第十一章 二次根式 单元测试提升卷2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年八年级数学下册 第十一章 二次根式 单元测试提升卷 苏科版 一、选择题（每题3分，共30分） 1．要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2 2．下列各式中，属于最简二次根式的为（　　）。 A． B． C． D． 3．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．成立的条件是（　　）。 A．a≤2 B．a≤4 C．a≥2 D．2≤a≤4 5．有下列算式：①（ )2=2；②=2；③（-2 )2=12；（ -1，其中结果正确的个数为（　　）。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（　　） A． m B．2 m C． m D．2 m 7．已知 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时， 当 时，x的值为（　　)。 A． B． C． D． 8．的值是（　　） A．0 B． C． D．以上都不对 9．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：；乙：设有理数a，b满足：，则； 丙：；丁：已知，则； 戊：.以上结论正确的有（　　） A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 10．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　． 12．一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是　 　 13．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为　 　． 14．一个面积为 的长方形，若其宽为 ，则长为　 　。 15．如果 是整数， 那么整数 的值是　 　. 16．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为　 　． 17．如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为　 　． 18．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　． 三、解答题（共8题，共90分） 19．婷婷对“化简： 的解答过程如下： 解：原式 2=12. 婷婷的解答过程是否正确?若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程. 20．一个直角三角形的斜边长15cm，一条直角边长10cm，求另一条直角边的长. 21．（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： 　 　（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）　 　． A． B． （2）化简：． 22．先化简，再求值：，其中，． 23． 如图，在3×3 的方格（每个小方格的边长均为1）中有一个格点三角形 ABC，求BC边上的高线长. 24．观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… （1）利用上面的规律，计算：． （2）利用上面的思路，计算：． （3）请利用上面的规律，比较与的大小． 25．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 （2）已知，，求的值； （3）计算：的值． 26．【定义新运算】 对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ． （1）计算： ， （a为正实数）； 【应用新运算】 （2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值． 【拓展应用】 （3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0， 解得：x≥2， 故选：C． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A：是最简二次根式； B：，不是最简二次根式； C：，不是最简二次根式； D：，不是最简二次根式； 故答案为：A. 【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因式，且不含分母”逐项判断解答即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的加减运算法则，即可求解. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由 成立，可得 解得 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的双重非负性解答即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：解： 所以①正确； 所以②正确； 所以③正确； 所以④正确. 故答案为：D. 【分析】利用二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m， ∴AB= (m)， AB'= (m)， ∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)． 【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解： 解得： ∴符合题意； 解得： 由 得 .不合题意； 则 ∴不合题意； 故只有 时，才有 ， 故答案为：C. 【分析】分为三种情况计算，然后验证解答即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】原式= + = = ，即得C． 【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意可知有理数因式的定义，针对小组成员利用有理化因式的结论： 甲： ，故甲的结论是正确的； 乙：由 ，所以得到，故乙的结论错误； 丙： 因为，所以 ，丙的结论正确； 丁： 已知，且，所以 ，故丁的结论错误； 戊： 故戊的结论正确； 所以正确的结论为：甲丙戊， 故答案为：B. 【分析】逐一验证每个结论的正确性， 主要用到有理化因式的概念和计算方法。通过有理化处理， 可以消除分母中的根号， 从而简化计算和比较大小。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为， 故选：C． 【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。 11．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：2x-1≥0， ∴ 故答案为：. 【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可知，这个三角形三边周长为：， 故答案为：. 【分析】首先将三边长化为最简二次根式，然后三边相加合并即可得到周长. 13．【答案】 【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：， ， ， 故答案为：． 【分析】先利用平行四边形的性质及三角形三边的关系求出，再利用二次根式的性质化简，最后利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可. 14．【答案】2 【解析】【解答】解：， 故答案为：2. 【分析】根据二次根式的额除法计算即可. 15．【答案】18或2 【解析】【解答】解：， ∵是整数， ∴x的值为18或2. 故答案为：18或2. 【分析】先根据二次根式的乘法把式子化简，然后由结果是整数即可解答. 16．【答案】 【解析】【解答】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 【分析】 先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答． 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6， ∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为， S阴影部分=， 故答案为： 【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 18．【答案】39 【解析】【解答】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为： 【分析】这道题的核心思路是平方差公式配对消元：先计算，再结合已知的，通过解方程组求出，最后平方求x。 19．【答案】解：婷婷的解答过程正确. 另一种解答过程如下： ×===12 【解析】【分析】根据二次根式的性质化简求值即可. 20．【答案】解：不妨设c=15cm，a=10cm，另一直角边为b，则 根据勾股定理得：b2=c2-a2=152-102=125， ∴b==cm 答： 另一条直角边的长 为cm. 【解析】【分析】根据勾股定理求解即可. 21．【答案】（1）小亮；A （2）解：， ∴当时，原式；当时，原式． 【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质； 故答案为：小亮，A。 【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)； (2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。 22．【答案】解：原式 ． 将，代入得：原式． 【解析】【分析】本题考查了整式混合运算的化简求值(完全平方、平方差、单项式乘多项式），先展开所有整式，再合并同类项，化简为最简形式，再代入a，b的值，注意用平方差公式简化计算. 23．【答案】解：由勾股定理，得AB=，AC=2，BC=， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°. 设BC边上的高线长为h， 则S△ABC=BC·h=AC·AB， ∴h===. 【解析】【分析】根据勾股定理得AB、AC、BC的长，根据勾股定理逆定理得Rt△ABC，再根据等面积法计算出三角形 BC边上的高线长 . 24．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 即． 【解析】【分析】（1）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如)，利用相邻项相消的特性简化求和即可； （2）先通过通分将分式转化为同分母形式，然后结合平方差公式展开分子，合并同类项简化表达式即可； （3）将差值表达式通过分母有理化转化为分母形式（），利用分母大小关系比较原式大小。 25．【答案】（1）C （2）解：由题意得：， ， ， ． （3）解： ． 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数， 故答案为：C. 【分析】（1）利用“对偶数”的定义及二次根式的混合运算的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化求出x、y的值，再将其代入计算即可； （3）先利用分母有理化化简括号内的算式，再求解即可. （1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数， 故选：C； （2）解：由题意得：， ， ， ． （3）解： ． 26．【答案】（1），； （2）解：∵，， ∴ 解得 （3）解：，， ， ，， ， 为直角三角形 ， ，， 为直角三角形 ， ，即 ， ， ∴． 【解析】【解答】解：（1），； 故答案为：（1），； 【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可； （2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可； （3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可． 学科网（北京）股份有限公司 $