精品解析：浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级中期作业检查数学

2025学年第二学期八年级中期作业检查数学 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，是质数，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； D ，被开方数含分母，不是最简二次根式． 故选：C． 3. 某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如下表，该组数据的众数为（ ） 型号 销量（支） 30 45 53 42 17 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数的定义，只需找到组内出现次数最多的数据即可得到结果，本题中销量对应型号的出现次数，对比销量即可得出答案． 【详解】根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∵本题中中性笔型号是统计对象，销量代表对应型号的出现次数，且 ，即型号销量最高，出现次数最多． ∴该组数据的众数为，对应选项为B． 4. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ， ，即， 的值应在4和5之间． 故选：A． 5. 校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（ ） A. 男生训练达标次数的平均数高于女生 B. 男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C. 男、女生训练达标次数的中位数均为4 D. 男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，，   男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为，   男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：，   男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误；  ，，  ，   女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 6. 我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直角三角形的较短直角边为，根据小正方形面积得出较长直角边长为，再利用勾股定理列方程求出，进而求出较长直角边长即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为， ∵中间小正方形的面积为，  ∴小正方形的边长为， ∴直角三角形的较长直角边长为， ∵直角三角形的斜边为，  ∴根据勾股定理得，， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴较长直角边长为，  ． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. ＞2 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需要满足两个条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式非负，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 8. 已知一组数据的平均数为4，方差是3，则另一组数据，的平均数和方差分别为（ ） A. 11和12 B. 8和12 C. 11和3 D. 8和3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，分别根据公式计算即可． 【详解】解：平均数公式：若一组数据的平均数为a，则新数据的平均数为； 方差公式：若一组数据的方差为b，则新数据的方差为（A，B是常数）． 本题中， 平均数，方差． 9. 数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（ ） A. 8，3 B. 9，2 C. 7，3 D. 8，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据四分位数的计算规则，先计算上下四分位数的位置，再通过累计频数确定对应位置的数字即可得到结果． 【详解】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 10. 关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即， ∴，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴能取到最大值． 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，列出相关的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数， 因此， 解得． 12. 某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方差计算公式，可得离差平方和等于样本容量乘以方差，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：其离差平方和是：． 故答案为：16． 13. 按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 14. 某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程的根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解给定的一元二次方程，根据中线长的条件确定斜边上中线的长度，再利用等腰直角三角形的性质得到斜边长度，最后结合勾股定理计算得到直角边长． 【详解】解：解一元二次方程， 因式分解得， 解得，， 由题意得中线长大于， 因此斜边上的中线长为， 根据等腰直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为， 设该纸板的直角边长为， 根据勾股定理得， 整理得，即， 因为边长为正数， 所以． 15. 如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【解析】 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 16. 对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【详解】解：①当时，代入方程得，说明方程有一个根为，因此判别式， 故①正确； ②方程是一元一次方程（），只有一个实数根，不可能有两个根， 故②错误； ③把代入，得， 两边同时除以，得，即， ∴一定是的一个根， 故③正确； ④∵是方程的根， ∴，即， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（8大题，共72分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先拆分化简二次根式的分式，再利用平方差公式计算乘法，最后计算减法得到结果． 【详解】解： ． 19. 学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 （1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； （2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩至少需要多少分（成绩为整数）． 【答案】（1）小泽的综合评分为86分，能获得“体育打卡小能手”称号 （2）小航的立定跳远成绩至少需要85分 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算小泽的综合评分，再与86分比较即可得出结论； （2）根据加权平均数的计算规则，结合获奖要求列出不等式，求解后取符合条件的最小整数即可． 【小问1详解】 解：已知小泽三项成绩分别为93，84，81， 计算算术平均数得 （分）， ∵， ∴小泽能获得“体育打卡小能手”称号； 【小问2详解】 解：已知三项成绩权重比为，总权重为， 小航想要获得该称号，综合评分需要达到86分及以上， ∴， 解得， ∵成绩为整数， ∴的最小整数值为85． 答：小航的立定跳远成绩至少需要85分． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）或1 【解析】 【分析】（1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，，由得，则，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 即的值为或1． 21. 为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p （1）求统计表中的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】（1） ，，； （2） 解：据此补全箱线图如图所示． 观察统计图，八年级的箱体比七年级的箱体明显更扁，因此八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【小问1详解】 解：七年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为85，88，所以中位数为 八年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为88，90，所以中位数为，并且数据91出现的次数最多，所以众数； 【小问2详解】 解：由七年级积分数据可知下四分位数为，上四分位数为． 22. 如图，在中，于点，且点为线段的中点． （1）若，则的度数为 ； （2）求证：； （3）已知，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴平分，即； （3） 【解析】 【分析】（1）先得到垂直平分，则，再由等边三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）根据等腰三角形三线合一证明即可； （3）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点为线段的中点 ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： （1）任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； （2）任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【答案】（1）月平均增长率为 （2）该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，利用初始销量和增长两个月后的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根得到结果； （2）先确定购买数量的范围，判断获利元时购买数量一定超过枚，再结合单件售价的限制，根据总利润公式列一元二次方程求解，舍去不符合限制条件的解得到最终结果． 【小问1详解】 解：设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得 ， 解得  ，（增长率为负不符合题意，舍去）， 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该顾客此次购买徽章枚. 根据单件售价不低于元可得，  解得， 当时，获利（元）， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，单价为（元）， 答：该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元． 24. 小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的： ， ， ， ． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①4；②1 【解析】 【分析】（1）先将各项分母有理化，然后前后相消，即可计算； （2）①仿照例题解答即可； ②将所求式子变形为即，再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级中期作业检查数学 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如下表，该组数据的众数为（ ） 型号 销量（支） 30 45 53 42 17 A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（ ） A. 男生训练达标次数的平均数高于女生 B. 男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C. 男、女生训练达标次数的中位数均为4 D. 男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 6. 我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. ＞2 B. C. 且 D. 且 8. 已知一组数据的平均数为4，方差是3，则另一组数据，的平均数和方差分别为（ ） A. 11和12 B. 8和12 C. 11和3 D. 8和3 9. 数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（ ） A. 8，3 B. 9，2 C. 7，3 D. 8，2 10. 关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 12. 某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 13. 按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 14. 某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程的根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为_______． 15. 如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 16. 对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 三、解答题（8大题，共72分） 17. 解一元二次方程：． 18. 计算：． 19. 学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 （1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； （2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩至少需要多少分（成绩为整数）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的两个实数根，且，求的值． 21. 为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p （1）求统计表中的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 22. 如图，在中，于点，且点为线段的中点． （1）若，则的度数为 ； （2）求证：； （3）已知，，求线段的长度． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： （1）任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； （2）任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 24. 小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的： ， ， ， ． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $