13.1 数据的集中趋势 课件2025-2026学年数学青岛版八年级下册

13.1 数据的集中趋势 第十三章 数据的分析 13.1 课时1 平均数 第十三章 数据的分析 01 理解算术平均数、加权平均数的概念，体会权的作用. 02 明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法. 03 理解组中值的意义，能利用组中值计算一组数据的加权平均数. 学习目标 7 6 5 4 3 2 1 A B C D 平均数 先和后分 移多补少 说一说：如图ABCD四个杯子中装了不同数量的小球，你能让四个杯子中的小球数目相同吗？其中体现了什么道理呢？ 平均水平 新知导入 活动1：为深入了解“书香同行，阅读青春”主题阅读活动的开展情况，某校准备随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的课外读书时间进行统计，刚好抽到了八年级（1）班： 新知探究 （1）第2组的小丽统计了本组7名同学的一周的课外阅读时间分别是：1，4，2，6，5，0，3. 这7名同学一周的人均阅读时间是几个小时？说说你的算法. 算术平均数：一组数据x1，x2，…，xn 的平均数，是指这n个数之和除以n得到的值，即=. 作用：平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量. 阅读时间（小时） 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 (2)小亮整理了全班40名同学一周的课外读书时间如下表所示，根据表格数据，你能算出全班同学一周的人均阅读时间是几个小时吗？ (7×6+8×10+9×9+10×8+11×7) 40 = 9（小时） 阅读时间（小时） 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 议一议：对于（2），有同学给出了如下算法: 7+8 +9 +10 +11=9（小时） 这种算法合理吗？如何理解其中比值的意义？ 发现：这些比值就是各类阅读时间的人数与全班总人数的比值，它们分别反映了每个数据的重要程度. 使用了乘法分配律 (7×6+8×10+9×9+10×8+11×7) 40 = 9（小时） 在n个数据中，如果x1，x2，…，xk分别出现了w1，w2，…，wk次，其中w1+w2+…+wk=n，则比值，，…，分别叫作这k个数据x1，x2，…，xk的权. 相应地，称==x1·+x2·+…+ xk·为这k个数据的加权平均数. 7+8 +9 +10 +11=9（小时） 权　 归纳 （3）我们已经知道八年级（1）班有学生40人，且一周平均阅读时间为9小时，若八年级（2）有学生45人，他们班的周平均阅读时间为8小时，这两个班85名学生的一周的平均阅读时间大约是多少？ 解：（9×40 +45×8）÷85 =720÷85 ≈8.5（小时） 答：这两个班85名学生的平均阅读时间大约是8.5小时. 新知探究 活动2：某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示. （1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ （2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 你能解释这里的权的含义吗？对应的加权平均数怎么算呢？ 11 解：(1)甲的平均成绩为 (分)，乙的平均成绩为 (分)，因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以候选人甲将被录取． 议一议：结合活动2，你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？你是怎么理解“权”的？ (2)甲的平均成绩为 (分)，乙的平均成绩为 (分)，因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，所以候选人乙将被录取． 12 2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数. 1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）； 权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大，反之越小 . 权不一定都是以数据出现的次数的形式出现的，有时也以数据所占的百分比或数据所占的比例形式出现，即权的表现形式为： 1. 数据的个数； 2. 数据的百分比；3.数据的比例关系. 注意：“权”的形式 算术平均数与加权平均数的区别和联系 归纳 1.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩，则小王的成绩是(　　) A．255分　　　　　　　B．84分 C．84.5分 D．86分 D 巩固练习 2.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占 20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50% . 小桐的三项成绩(百分制) 依次是95， 90， 85. 小桐这学期的体育成绩是多少？ 解：根据题意，得 95×20%＋90×30%＋85×50%＝88.5(分)． 所以小桐这学期的体育成绩是88.5分． 巩固练习 活动3：某手机销售公司共有50名销售员，第一季度的销售量如下图所示，该公司销售员第一季度的平均销售量约是多少(结果保留整数)？ 这里销售数据分成了5个“区间”，应该选哪个代入计算呢？ 注意：对于频数分布直方图的数据，通常取一个矩形左右边界的横坐标的平均数（也称“组中值”)作为这组数据的平均数。 新知探究 16 17 分 数 段 组中值 人 数 40≤x＜60 2 60≤x＜80 8 80≤x＜100 10 100≤x≤120 20 问班级平均分约是多少？ 3.某班学生期中测试数学成绩各分数段人数统计表如下： 50 70 90 110 解： 巩固练习 本节课你学到了哪些知识与方法？ 平均数与加权平均数 算术平均数： 区别与联系 加权平均数： 权的形式及意义 课堂小结 解析： 17 2.已知一组数据4，13，24的权数分别是 则这组数据的加权平均数是________ . 1.一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C 基础 随堂小练 3.某次歌唱比赛，两名选手的成绩如下： (1)若按三项平均值取第一名，则______是第一名. 测试选手 测试成绩 创新 唱功 综合知识 A 72 85 67 B 85 74 70 选手B (2) 若三项测试得分按 3:6:1 的比例确定个人的测试成绩，此时第一名是 . 所以，此时第一名是选手 A. (2) 若三项测试得分按 3:6:1 的比例确定个人的测试成绩，此时第一名是 . 选手A 13.1 课时2 中位数 第十三章 数据的分析 01 理解中位数的概念，会求一组数据的中位数. 02 体会中位数的作用，会利用中位数分析实际问题. 学习目标 求职陷阱：小明大学毕业找工作，开始想找一份月薪在 5000 左右的工作。某天他看见网上一个公司的招聘广告，上面写着：高薪诚聘：现因业务需要招员工一名，详情咨询xxx；于是小明去到了公司 … 应聘者小明 情境导入 请问公司员工收入怎么样呢？ 小明 我的月薪是 1900 元，在公司算中等收入 职员 C 职员 D 我们好几个人月薪都是 1800 元 我们这里报酬不错，月平均工资是 2700 元，你在这儿好好干! 经理 去不去呢 该公司目前只给出了以下员工实习期间的工资情况： 活动1 下表是该公司员工实习期间月收入的资料： 探究1：中位数的概念及意义 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 （1）根据以上数据，说说你对该公司员工的收入情况的了解. （2）月平均工资是 元，它能客观地反映公司员工的平均收入吗？说说你的理由. 2700 新知探究 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 （3）谁说的话最能表示该公司员工收入的“平均水平”？如何理解“中等收入”的含义呢？ 我的月薪是 1900 元，在公司算中等收入 职员 C 职员 D 我们好几个人月薪都是 1800 元 我们这里报酬不错，月平均工资是 2700 元，你在这儿好好干! 经理 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 职员C 的工资是 1900 元，恰好居于所有员工工资的 “正中间”，一半人月工资高于或等于该数值，另一半人月工资低于该数值。我们称它为中位数. 一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数。 （4）假如小明入职后，还未发到工资，也就是本月工资为0 ，此时的中位数还是1900吗？你是如何计算的？ 求已知数据的中位数的步骤 （1）将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定数据的总个数 n 的奇偶性： 当数据的总个数为奇数时，中位数就是第 个数； n + 1 2 当数据的总个数为偶数时，中位数就是第 个数和第（ + 1）个数的平均数. n 2 n 2 归纳 1.下面两组数据的中位数是多少？ （1）5，6，2，3，2 （2）5，6，2，4，3，5 注意：确定中位数要先排序、看奇偶，再计算. 中位数是3； 中位数是4.5. 巩固练习 31 （5）为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？选择哪个数来反映该公司月收入水平会比较合适？　　 正、副经理的工资特别高，将平均工资“拉”高了。 做决策时一定要综合考虑各数据， 避免进入“数字陷阱”。 中位数的意义： 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数 更合理地反映该组数据的整体水平． 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 月工资/元 7000 4000 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 活动2 某公司为调动销售员的积极性，准备对销售情况较好的销售员进行奖励.公司统计了全部30名销售员本月的销售额(单位：万元)，数据如下: 17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19 (1)求这组数据的平均数和中位数； (2)请问是以超过平均数还是以超过中位数作为奖励标准，能让更多的销售员获得奖励？ 探究2：利用中位数分析实际问题 怎样整理数据能帮助我们快速计算？如何理解“让更多的人获得奖励”的含义？ 33 因为将这30个数从小到大排列后，第15个数和第16个数均为18，所以，这组数据的中位数是18. 解：利用频数分布表对数据进行整理，如下表： （1)这组数据的平均数为： 34 （2）若以超过平均数20.3作为奖励标准，则有11名销售员获得奖励； 平均数：20.3 中位数：18. 若以超过中位数18作为奖励标准，则有14名销售员获得奖励， 所以，以超过中位数作为奖励标准，能让更多的销售员获得奖励. 35 1.某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 则这10名篮球运动员年龄的中位数为(　　) A．12 B．13 C．13.5 D．14 年龄(岁) 12 13 14 15 人数(名) 2 4 3 1 B 基础 随堂小练 2.某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是(　　) A．5　　　B．5.5　　　C．6　　　D．7 C 解析：根据平均数的定义得，4＋5＋5＋x＋6＋7＋8＝6×7，解得x＝7. 从小到大排列这组数据为4，5， 5，6，7，7，8，所以中位数是6. 基础 随堂小练 3.在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位: min)如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 (1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少？ (2)一名选手的成绩是142 min，我们该如何评价他的成绩如何？ 基础 随堂小练 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 解：(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列： 这组数据的中位数为处于中间的两个数146， 148的平均数，即 因此样本数据的中位数是147. 基础 随堂小练 (2) 根据(1)中得到的样本数据的中位数， 可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于147 min，有一半选手的成绩慢于 147 min. 这名选手的成绩是142 min，快于中位数147 min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 1.什么是中位数？有什么意义？ 2.中位数和平均数分别适用于哪些场景？ 3.中位数的计算要注意哪些方面？ 4.你还有哪些困惑？ 结合以下问题，回顾本节课所学知识？ 课堂小结 注意：一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数 . 中位数是刻画一组数据的“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势 . 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它不能充分利用所有的数据信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势. 13.1 课时3 众数 第十三章 数据的分析 理解众数的概念及意义. 通过具体情境中体会平均数、中位数和众数三者的差别，能根据问题的背景选择合适的量描述一组数据的集中趋势. 01 02 学习目标 情景1：下表是某公司员工月收入的资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）如果小张是该公司的一名普通员工，那么你认为他的月工资最有可能是多少元？ （2）如果小李想到该公司应聘一名普通员工岗位，他最关注的是什么信息？ 活动1：解答下列问题，探究理解众数的意义. 新知探究 情景2 ：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 23.5出现的次数最多，也就是23.5cm的鞋销量最大，可以建议鞋店多进23.5cm的鞋. 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 一般地，一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. （1）众数是唯一的吗？你能举例说明吗？ （2）一组数据1，2，3，4，5，这组数据有众数吗？ 议一议1：与同学交流，解答下列问题，尝试归纳众数的特点. （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中. （2）一组数据的众数可能不止一个. （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据. 众数的特点： 众数可能不唯一. 一组数据1，2，2，2，4，4，4，5，这组数据的众数是2和4. 这组数据没有众数. 1.某商店销售5种领口大小（单位：cm）分别为38,39,40,41,42的衬衫.为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了右面的扇形统计图.你认为该商店应多进哪种衬衫？ 42cm 9％ 38cm 13％ 39cm 19％ 40cm 34％ 41cm 25％ 40 cm的衬衫． 巩固练习 情景3 ：一次演讲比赛中，10位评委给甲、乙两位演讲者的打分如下表所示： (1)用恰当的统计图表整理、描述甲和乙的得分数据，分别求出平均数、中位数和众数； 甲得分/分 9 9 8 7 9 9 10 9 3 9 乙得分/分 9 8 8 9 8 8 8 8 7 9 统计图表有哪些类型，如何整理数据能方便我们寻找中位数和众数？且能比较直观方便比较甲、乙两人的射击水平呢？ 活动2：解答下列问题，体会平均数、中位数和众数三者的差别. 50 解：(1)甲的得分整理如下： 乙的得分整理如下： 得分/分 7 8 9 频数 1 6 3 得分/分 3 7 8 9 10 频数 1 1 1 6 1 甲得分/分 9 9 8 7 9 9 10 9 3 9 乙得分/分 9 8 8 9 8 8 8 8 7 9 接下来，用条形统计图描述两人得分情况，如图. 51 用条形统计图描述两人得分情况，如图. 得分/分 7 8 9 频数 1 6 3 得分/分 3 7 8 9 10 频数 1 1 1 6 1 甲得分的平均数为8.2，中位数为9，众数为9. 乙得分的平均数为8.2， 中位数为8，众数为8. (2)综合这些信息，你能对甲、乙的演讲水平做出评价吗？ 52 (2)从平均数来看，两人的平均分相同，综合所有评委的打分，说明两人具有同等演讲水平. 由于个别评委打分时显示出较强的偏好性，所以将中位数作为评分标准能避免极端数据的影响.由于甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以可以认为甲的演讲水平高于乙. 从众数来看，甲得9分的次数最多，乙得8分的次数最多，所以可以认为甲的演讲水平高于乙. 甲得分的平均数为8.2，中位数为9，众数为9. 乙得分的平均数为8.2， 中位数为8，众数为8. 得分/分 7 8 9 频数 1 6 3 得分/分 3 7 8 9 10 频数 1 1 1 6 1 甲 乙 注意：根据不同的统计量可能得出不同的结论，这些结论并无对错之分，主要看它能否客观地反映实际情况. 53 做一做：我们经常看到一些评比中,有“去掉一个最高分和去掉一个最低分”的计分规则,这样做的目的是什么? 如果根据这个规则计算甲、乙的平均分分别是多少? 比较甲、乙的演讲水平. 甲得分/分 9 9 8 7 9 9 10 9 3 9 乙得分/分 9 8 8 9 8 8 8 8 7 9 所以可以认为甲的演讲水平高于乙. 能避免极端数据的影响 议一议2：结合以上情景，尝试归纳平均数、中位数和众数在刻画数据集中趋势时的特点. 中等水平 多数水平 平均水平 中位数：中间的一个数，或中间的两个数的平均数. 众数：出现次数最多的数. 平均数：是最常用的指标，它表示“一般水平”. 平均数、中位数和众数的区别与联系 名称 区别 联系 与组内数据的关系 个数的 唯一性 是否为组内的数 平均数 中位数 众数 与每个数据均有关 （受极端值的影响较大） 某些数据变动对中位数没有影响（受极端值的影响较小） 与部分数据有关（当各数据重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义） 唯一 唯一 不一定 不一定 不一定 一定 （1）都是描述数据集中趋势的统计量； （2）单位与原始数据的单位一致 归纳 2.某销售公司的10名销售员去年完成的销售额情况如下表： （1）求出这 10 名销售员去年销售额的平均数、中位数和众数； （2）今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采用超额有奖的措施，请根据（1）的计算结果，通过比较，帮助公司领导确定今年每个销售人员统一的销售标准应是多少万元．说说你的理由． 销售额(万元) 3 4 5 6 7 28 30 销售人员(人) 1 3 2 1 1 1 1 （1）x = (3×1 + 4×3 + 5×2 + 6×1 + 7×1 + 28×1 + 30×1)÷10 = 9.6 (万元) 众数是 4 万元，中位数是 5 万元； 巩固练习 （2）销售标准应是5万元． 销售额(万元) 3 4 5 6 7 28 30 销售人员(人) 1 3 2 1 1 1 1 理由：若规定平均数9.6万元，多数人不能完成，挫伤员工积极性； 若规定众数4万元，则大多数人不努力就可以超额完成，不能提高销售额； 若规定5万元，大多数人能完成，少数人努力也能完成． 1.什么是众数？有什么意义？ 2.众数、中位数和平均数分别适用于哪些场景？ 3.众数的三种情况分别是什么？ 4.你还有哪些困惑？ 结合以下问题，回顾本节课所学知识？ 课堂小结 $