精品解析：江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试 题用时：120分钟满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量，则（ ） A. 3 B. 6 C. 1 D. 12 2. 若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 3. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过（ ）（备注：若，则） A. B. C. D. 5. 某摄影兴趣小组有8名男生､4名女生，从12名成员中选2名男生，1名女生分别担任队长､副队长､摄影师，则不同的安排方法种数为（ ） A. 224 B. 326 C. 448 D. 672 6. 设是一个试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片.若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大为15 B. 各项系数的和为64 C. 常数项为20 D. 有理项有4项 10. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 11. 若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为实数，已知，且，则______. 13. 已知随机变量服从分布，则，则______. 14. 将名工作人员分配到三个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，其中工作人员甲只能去岗位，则不同的安排方法的种数为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，含的项的系数为-160. （1）求实数的值； （2）记，求. 16. 如图，在正四棱锥中，，点在侧棱上，且. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17. 一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球. （1）若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率； （2）若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望. 18. 某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长. （1）求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率； （2）记天中选取的队员对应的最大编号为. （i）时，求； （ii）求使得成立的最小的的值. 19. 如图，在三棱柱中，,，，，为中点，平面. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试 题用时：120分钟满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量，则（ ） A. 3 B. 6 C. 1 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】使用二项分布的期望公式，期望的性质求解． 【详解】，. 2. 若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知. 3. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用古典概型概率公式和条件概率公式求解. 【详解】记第一次取到不合格品为事件，第二次取到合格品为事件，则 ，，， 所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为：. 4. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过（ ）（备注：若，则） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为产品的质量指标服从正态分布，， 又质量指标介于至之间的产品为良品，良品率达到， 所以，解得，所以不超过. 5. 某摄影兴趣小组有8名男生､4名女生，从12名成员中选2名男生，1名女生分别担任队长､副队长､摄影师，则不同的安排方法种数为（ ） A. 224 B. 326 C. 448 D. 672 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得不同的安排方法种数为． 6. 设是一个试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助互斥事件概率公式及条件概率公式计算即可得. 【详解】事件与事件互斥，故， 又，， ， 解得，则. 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量. 【详解】向量在法向量上的投影数量为：， 向量在法向量上的投影向量是：， 则向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量， 即. 8. 某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片.若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先定义骰子掷出点的事件和抽卡片全为红色的事件，由骰子等可能得，再给出条件概率的组合表达式，利用全概率公式算出，最后依据贝叶斯公式，用与的联合概率除以，求出已知全抽红卡时掷出3点的条件概率. 【详解】记事件：骰子掷出的点数为，事件：取出的卡片全是红色卡片. 则， 所以， 所以已知取出的全是红色卡片，则掷出点的概率为:. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大为15 B. 各项系数的和为64 C. 常数项为20 D. 有理项有4项 【答案】BD 【解析】 【详解】二项展开通项，. A. 二项式系数最大为，故A错误. B. 令，各项系数和为，故B正确. C. 令，得， 常数项，故C错误. D. 令为整数，得，共项有理项，故D正确. 10. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系使用向量法判断选项，使用向量法计算点到线，点到面的距离判断选项. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， ，， 设， 则，， 因为， 所以，即，选项正确； 设平面的法向量为，，， 则，令，解得，所以， 因为， 平面，所以面，选项正确； 而，到面的距离为，选项错误； 而，， 点到直线的距离为：， 当时，取最小值为， 此时面积的最小，， 所以面积的最小值为，选项正确. 11. 若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置 【答案】ACD 【解析】 【分析】设移动次中，向左移动次，向右移动次，则，，对A，选项条件得，即可求解；对B，根据选项条件得，再求出概率，即可求解；对C，利用二项分布的期望公式，即可求解；对D，根据条件，求出移动次，向左移动几次的概率最大，即可求解. 【详解】设移动次中，向左移动次，向右移动次，则，， 对于A，由，知，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以，则， 由，得到，又，所以且， 则移动次，向左移动次的概率最大， 所以移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为实数，已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】已知，，且，所以实数，使得. 代入坐标可得：， 即，解得. 故，， 因此. 13. 已知随机变量服从分布，则，则______. 【答案】 【解析】 【分析】使用分布的方差公式求解. 【详解】. 14. 将名工作人员分配到三个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，其中工作人员甲只能去岗位，则不同的安排方法的种数为______. 【答案】 【解析】 【详解】每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到三个不同的工作岗位，有种分法， 每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到两个不同的工作岗位，有种分法， 每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到两个不同的工作岗位，有种分法， 将除甲外名工作人员全分到工作岗位，有种分法， 又工作人员甲只能去岗位，则工作人员甲只有种分法， 所以每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，且工作人员甲只能去岗位， 有种不同的安排方法. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，含的项的系数为-160. （1）求实数的值； （2）记，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用二项式定理分析含的项的系数求解； （2）原式求导后使用赋值法求解. 【小问1详解】 含的项的系数为：，所以. 【小问2详解】 由（1）可知 则，对等式两边求导得： ， 令，得， 即，即. 16. 如图，在正四棱锥中，，点在侧棱上，且. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用正四棱锥的性质，得平面，再由线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，即可求解； （2）过作，交于，过作，交于，连接，利用线面垂直的性质及判定得为二面角的平面角，再利用几何关系求出，，即可求解. 【小问1详解】 连接交于，连接，因为四棱锥是正四棱锥， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 过作，交于，过作，交于，连接， 因为平面，则平面，又平面，所以， 又，所以，又平面, 所以平面，又平面，则， 所以为二面角的平面角， 又，则，， 又，所以，，则, 在中，，，, 所以. 17. 一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球. （1）若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率； （2）若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 期望为： 【解析】 【分析】（1）使用二项分布概率公式求解； （2）使用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 恰有2次抽取到白球的概率为： 【小问2详解】 可能的取值为：0，1，2 ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 期望为： 18. 某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长. （1）求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率； （2）记天中选取的队员对应的最大编号为. （i）时，求； （ii）求使得成立的最小的的值. 【答案】（1） （2）（i）（ii）最小的为3 【解析】 【分析】（1）利用对立事件求解，先算出三天均不选中1号的概率，再用减去该概率，即可得到1号三天内至少担任一次队长的概率. （2）（i）代表所有选取编号不超过且不含全部为的情况，借助最大值的区间概率作差，代入对应式子计算即可. （ii）先写出的分布列并化简期望表达式，结合已知不等式得到求和范围，依次代入逐一验算，对比大小后确定满足条件的最小正整数. 【小问1详解】 设每天选到号队员的事件为，，. 设事件为“三天都不选1号”，则. 所以1号队员在三天内至少担任一次队长的概率。 【小问2详解】 （i）等价于三天选取的编号均不大于2，且至少有一次为2. . （ii）， ，. 期望， 即. 由，得 . 时，左边； 时，左边； 时，左边. 故最小的为3. 19. 如图，在三棱柱中，,，，，为中点，平面. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求. 【答案】（1） （2）48 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，使用向量法求解； （2）使用三棱锥的体积公式求解； （3）使用全概率公式写出的递推关系式，构造等比数列求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，因为平面，且，在直角三角形中，，所以，即， 又，所以，则 ，，，设平面的法向量为，则 ，令，解得，，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为：. 【小问2详解】 到平面的距离为, , ，故， 因此, 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 设为质点移动次后仍在底面上的概率，由题意可知，若质点在底面，下一步留在底面的概率为，若质点在顶面，下一步回到底面的概率为， 则，即 ，因为 ， ,所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $