北京市第一七一中学教育集团2025-2026学年下学期题中调研高一数学

北京市第一七一中学教育集团 2025–2026学年春季学期期中调研 高一数学 （时长：120分钟 分值：150分） 一､选择题（每小题5分，共50分） 1. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 6. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 9. 已知非零向量满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（ ） A. 点可以在点处 B. 点在底面上的轨迹为线段 C. 点的轨迹围成直角三角形 D. 直线与点的轨迹所在平面相交 二､填空题（每小题5分，共6题） 11. 若复数满足，则___________． 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 13. 若非零向量与满足，则与夹角的大小为______. 14. 已知非零向量，其中是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数的值为__________，__________. 15. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 16. 已知函数的部分图象如图所示． ①函数的最小正周期为________； ②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________． 三､解答题 17. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 18. 在中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：． 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：； （2）求证：直线不可能与平面平行； （3）空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由． 21. 设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质． （1）当时，若，，求，的值； （2）已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”； （3）给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值． 北京市第一七一中学教育集团 2025–2026学年春季学期期中调研 高一数学 （时长：120分钟 分值：150分） 一､选择题（每小题5分，共50分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二､填空题（每小题5分，共6题） 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一，） ②. 1 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三､解答题 【17题答案】 【答案】 （1）∵、分别为、的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， 且平面，∴平面，又平面， ∴平面平面； （3）. 【18题答案】 【答案】（1）或 （2）选①，面积为；选②，面积为；选③，不符合题意. 【19题答案】 【答案】（1） （2）直线与直线不垂直，理由如下： 在三角形中，由余弦定理得， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， 直线与直线不垂直，理由如下： , 所以直线与直线不垂直. 【20题答案】 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，又因为，， 平面，所以平面，又平面， 所以. （2）证明：过点作交于点，连接，如图， 由平面，又，则平面， 又平面，所以，即， 又平面，又平面，所以，即，且 所以四边形为直角梯形，则的延长线与的延长线必交于一点， 又平面，从而得证直线不可能与平面平行. （3）存在，球心O的位置位于的中点. 【21题答案】 【答案】（1）， （2）①若集合具有性质， 任取中不同元素，，令，， 有 ． 由的定义可知，对任意正整数n，都有， 所以有，． ②若对中任意两个不同的元素，， 都有，， 那么 ． 综上，结论成立． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $