4.2 正切 课件 2025-2026学年 湘教版（2012）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“正切”核心知识点，涵盖概念、性质及应用。通过“比较梯子陡度”的生活情境导入，从倾斜角比较到铅直高度与水平宽度比的定量分析，结合相似三角形解决测量困难，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实（梯子问题），用数学思维推理（从直观比较到正切定义的抽象），通过合作探究和分层练习培养推理意识与创新意识。采用情境导入、探究式教学，帮助学生理解正切本质，教师可直接用于课堂提升教学效率。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.2 正切 想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 人教版九年级数学 - 课堂练习 - 基础题：计算sin60°×sin45°-sin30°（答案：(√3/2)×(√2/2)-1/2=√6/4 -1/2≈0.612-0.5≈0.112） - 提升题：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=0.7，AB=15，求AC的长度（结果保留两位小数）（答案：AC=AB×sinB=15×0.7=10.50） - 实际题：某起重机的吊臂与水平面的夹角为35°，吊臂端点到地面的垂直距离为8米，求吊臂的长度（结果保留一位小数，sin35°≈0.5736）（答案：吊臂长度=8/sin35°≈8/0.5736≈13.9米） 5. 课堂小结（3分钟） 1. 核心知识：30°、45°、60°的正弦值（准确记忆表格）； 2. 技能掌握：计算器“度”模式切换，求锐角正弦值及逆向求角的操作； 3. 应用技巧：结合正弦定义，解决含特殊角或任意锐角的直角三角形问题。 （二）PPT分页内容（直接复制使用） 第11页：标题页（4.1.2） - 标题：4.1.2 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦 - 副标题：人教版九年级数学下册 - 背景图：含特殊角的直角三角形集合图 第12页：复习导入 - 回顾：sinA = ∠A的对边 / 斜边（Rt△中∠C=90°） - 问题1：30°、45°、60°的正弦值分别是多少？ - 问题2：已知∠A=25°，如何用计算器求sinA？ - 衔接：除了对边与斜边的比，直角三角形中锐角的邻边与斜边的比也有特殊规律，这就是今天要学的——余弦。 第13页：特殊角正弦值表格 锐角α 30° 45° 60° sinα 1/2 √2/2 √3/2 第14页：计算器操作指南 - 前提：切换至“度”模式（显示“D/DEG”） - 求sin值：sin键→输入角度→=键（例：sin36.5°≈0.5958） - 求角度：SHIFT+sin键→输入正弦值→=键（例：sinα=0.6→α≈36.87°） - 提示：度分秒需先转化为十进制度数 第15页：例题3与4 - 例题3：计算①sin30°+sin60° ②2sin45°-sin30°（附解答过程） - 例题4：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20，∠A=28°，求BC（附解答：BC=20×sin28°≈9.4） 第16页：课堂练习 - 基础题：sin60°×sin45°-sin30° - 提升题：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=0.7，AB=15，求AC - 实际题：起重机吊臂夹角35°，垂直高度8米，求吊臂长度 第17页：课堂小结 - 特殊角正弦值：记清30°、45°、60°对应值 - 计算器操作：度模式切换、正逆向计算 - 应用：结合正弦定义解决直角三角形问题 第18页：结束页 - 文字：谢谢观看！ - 背景图：计算器与直角三角形组合图案 （三）课堂案例（拓展补充） 案例3：古建筑修复中的角度计算 古建筑修复师在修复某亭台的倾斜立柱时，需要确定立柱与水平面的夹角。他们测得立柱顶端到地面某点的水平距离为3米，垂直距离为2米，先算出sinα=2/√(3²+2²)=2/√13≈0.5547，再用计算器求得α≈33.7°，据此制定矫正方案，确保修复后立柱垂直。 案例4：航海中的方位判断 某货轮在海上航行，测得灯塔在货轮北偏东42°方向，货轮到灯塔的直线距离为5千米。船员用计算器算出灯塔到货轮正北方向的垂直距离为5×sin42°≈3.35千米，据此确定航行调整的参考数据，避免偏离航线。 （四）关键易错点提醒（4.1.2） 1. 特殊角记忆混淆：如将sin60°记为1/2，需结合直角三角形边长关系理解记忆； 2. 计算器模式错误：未切换至“度”模式导致结果偏差，计算前务必检查； 3. 度分秒转化失误：分秒转化为度时未除以60，如30′误算为0.3°； 4. 结果精度问题：未按题目要求保留小数位数，需注意“保留一位小数”“精确到0.01”等表述。 六、4.1.3 余弦（教学实用拓展内容） （一）教学过程（45分钟，可直接课堂实施） 1. 对比导入（5分钟） 1. 回顾旧知：出示Rt△ABC（∠C=90°），提问：∠A的正弦值如何表示？（预设：sinA=BC/AB，BC是∠A的对边） 2. 提出新问题：在这个三角形中，除了∠A的对边BC，还有一条直角边AC（与∠A相邻的直角边），AC与斜边AB的比值是否也有固定规律？引出课题——余弦。 2. 新知探究一：余弦的定义（10分钟） - 构建模型与观察 - 定义提炼 - 关键强调 - 余弦是比值，无单位； - “邻边”是与锐角A相邻的直角边，需与“对边”区分（可结合“对边对角，邻边邻角”口诀记忆）； - 只与锐角的度数有关，与直角三角形的大小无关。 3. 新知探究二：特殊角的余弦值（12分钟） - 推导30°角的余弦值 - 推导45°角的余弦值 - 推导60°角的余弦值 - 总结特殊角余弦值表格 4. 新知探究三：用计算器求锐角的余弦值（8分钟） - 操作前提：与求正弦值一致，确保计算器处于“度”模式。 - 具体步骤（以科学计算器为例） - 整数度数（如cos32°）：按“cos”→输入“32”→按“=”，结果约为0.8480； - 含分度数（如cos48°15′）：先转化为度（15′=0.25°，48°15′=48.25°），按“cos”→“48.25”→“=”，结果约为0.6665； - 逆向应用（已知cosα=0.7，求α）：按“SHIFT”→“cos”→输入“0.7”→“=”，结果约为45.57°（可转化为45°34′12″）。 5. 例题讲解与课堂练习（8分钟） - 例题5：直接运用定义计算 - 例题6：结合特殊角与实际应用 - 课堂练习 - 基础题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=10，求cosA和cosB（答案：cosA=√3/2，cosB=1/2）； - 提升题：计算cos30°+2cos45°-cos60°（答案：√3/2 + 2×√2/2 - 1/2=(√3 + 2√2 -1)/2≈2.78）； - 实际题：用计算器计算，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，AB=25，求AC的长度（结果保留一位小数，cos37°≈0.8）（答案：AC=25×0.8=20.0）。 6. 课堂小结（2分钟） 1. 核心定义：cosA=∠A的邻边/斜边（Rt△中∠C=90°）； 2. 特殊角值：记清30°、45°、60°的余弦值及与正弦的互余关系； 3. 技能应用：计算器求余弦值的操作，结合定义解决实际问题。 （二）PPT分页内容（直接复制使用） 第19页：标题页（4.1.3） - 标题：4.1.3 余弦 - 副标题：人教版九年级数学下册 - 背景图：标注邻边、斜边的直角三角形图案 第20页：对比导入 - 回顾：sinA=∠A的对边/斜边（例：Rt△中∠A对边BC=5，斜边AB=13，则sinA=5/13） - 问题：∠A的邻边AC与斜边AB的比是什么？有何规律？ - 引出：今天学习直角三角形中锐角的另一种边角关系——余弦。 第21页：余弦的定义 - 定义：Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边与斜边的比叫∠A的余弦，记作cosA。 - 公式：cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB - 辨析：对边（BC）vs邻边（AC）——“对边不对角，邻边相邻角” 第22页：特殊角余弦值 锐角α 30° 45° 60° cosα √3/2 √2/2 1/2 规律：cosα=sin(90°-α)，如cos30°=sin60°，cos60°=sin30° 第23页：计算器求余弦值 - 前提：确认“度”模式（D/DEG） - 操作：cos键→输入角度（如48.25°）→=键（cos48.25°≈0.6665） - 逆向：SHIFT+cos键→输入余弦值（如0.7）→=键（α≈45.57°） 第24页：例题5与6 - 例题5：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，求cosA、cosB（附解答） - 例题6：堤坝坡面夹角60°，坡面长10米，求水平宽度（附解答：10×cos60°=5米） 第25页：课堂练习 - 基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=10，求cosA、cosB - 提升题：计算cos30°+2cos45°-cos60° - 实际题：∠A=37°，AB=25，求AC（cos37°≈0.8） 第26页：课堂小结 - 定义：cosA=邻边/斜边 - 特殊角：30°、45°、60°的余弦值及互余规律 - 应用：结合计算器解决直角三角形问题 第27页：结束页 - 文字：谢谢观看！ - 背景图：余弦值应用场景（堤坝、建筑）示意图 （三）课堂案例（拓展补充） 案例5：桥梁坡度设计 桥梁工程师设计引桥时，需控制引桥的坡度（与水平面夹角）。已知引桥坡面长度为50米，要求水平宽度为45米，通过计算cosα=45/50=0.9，再用计算器求得α≈25.8°，符合道路设计规范中“坡度不超过30°”的要求。 案例6：摄影中的角度调整 摄影师拍摄高楼时，希望镜头与高楼的夹角合适以突出建筑美感。测得摄影师到高楼底部距离为20米，镜头到楼顶的直线距离为25米，算出cosα=20/25=0.8，得α≈36.9°，据此调整相机角度，拍出理想照片。 （四）关键易错点提醒（4.1.3） 1. 邻边与对边混淆：如将∠A的邻边错认为BC，需结合“相邻即有公共顶点”判断； 2. 特殊角规律记错：如忽略cosα=sin(90°-α)，导致记忆负担加重； 3. 计算器操作失误：求余弦值时误按“sin”键，需看清功能键标识； 4. 运算顺序错误：计算含余弦的混合运算时，未先算余弦值再进行加减乘除。 七、4.2 正切（教学实用拓展内容） （一）教学过程（45分钟，可直接课堂实施） 1. 情境递进导入（5分钟） 1. 回顾铺垫：出示Rt△ABC（∠C=90°），提问：∠A的正弦、余弦分别是什么？（预设：sinA=BC/AB，cosA=AC/AB） 2. 新情境问题：某小区改造时需修建无障碍坡道，施工人员测得坡道的垂直高度（∠A的对边BC）为1米，水平宽度（∠A的邻边AC）为12米。工程师说“这个坡道的坡度用‘对边与邻边的比’表示”，这个比值是什么？引出课题——正切。 2. 新知探究一：正切的定义（10分钟） - 模型观察与比值分析 - 正切定义提炼 - 核心特征强调 - 正切是两条直角边的比值，无单位，区别于正弦、余弦（斜边为分母）； - “对边”“邻边”均相对于锐角A而言，若角变为∠B，则tanB=AC/BC（∠B的对边为AC，邻边为BC）； - 仅与锐角的度数有关，与直角三角形的边长无关。 3. 新知探究二：特殊角的正切值（12分钟） - 推导30°角的正切值 - 推导45°角的正切值 - 推导60°角的正切值 - 总结特殊角正切值表格 4. 新知探究三：用计算器求锐角的正切值（8分钟） - 操作前提：与正弦、余弦一致，确保计算器处于“度”模式，避免弧度模式导致错误。 - 具体操作步骤（科学计算器为例） - 整数度数（如tan28°）：按“tan”键→输入“28”→按“=”键，结果约为0.5317； - 含分度数（如tan52°40′）：先转化为度（40′=40/60≈0.6667°，52°40′≈52.6667°），按“tan”→“52.6667”→“=”，结果约为1.3170； - 逆向应用（已知tanα=1.2，求α）：按“SHIFT”（或“2nd F”）→“tan”键→输入“1.2”→“=”，结果约为50.19°（可转化为50°11′24″）。 5. 例题讲解与课堂练习（8分钟） - 例题7：直接运用定义计算 情景导入 铅直高度 水平宽度 A C B 相关概念 正切的定义 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角 探究新知 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 合作探究1 A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 A B （C） 探究新知 问题2:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲 乙 探究新知 问题3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3 m 6 m D E F C 2 m B 4 m A 探究新知 问题4:你有几种方法比较梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 3 m 2 m 6 m 5 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 探究新知 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C1 C2 B2 B1 合作探究2 探究新知 两个直角三角形相似 (2) 和 有什么关系? (3)如果改变 B2 在梯子上的位置 (如 B3C3 )呢? 思考：由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 想一想 相等 相似三角形的对应边成比例 (1)Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? 探究新知 在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tan A = 归纳总结 结论：tan A 的值越大， 梯子越陡. ∠A的对边 ∠A的邻边 探究新知 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一 个锐角. 2.tan A是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC . ∠1 的正切表示为：tan∠1. 3.tan A 大于零 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tan A 不表示“tan”乘以“A ”. 5.tan A 的大小只与∠A 的大小和直角三角形的两边长的比值有关. 探究新知 A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？ 可以大于1吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应. 解：可以等于 1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 探究新知 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， β 6 m 乙 8 m α 5 m ┌ 甲 13 m 乙梯中， ∵tan β＞tan α，∴乙梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 典例精析 探究新知 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A =_____，tan B =_____． 练一练 2.已知∠A，∠B 为锐角， (1)若∠A =∠B，则 tan A tan B; (2)若 tan A = tan B，则∠A ∠B. = = 探究新知 互余两锐角的正切值互为倒数. 3.下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 指出∠A 和∠B 的正切. (1) tan A = = AC ( ) CD ( ) (2) tan B = = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC A B C D 探究新知 4.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 探究新知 求 tan 30°，tan 60° 的值. 从而　AC2 = AB2 - BC2 = (2BC)2 - BC2 = 3BC2. 解： 如图，构造一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 30°， 于是 BC = AB ， ∠B = 60°. 由此得出 AC = BC. 因此 　 因此 合作探究 探究新知 说一说 tan 45° 的值 tan 45° = 1 探究新知 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表． 锐角 α 三角 函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α 归纳： 1 探究新知 　　对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们也可用计算器来求. 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角 　　例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 　　　　 ，显示结果为 0.6427…　　 探究新知 20 　　如果已知正切值，我们也可以利用计算 器求出它的对应锐角. 　　例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为 40.000…，表示角 α 约等于40°. 探究新知 总结归纳 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α，都有唯一确定的比值 sin α (或 cos α，tan α)与它对应，并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的比值 sin α (或 cos α，tan α )也随之变化. 因此我们把锐角 α 的正弦、余弦和正切统称为 角 α 的锐角三角函数. 探究新知 定义中应该注意的几个问题： 1.sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，分别表示 ∠A 的正弦，余弦，正切 (习惯省去“∠”号). 3.sin A，cos A，tan A 是一个比值.注意比的顺序. 且 sin A，cos A，tan A 均＞0，无单位. 4.sin A，cos A，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 探究新知 例2 求下列各式的值： 提示：cos2 60° 表示(cos 60°)2，即 (cos 60°)×(cos 60°). 解：cos2 60° + sin2 60° 典例精析 (1) cos2 60° + sin2 60°； 探究新知 (2) 解： 探究新知 练一练 计算： (1) sin 30° + cos 45°； 解：原式 = (2) sin2 30° + cos2 30°－tan 45°. 解：原式 = 课堂练习 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋| sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 课堂练习 练一练 1. 已知：| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数. 解：∵ | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0， ∴ tan B＝ ，sin A＝ ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 课堂练习 2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 个根，求 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15°) 的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tan α＞0，∴ tan α = 1. ∴ α = 45°. ∴ 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15° ) = 2 sin2 45° + cos2 45°－ tan 60° 课堂练习 (1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ). (2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ). (3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ). 1.完成下列填空： B C A 课堂练习 2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. D 这个图呢？ 课堂练习 3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ 课堂练习 知识点1 正切的定义 （第1题） 1.［2025永州月考］如图，在 中，若 ，，，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 33 2.如图，已知在中， ，，，则 的 长是( ) A （第2题） A.4 B.8 C. D. 返回 考试考法 34 （第3题） 3.如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为 1）， 的值是( ) D A.1 B. C. D.2 返回 考试考法 35 4.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为 ， ， 则 的值是__. （第4题） 返回 考试考法 36 5.［2025长沙月考］如图，在中， ， ， ，求与 的值. 解： 在中， ，， ， ， . 返回 考试考法 37 知识点2 30° 、45° 与60° 角的正切值 6.如图，在中， ，为 的平 分线，则 等于( ) B A. B.1 C. D. 返回 考试考法 38 7.［教材P119“例”变式］ 计算： ___. 1 返回 考试考法 39 知识点3 利用计算器求锐角或锐角的正切值 8.用计算器求 时，依次按 ，则计算器上显示的 结果约等于( ) C A.0.577 B.0.707 C.0.869 D.1.732 返回 考试考法 40 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切 正弦的性质： α 确定的情况下，tan α 为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 课堂小结 谢谢观看！ $