福建省泉州市晋江市季延中学教育集团2025-2026学年下学期校八年级期中数学试卷

福建省泉州市晋江市季延中学教育集团2025-2026学年下学期校八年级期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1．（4分）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 2．（4分）下列分式中，最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6 4．（4分）若点P（a，1﹣2a）在第四象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD 6．（4分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 7．（4分）若正比例函数y＝kx经过第二、四象限，则下列关于函数y＝（k﹣3）x﹣k的图象正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 10．（4分）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每题4分，共24分） 11．（4分）化简：的结果为 　 　 ． 12．（4分）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　 　 ． 13．（4分）在平面直角坐标系中，若点A（﹣7，6）与点B（a，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　 ． 14．（4分）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　 ． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接AC，BC，AB．若AB∥y轴，且△ABC的面积为2.5，则m的值为　 　 ． 16．（4分）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（8分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣3． 19．（8分）在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，并且AE＝CF，连接BE，DE，BF，DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 20．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）画出一次函数y＝﹣2x+4的图象； （2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是　 　 ； （3）将直线y＝﹣2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使△ABP的面积等于2，求点P的坐标． 21．（8分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且D为AB的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数y＝mx+n与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集； （3）x轴上是否存在点P使得△PDE为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 23．（10分）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： 3a＞b＞0，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较x2+1与2x﹣1的大小． 小华：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣1）2+1＞0 ∴x2+1＞2x﹣1． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：　 　 ，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为△ABC三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 24．（13分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图（折线O﹣B﹣C﹣D为快车，线段OA为慢车）： （1）甲、乙两地相距　 　 km，快车速度是　 　 km/h，慢车速度是　 　 km/h； （2）求图中点E的坐标； （3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距150km？ 25．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP的解析式为y＝3x﹣3，此直线交x轴于点P，交y轴于点A，直线x＝﹣2与x轴交于点N． （1）求A，P两点的坐标； （2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线x＝﹣2上，若△MAP面积等于9，请求出点M的坐标； （3）如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 福建省泉州市晋江市季延中学教育集团2025-2026学年下学期校八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 1、 单选题（每题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B D D C A C 二、填空题（每题4分，共24分） 11．2． 12．5． 13．﹣13． 14．10． 15．2． 16．a． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（1）原式＝12 2 ＝2； （2）原方程去分母得：3x﹣6+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 整理得：3x﹣10＝2x， 解得：x＝10， 检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝10． 18．解：（1） • • ， 当x＝﹣3时，原式． 19．证明：连接BD，交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF． ∴四边形BEDF是平行四边形． 20．解：（1）一次函数y＝﹣2x+4的图像如图： （2）令y＝0，解得x＝2，令x＝0，则y＝4， ∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，4）， ∴函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线y＝﹣2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，得y＝﹣2x+1， 令y＝0，则﹣2x+1＝0，解得；令x＝0，则y＝1； ∴，B（0，1）， 设点P的坐标是（0，b）， 由题意得， 解得b＝9或﹣7， ∴点P的坐标是（0，9）或（0，﹣7）． 21．解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 22．解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上， ∴AB⊥x轴，BC⊥y轴． ∵D（4，1），且D为AB的中点， ∴B（4，2）． ∴点E的纵坐标为2． ∵反比例函数 的图象过D（4，1）和点E， ∴k＝4×1＝4． ∴反比例函数的解析式为 ． 把y＝2代入，得x＝2． ∴E（2，2）； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：2＜x＜4或x＜0； （3）存在，理由如下： 设点P（m，0），由题可知D（4，1），E（2，2）， ∴PD2＝（m﹣4）2+1，PE2＝（m﹣2）2+4，DE2＝5， ①当PD＝PE时，则 （m﹣4）2+1＝（m﹣2）2+4， 解得：， 则点P（，0）； ②当PD＝DE时，则 （m﹣4）2+1＝5， 解得：m＝6或 m＝2； 当 m＝6 时，P、D、E三点共线，不能构成三角形， 所以 m＝6， 则P（2，0）， ③当PE＝DE时，则 （m﹣2）2+4＝5， 解得：m＝3或m＝1， ∴P（3，0）或P（1，0）， 综上所述：存在点P，且坐标为（，0）或（2，0）或（3，0）或（1，0）． 23．解：（1） ∵3a＞b＞0 ∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0， ∴ ∴M＞N； （2） 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0， 又∵m＞0 ∴ ∴， ∴ 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b ∴，，． ∴由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 24．解：（1）快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图（折线O﹣B﹣C﹣D为快车，线段OA为慢车）： 由图象可知，甲、乙两地相距400km， 快车速度是：400÷4＝100（km/h）， 慢车速度是：400÷10＝40（km/h）． 故答案为：400，100，40． （2）线段OA所在直线的函数关系式为：y＝40x， 设线段CD所在直线的函数关系式为：y＝﹣100x+b， 将点C（5，400）代入，得400＝﹣100×5+b，解得b＝900， ∴线段CD所在直线的函数关系式为：y＝﹣100x+900． 联立，解得， ∴点E的坐标为：． （3）当0≤x≤4时， 100x﹣40x＝150，解得x＝2.5； 当4≤x≤5时， 400﹣40x＝150，解得x＝6.25（舍去）； 当时， ﹣100x+900﹣40x＝150，解得； 当时，40x﹣（﹣100x+900）＝150 解得x＝7.5． 综上所述，慢车出发2.5h或或7.5h后，两车相距150km． 25．解：（1）直线y＝3x﹣3交x轴于点P，交y轴于点A， 令x＝0，y＝﹣3， 令y＝0，x＝1， ∴A（0，﹣3），P（1，0）； （2）过M作MD∥AP交x轴于D，连接AD，如图： ∵MD∥AP，△MAP面积等于9， ∴△DAP面积等于9， ∴， 即， ∴DP＝6， ∴D（﹣5，0） ∵MD∥AP， 设直线DM为y＝3x+c， 则0＝3×（﹣5）+c， ∴c＝15， ∴直线DM为y＝3x+15， 令x＝﹣2得y＝9， ∴M（﹣2，9）； （3）存在，设B（t，3t﹣3）： ①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图， ∴OE＝t，BE＝3﹣3t， ∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形， ∴BQ＝CQ，∠BQC＝90°， ∴∠BQE＝90°﹣∠NQC＝∠QCN， 又∵∠BEQ＝∠QNC， ∴△BEQ≌△QNC（AAS）， ∴QN＝BE＝3﹣3t，QE＝CN＝4， ∴OQ＝QE﹣OE＝ON+QN， 即4﹣t＝2+3﹣3t， ∴， ∴， ∴； ②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，连接BC，如图： ∴BG＝t，OG＝3t﹣3， ∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形， ∴BQ＝CQ，∠BQC＝90°， ∴∠CQF＝90°﹣∠BQG＝∠GBQ， 又∵∠CFQ＝∠BGQ＝90°， ∴△CQF≌△QBG（AAS）， ∴CF＝QG＝2，QF＝BG＝t， ∴OQ＝OG﹣QG＝OF﹣QF， 即3t﹣3﹣2＝4﹣t， ∴， ∴， ∴； ③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图， ∴BT＝t，OT＝3t﹣3， 同②可证△CFQ≌△QTB（AAS）， ∴CF＝BT＝t，QT＝CF＝2， ∴OQ＝OT+QT＝OF+QF，即3t﹣3+2＝4+t， ∴， ∴， ∴； 综上，Q的坐标为或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $