山东省济南市槐荫区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 聚焦分式与平行四边形核心知识，通过智能机器人购买、平行四边形折叠等情境，考查运算能力、推理意识及空间观念，梯度覆盖基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|因式分解、分式意义、梯形菱形性质|第10题综合平行四边形性质与勾股定理，考查推理能力| |填空题|6/24|分式化简、多边形内角、菱形面积|第16题动态几何求最值，培养空间观念| |解答题|10/86|解方程、平行四边形证明、实际应用|23题机器人购买问题体现模型意识，26题折叠探究考查创新意识|

山东省济南市槐荫区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 2．（4分）要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 3．（4分）把多项式2m2+8mn分解因式，应提取的公因式是（　　） A．2 B．m C．2m D．2n 4．（4分）下列分式与一定相等的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，则∠D的度数是（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，若AB＝3，AD＝4，则EC的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（4分）如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 9．（4分）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F．DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠A＝∠BHE；②AB＝BH；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。） 11．（4分）因式分解：x2﹣4＝　 　 ． 12．（4分）化简的结果是　 　 ． 13．（4分）在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为　 　 °． 14．（4分）已知m﹣n＝2mn，则的值为　 　 ． 15．（4分）如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm．则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，点E为BC边的中点，点F为AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最大值为　 　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（6分）因式分解：ax2﹣6ax+9a． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝1． 20．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，求证：DE＝DF． 22．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为线段AB的中点，∠ADB＝90°，AC＝10，OE＝2．求AD和BD的长度． 23．（10分）某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 24．（10分）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当a＝2，b＝﹣5时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①[1，1]　 　 ； ②[3，﹣5]　 　 ； 【应用模型】 （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； 【总结提升】 （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 25．（12分）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，OA＝4，AD＝6，OB＝3，点C是线段OE的中点，直线AE交线段OD于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标　 　 ，点E的坐标　 　 ； （2）求直线AE的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（12分）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，点E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D1． 【分析探究】 （1）如图1，当∠ABC＝60°，当点D1恰好落在AB边上时，∠AED1的度数是　 　 度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为CD边的三等分点时，连结FD1并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当∠ABC＝60°，∠DAE＝45°时，连结DD1并延长，交BC边于点H．若平行四边形ABCD的面积为24，AD＝4，请直接写出线段D1H的长． 山东省济南市槐荫区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 2．（4分）要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3， 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 3．（4分）把多项式2m2+8mn分解因式，应提取的公因式是（　　） A．2 B．m C．2m D．2n 【分析】确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【解答】解：根据确定公因式的方法可知： 系数2和8的最大公因数为2，变量m2和mn都含有m， ∴公因式为2m． 故选：C． 【点评】本题考查了提取公因式法因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 4．（4分）下列分式与一定相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，对各式进行化简可得到结果． 【解答】解：A．，故该选项符合题意， B．当c＝0时，，故该选项不符合题意， C．当c≠0时，，故该选项不符合题意， D．当c≠0时，，故该选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练进行分式的化简是解题的关键． 5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，则∠D的度数是（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 【分析】过点D作DE∥AB，交BC于E，根据平行四边形的性质得到DE＝AB，得到DE＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DEC＝60°，再根据平行线的性质解答． 【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E， 则∠DEC＝∠B＝60°， ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴DE＝AB， ∵AB＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∴∠∠ADC＝180°﹣60°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查的是梯形的性质，正确作出辅助线、熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键． 6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，若AB＝3，AD＝4，则EC的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质及等角对等边即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣AB＝1． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 7．（4分）如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 【分析】菱形是四边相等的平行四边形，具有四边相等、对角线互相垂直、轴对称和中心对称等性质，但对角线不一定相等，即可解答． 【解答】解：A．菱形的四边相等，故此项不符合题意； B．菱形的对角线互相垂直，故此项不符合题意； C．菱形的对角线不一定相等，故此项符合题意； D．