精品解析：浙江杭州市弘益中学2025-2026学年第二学期期中质量调研七年级数学

杭州市弘益中学2025学年第二学期期中质量调研 七年级数学 注：试卷共23题，满分120分，考试时间100分钟．解答题要写出必要过程． 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 如图，已知，，，中，是同位角的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截时，在截线的同侧且在被截的两条直线的同侧的两个角叫做同位角，根据定义进行判断即可． 【详解】解：根据同位角的定义，和是同位角． 2. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 3. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 4. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 已知是方程的一组解，则m的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 把解代入方程，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 6. 如图，，于点D，点C到AD的距离是下列哪条线段的长度    A. AC B. BC C. CD D. AD 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义判断可得； 【详解】∵， ∴， ∴点C到AD的距离是线段CD的长度． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离知识点，准确判断是解题的关键． 7. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 5 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求的值． 【详解】解：由题意得：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 8. 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 9. 如图，四边形为一长方形纸带，，将四边形沿折叠，C，D两点分别与，对应，若，则下列哪个选项是正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项求解即可． 【详解】解：∵， ，， 由折叠的性质得到，，， 故选项C不正确； ∴， ∴，即， 故选项A不正确； ∴，， ∴，故选项D正确； ∴， ∴， 故选项B不正确， 故选：D 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10. 如图，有三张边长分别为的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图1可得，长方形的长为，宽为，分别表示出、、、，再作差，结合求解即可． 【详解】解：由图1可得，长方形的长为，宽为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11. 计算：____ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据长方形的面积为，长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长方形的面积为，长为， ∴该长方形的宽为， 故答案为： 13. 如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形沿射线的方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 14. 若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 15. 若等式对任意实数x都成立，那______，______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对多项式乘多项式的运算法则的掌握． 利用多项式乘多项式的法则对进行运算，根据对应系数相等从而可确定相应的m，n的值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴，． 故答案为： ，4． 16. 已知，． （1）若，则c与a的等量关系是_______． （2）若，则_______．（用含k，t的代数式表示） 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案； （2）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）已知，， ， ， ，， ，， 则， 那么， 故答案为：； （2）已知，， 则，， ， ， ， 则 ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）使用代入消元法，将代入第二个方程求解． （2）用加减消元法消去，直接求出的值． 【小问1详解】 解： 将①代入②，得： 解得： 将代入①，得： 原方程组的解为． 【小问2详解】 解： ①②得： ，解得 将代入①，得： 解得 原方程组的解为． 19. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： （1）过点作，使点也在格点上，且； （2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使、的对应点分别为、； （3）请直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）将点向右平移3个单位，即为所求的点，连接即可； （2）观察可得，从点到点需向右平移6个单位，再向上平移3个单位，根据平移规律，描出点、，连接成三角形即可； （3）利用网格确定的底和高，再计算三角形的面积即可． 【小问1详解】 由图可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，且； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 20. 如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质； （1）根据平行线的性质得出，由，得到，证明； （2）利用角平分线得出，，由，得到，进而由，，得出，由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：计算：． 解：设， 那么． （1）利用上面的方法计算：； （2）若，，试比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则原式可转化为，展开计算即可； （2）设，则，，化简得． 【小问1详解】 解：设， ∴， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴． 22. 已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 （1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ （2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ （3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【答案】（1）文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本 （2）此次书店的总利润为480元 （3）此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用； （1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可； （2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案． 【小问1详解】 解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本， 由题意得：， 解得：， 答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本； 【小问2详解】 文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为， （元）， 答：此次书店的总利润为480元； 【小问3详解】 设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒， 由题意得：， 解得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本． 23. 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是，灯B射出的光束转动的速度是，且a、b满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达之前，过C作交于点D，若，求的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负性，得到，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用三角形内角和定理，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵． ∴． ∴． 【小问2详解】 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵，且． ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． 依题意得 ①当时， ，， ∵，， ∴， ∴， 解得； ②当时， 解得； ③当时，， 解得（不合题意） 综上所述，当或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市弘益中学2025学年第二学期期中质量调研 七年级数学 注：试卷共23题，满分120分，考试时间100分钟．解答题要写出必要过程． 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 如图，已知，，，中，是同位角的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一组解，则m的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，，于点D，点C到AD的距离是下列哪条线段的长度    A. AC B. BC C. CD D. AD 7. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 5 C. 0 D. 8. 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为一长方形纸带，，将四边形沿折叠，C，D两点分别与，对应，若，则下列哪个选项是正确的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有三张边长分别为的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11. 计算：____ 12. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_____ 13. 如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为__________． 14. 若，，则_____． 15. 若等式对任意实数x都成立，那______，______． 16. 已知，． （1）若，则c与a的等量关系是_______． （2）若，则_______．（用含k，t的代数式表示） 三．解答题（共7小题，6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： （1）过点作，使点也在格点上，且； （2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使、的对应点分别为、； （3）请直接写出的面积为______． 20. 如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 21. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：计算：． 解：设， 那么． （1）利用上面的方法计算：； （2）若，，试比较，的大小． 22. 已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 （1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ （2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ （3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 23. 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是，灯B射出的光束转动的速度是，且a、b满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达之前，过C作交于点D，若，求的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $