ Lavf60.16.100 三角函数探索游戏 点击三角形的边查看长度，使用按钮查看正弦值 65°三角形 30°三角形 11°三角形 边AB 边AC 边BC ∠A的对边斜边 在直角三角形中： • 角C是直角，90° • 角A是65°，角B是25° • 正弦(sin) = 对边斜边 尝试点击不同部分来探索三角函数的奥秘！ 边长 角度 $