专题11 超几何分布6种常见考法归类讲义（50题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题11 超几何分布6种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对超几何分布的理解 考点二 超几何分布的概率 考点三 超几何分布的概率最值问题 考点四 超几何分布的均值和方差 考点五 二项分布与超几何分布辨析 考点六 超几何分布的综合应用 知识点1 超几何分布 1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝， k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 3.对超几何分布的理解 （1）在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. （2）若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. （3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布 超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 知识点2 超几何分布和二项分布的区别和联系 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布. 注：（1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 策略方法 一、超几何分布的判断方法 1.核心判定三要素 （1）总体明确分两类：总体个个体分为目标类个、非目标类个； （2）抽样方式为不放回随机抽取个； （3）随机变量表示样本中目标类个体的个数。 2.判断步骤 （1）看总体：是否分成两类已知数量的对象； （2）看抽取：是否为不放回抽样； （3）看变量：是否表示抽取样本中某一类的个数； （4）下结论：同时满足则服从超几何分布。 3.典型模型 （1）产品抽样：件产品，件次品，取件，次品数； （2）人群抽样：男生、女生，抽取若干，女生人数； （3）摸球模型：红球、白球，不放回摸取，红球个数。 二、超几何分布的概率计算 1.概率公式 （1）公式： （2）取值范围：，其中 （3）约束条件： 2.计算步骤 （1）定参数：确定四个量； （2）代公式：代入超几何分布概率公式； （3）算组合：计算分子、分母组合数； （4）得结果：化简为最简分数或小数。 3.常用技巧 （1）至少问题： （2）至多问题： （3）对立简化：正面复杂优先用总概率1减反面。 三、超几何分布的概率最值问题 1.求解思路 （1）设最大，列出不等式组： （2）代入概率公式，约分化简； （3）解出整数，即为概率最大时的取值。 2.快速判断 （1）计算附近整数； （2）结合的取值范围确定。 四、超几何分布的均值与方差 1.均值公式 （1） （2）理解：样本中目标类个数的平均值，与二项分布期望形式一致。 2.方差公式 （1） （2）适用条件：不放回抽样、有限总体。 3.计算步骤 （1）确定； （2）直接代入公式，无需列分布列； （3）快速计算期望与方差，提高解题效率。 五、超几何分布与二项分布的辨析 1.核心区别 （1）抽样方式：超几何分布不放回；二项分布有放回。 （2）概率特点：超几何分布每次概率改变；二项分布每次概率不变。 （3）总体要求：超几何分布需总体容量；二项分布不需要。 2.内在联系 （1）期望相同：（）； （2）近似关系：当远大于时，不放回≈有放回，超几何分布近似二项分布。 3.快速选择 （1）出现“不放回、总体分两类、已知总数”→超几何分布； （2）出现“有放回、独立重复、固定成功率”→二项分布。 六、超几何分布的综合应用 1.解题步骤 （1）识别模型：判断是否服从超几何分布； （2）确定参数：明确； （3）计算概率：求单点、范围、最值概率； （4）计算期望：用公式； （5）实际决策：用期望、概率进行方案判断。 2.常考题型 （1）分层抽样后的抽样概率问题； （2）产品质检、次品数、优等品数分布； （3）竞赛、评比、指标人数统计； （4）结合频率分布直方图的抽样问题； （5）与条件概率、独立事件综合考查。 七、高频易错点 1.混淆放回与不放回，错用二项分布； 2.参数找错，尤其（目标类总数）； 3.概率计算时组合数分子、分母写反； 4.忽略的取值范围，出现不可能取值； 5.方差公式记错，漏乘； 6.综合题未先判断分布类型直接计算。 考点一 对超几何分布的理解 1．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 2．【多选】（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 3．（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【分析】根据超几何分布模型定义可知答案. 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 4．（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)是，理由见解析 (5)不是，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据超几何分布的特点逐项判断，可得出结论. 【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题． 考点二 超几何分布的概率 5．（2026高三·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 6．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总文创产品数：，总选法：， 符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ， 所以概率：． 7．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 8．【多选】（2026高二·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【详解】设这一箱脐橙中有个烂果， 则从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率， 解得或，结合各选项，所以这箱脐橙的烂果个数可能为． 9．（2026高二·山西朔州·期中）某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，利用组合知识即可求解， 【详解】由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以 10．（2026高一·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 【答案】 【分析】由题意知，从7人选3名代表，求选出男生人数至少为1人的概率，可以通过求对立事件：选中男生为0人的概率，进而得出答案.. 【详解】表示3个女生，0个男生，故, 所以. 故答案为：. 11．（2026高二·全国·课堂例题）在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为______． 【答案】 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为． 故答案为：. 12．（2026高二·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 【答案】/ 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为. 故答案为： 13．（2026高三·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 / 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 14．（2026高二·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 15．（2026高二·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 考点三 超几何分布的概率最值问题 16．（2026高二·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 17．（2026高二·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 18．（2026高二·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 考点四 超几何分布的均值和方差 19．（2026高二·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由超几何分布的期望公式计算． 【详解】由已知服从超几何分布，所以． 20．（2026高二·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【答案】1 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 21．（2026高二·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 22．（2026·天津北辰·模拟预测）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 23．（2026高二·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 24．（2026高二·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 【答案】3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. 25．（2026高二·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【答案】/ 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 26．（2026高二·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 27．（2026高二·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【答案】 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 28．（2026高三·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 29．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得； （2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望. 【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 30．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【详解】（1）由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. （2）订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 考点五 二项分布与超几何分布辨析 31．（2026高二·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列 ； （2）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列. 【详解】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 32．（2026高二·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 33．（2026高二·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 34．（2026高二·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 35．（2026高二·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）有古典概型计算可得结果； （2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）； （3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得. 【详解】（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A， 则 （2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为， 所以的所有可能取值为，         所以的分布列为：            （或则 ） （3）由（2）可得； 由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此， 可得. 因此. 36．（2026高二·四川遂宁·月考）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）首先分析代金券的金额与对应取到红球的个数，再根据超几何分布求概率； （2）若取球过程是有放回的，则随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求分布列和数学期望；，根据期望的性质，即可求解. 【详解】（1）取到红色球的个数记为X，获得一、二、三等奖分别对应于、、 根据超几何分布可知： （2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3；且， ，，1，2，3 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以 因为，所以. 37．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果； （2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可. 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 38．（2026·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 【答案】(1) (2)应该选择学生，理由见解析 【分析】（1）根据离散型随机变量以及古典概型的概率公式，结合概率乘法公式，可得答案； （2）根据数学期望以及方差的意义，可得答案. 【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，. 则，； 设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，. ，， ，. 所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为. （2）由（1）知，，； 而，. 因为，<．所以应该选择学生． 39．（2026高二·安徽芜湖·期末）2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室. (1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率； (2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据组合数公式，结合超几何分布的概率公式，即可求解； （2）首先由题意可得，再根据二项分布概率公式，即可求分布列和数学期望. 【详解】（1）设表示所抽取的3间寝室中有间寝室优秀，抽取的3间寝室中有1间优秀为事件， 则； （2）由题表数据可知，从12间寝室中任选1间是优秀的概率为， 由题可知的所有可能取值为，则 ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 40．（2026·全国·模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2). 【分析】（1）所有可能的取值为，且，根据二项分布的概率公式求解，从而可得分布列与期望； （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，求解即可. 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 所以. （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 41．（2026高二·全国·课后作业）某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对其中的3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响． (1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大； (2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙的得分为Y，求Y的分布列和数学期望． 【答案】(1)甲通过初试的可能性更大 (2)分布列见解析，15 【分析】(1)根据超几何概型分别求出甲、乙两人谁通过初试的概率即可得出结论. (2)由题意写出乙答对试题的个数为X，则可得出X的可能取值，再根据满足的二项分布分别求出起概率，而得分与的关系为，从而得出的分布列及数学期望. 【详解】（1）由题意得，甲通过初试的概率，乙通过初试的概率． ∵，∴甲通过初试的可能性更大． （2）设乙答对试题的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，且， ∴，， ，， ，易知， ∴Y的分布列为 Y 0 5 10 15 20 P ． 42．（2026高三·上海奉贤·期中）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表： 竞赛得分 频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 (1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？ (2)在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率； (3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1)6人，4人 (2) (3)分布列见解析， 【分析】(1)结合频率分布表，求出抽样比，进而即可得到答案；(2)结合超几何分布即可求解；(3)结合已知条件，利用二项分布即可求解. 【详解】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为， 所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人． （2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良， 故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率. （3）由题意知，的可能取值，，，． 由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布， ；；；． 故的分布列为 数学期望. 43．（2026高三·全国·一轮复习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．” (1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，根据题意求出n，再计算抽奖者获奖的概率即可； （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为，则X～B，写出分布列和期望即可． 【详解】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，由＝，得n＝4， 故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝． （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为×＋×＝， 所以X～B，则，（k＝0，1，2，3）， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝3×＝． 考点六 超几何分布的综合应用 44．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 45．（2026高三·上海虹口·月考）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 【答案】(1)2.4 (2) (3)第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大 【分析】（1）应用二项分布的期望求法求期望； （2）由超几何分布的概率求法求分布列，进而求期望，结合期望与方差的关系求方差； （3）应用全概率公式依次求出前5个问题的概率，比较大小即可得. 【详解】（1）由题得，随机变量，故. （2）由题可得，，其中. 则，，，. 故随机变量的分布列为，故. 故，所以. （3）设事件：解答第个问题出现幻觉，则. 由全概率公式知，. 代入，整理得，其中，. 依次计算得，，，. 因此，，即第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大. 46．（2026·重庆·模拟预测）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 47．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 48．（2026高三·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用平均数公式计算即可； （2）利用超几何分布求出 的概率分布列，结合数学期望即可求出. 【详解】（1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值为 （2）营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”中，占家，占家， 所以“高成长型企业”中选取 9 家中，抽取：家， 抽取：家； 从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ， 所以可能取值为：， 所以， ， ， 则 的概率分布列为： 49．（2026高二·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 50．（2026高二·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题11 超几何分布6种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对超几何分布的理解 考点二 超几何分布的概率 考点三 超几何分布的概率最值问题 考点四 超几何分布的均值和方差 考点五 二项分布与超几何分布辨析 考点六 超几何分布的综合应用 知识点1 超几何分布 1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝， k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 3.对超几何分布的理解 （1）在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. （2）若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. （3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布 超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 知识点2 超几何分布和二项分布的区别和联系 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布. 注：（1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 策略方法 一、超几何分布的判断方法 1.核心判定三要素 （1）总体明确分两类：总体个个体分为目标类个、非目标类个； （2）抽样方式为不放回随机抽取个； （3）随机变量表示样本中目标类个体的个数。 2.判断步骤 （1）看总体：是否分成两类已知数量的对象； （2）看抽取：是否为不放回抽样； （3）看变量：是否表示抽取样本中某一类的个数； （4）下结论：同时满足则服从超几何分布。 3.典型模型 （1）产品抽样：件产品，件次品，取件，次品数； （2）人群抽样：男生、女生，抽取若干，女生人数； （3）摸球模型：红球、白球，不放回摸取，红球个数。 二、超几何分布的概率计算 1.概率公式 （1）公式： （2）取值范围：，其中 （3）约束条件： 2.计算步骤 （1）定参数：确定四个量； （2）代公式：代入超几何分布概率公式； （3）算组合：计算分子、分母组合数； （4）得结果：化简为最简分数或小数。 3.常用技巧 （1）至少问题： （2）至多问题： （3）对立简化：正面复杂优先用总概率1减反面。 三、超几何分布的概率最值问题 1.求解思路 （1）设最大，列出不等式组： （2）代入概率公式，约分化简； （3）解出整数，即为概率最大时的取值。 2.快速判断 （1）计算附近整数； （2）结合的取值范围确定。 四、超几何分布的均值与方差 1.均值公式 （1） （2）理解：样本中目标类个数的平均值，与二项分布期望形式一致。 2.方差公式 （1） （2）适用条件：不放回抽样、有限总体。 3.计算步骤 （1）确定； （2）直接代入公式，无需列分布列； （3）快速计算期望与方差，提高解题效率。 五、超几何分布与二项分布的辨析 1.核心区别 （1）抽样方式：超几何分布不放回；二项分布有放回。 （2）概率特点：超几何分布每次概率改变；二项分布每次概率不变。 （3）总体要求：超几何分布需总体容量；二项分布不需要。 2.内在联系 （1）期望相同：（）； （2）近似关系：当远大于时，不放回≈有放回，超几何分布近似二项分布。 3.快速选择 （1）出现“不放回、总体分两类、已知总数”→超几何分布； （2）出现“有放回、独立重复、固定成功率”→二项分布。 六、超几何分布的综合应用 1.解题步骤 （1）识别模型：判断是否服从超几何分布； （2）确定参数：明确； （3）计算概率：求单点、范围、最值概率； （4）计算期望：用公式； （5）实际决策：用期望、概率进行方案判断。 2.常考题型 （1）分层抽样后的抽样概率问题； （2）产品质检、次品数、优等品数分布； （3）竞赛、评比、指标人数统计； （4）结合频率分布直方图的抽样问题； （5）与条件概率、独立事件综合考查。 七、高频易错点 1.混淆放回与不放回，错用二项分布； 2.参数找错，尤其（目标类总数）； 3.概率计算时组合数分子、分母写反； 4.忽略的取值范围，出现不可能取值； 5.方差公式记错，漏乘； 6.综合题未先判断分布类型直接计算。 考点一 对超几何分布的理解 1．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 2．【多选】（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 3．（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 4．（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 考点二 超几何分布的概率 5．（2026高三·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高二·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2026高二·山西朔州·期中）某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 11．（2026高二·全国·课堂例题）在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为______． 12．（2026高二·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 13．（2026高三·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 14．（2026高二·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 15．（2026高二·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 考点三 超几何分布的概率最值问题 16．（2026高二·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2026高二·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2026高二·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点四 超几何分布的均值和方差 19．（2026高二·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 21．（2026高二·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·天津北辰·模拟预测）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 23．（2026高二·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 24．（2026高二·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 25．（2026高二·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 26．（2026高二·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 27．（2026高二·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 28．（2026高三·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 29．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 30．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 考点五 二项分布与超几何分布辨析 31．（2026高二·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 32．（2026高二·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 33．（2026高二·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 34．（2026高二·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 35．（2026高二·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 36．（2026高二·四川遂宁·月考）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 37．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 38．（2026·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 39．（2026高二·安徽芜湖·期末）2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室. (1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率； (2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列和期望. 40．（2026·全国·模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 41．（2026高二·全国·课后作业）某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对其中的3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响． (1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大； (2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙的得分为Y，求Y的分布列和数学期望． 42．（2026高三·上海奉贤·期中）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表： 竞赛得分 频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 (1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？ (2)在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率； (3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 43．（2026高三·全国·一轮复习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．” (1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值． 考点六 超几何分布的综合应用 44．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 45．（2026高三·上海虹口·月考）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 46．（2026·重庆·模拟预测）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 47．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 48．（2026高三·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 49．（2026高二·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 50．（2026高二·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） $