菱形是轴对称图形，故此项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出DB、BF、EF、DE，再根据四边形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ∴DE、EF是△ABC的中位线，DBAB＝5，BFBC， ∴DEBC，EFAB＝5， ∴四边形DBFE的周长为：55＝19， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 9．（4分）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列式为，将其计算即可． 【解答】解： ， 故选：C． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（4分）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F．DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠A＝∠BHE；②AB＝BH；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对①进行判断；由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，运算可对②进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD；依据勾股定理即可得到BH2+BG2＝AG2． 【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴△DEB是等腰直角三角形， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠FHD+∠FDH＝90°， ∵∠C+∠FDH＝90°， ∴∠C＝∠FHD， ∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE， ∴∠A＝∠BHE，故①正确； ∵AB＝CD，BH＝CD， ∴AB＝BH，故②正确； ∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE， ∵∠BDE＞∠HBE， ∴∠BDG＞∠BHD，故③错误； ∵BF⊥CD，AB∥CD， ∴BF⊥AB， ∴∠ABG＝90°， ∴AB2+BG2＝AG2， ∵AB＝BH， ∴BH2+BG2＝AG2，故③正确． ∴其中正确的结论有①②④，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。） 11．（4分）因式分解：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12．（4分）化简的结果是　　 ． 【分析】利用分式的加减法则，将分子相减即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．（4分）在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为　135　 °． 【分析】根据正多边形的每个外角相等，用外角和360°除以边数即可求解外角，再进一步求解即可． 【解答】解：根据题意可知，“停”的标志牌，其形状是一个正八边形，正八边形的每个外角等于360°÷8＝45°， ∴其中一个内角度数为180°﹣45°＝135°； 故答案为：135． 【点评】本题考查了正多边形的外角与内角，掌握正多边形的外角与内角的关系是关键． 14．（4分）已知m﹣n＝2mn，则的值为　2　 ． 【分析】将原式通分并计算，然后等量代换并约分即可． 【解答】解：∵m﹣n＝2mn， ∴原式 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（4分）如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm．则菱形ABCD的面积为 　120cm2 ． 【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝10cm， ∴BO＝5cm， ∵AB＝13cm， ∴AO12（cm）， ∴AC＝2AO＝24cm． ∴S菱形ABCDAC•BD24×10＝120（cm2）． 故答案为：120cm2． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，点E为BC边的中点，点F为AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最大值为　　 ． 【分析】取AB的中点M，连接并延长MG交CD于点P，连接ME、AC，作MN⊥BC于点N，CH⊥MP于点H，由菱形的性质得AB＝BC＝2，则BM＝BE＝1，因为∠B＝60°，所以△BME和△ABC都是等边三角形，则ME＝BE＝1，所以BN＝EN，求得MN，CM，由等边三角形的性质得GE＝FE，∠FEG＝60°，可证明△MEG≌△BEF，得∠EMG＝∠B＝60°，则MP∥BC，可知点G在经过AB边的中点且与BC平行的直线上，CP＝BM＝1，CH＝MN，由CG，求得CG的最大值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：取AB的中点M，连接并延长MG交CD于点P，连接ME、AC，作MN⊥BC于点N，CH⊥MP于点H， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形， ∴AB＝BC＝2， ∵点M为AB边的中点，点E为BC边的中点， ∴BMABBC＝BE＝1， ∵∠B＝60°， ∴△BME和△ABC都是等边三角形， ∴ME＝BE＝1，∠BEM＝∠BME＝60°，CM⊥AB， ∴BN＝ENBE，∠BNM＝∠BMC＝90°， ∴MN，CM， ∵△EFG是等边三角形， ∴GE＝FE，∠FEG＝60°， ∴∠MEG＝∠BEF＝60°+∠FEM， 在△MEG和△BEF中， ， ∴△MEG≌△BEF（SAS）， ∴∠EMG＝∠B＝60°， ∴∠AMG＝180°﹣∠BME﹣∠EMG＝60°＝∠B， ∴MP∥BC， ∴点G在经过AB边的中点且与BC平行的直线上， ∵BM∥CP， ∴四边形MBCP是平行四边形， ∴CP＝BM＝1， ∵∠BCH＝∠CHP＝90°， ∴CH⊥BC， ∴CH＝MN， ∵CH≤CG＜CP≤CM， ∴CG， ∴CG的最大值为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、两条平行线之间的距离处处相等、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（6分）因式分解：ax2﹣6ax+9a． 【分析】原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（x2﹣6x+9） ＝a（x﹣3）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．（6分）解方程：． 【分析】先去分母，化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验并作结论即可． 【解答】解：解方程：． 方程两边都乘2（x+1）．得2+2（x+1）＝3． 解得． 经检验，是原方程的根． 【点评】本题考查的是解分式方程，正确进行计算是解题关键． 19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝1． 【分析】先把除法变成乘法后约分化简，再计算同分母分式加法，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：原式 ， 当a＝1时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 20．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据平行线的判定定理得到AB∥CD，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查平行四边形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，求证：DE＝DF． 【分析】由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C，根据中点的定义求出AE＝CF，即可根据“SAS”证明△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到DE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF． 【点评】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟记菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为线段AB的中点，∠ADB＝90°，AC＝10，OE＝2．求AD和BD的长度． 【分析】根据平行四边形的性质及三角形中位线定理求出AD，利用勾股定理求出OD，即可解答． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴O是AC、BD的中点， ∴AO＝OC＝5，OB＝OD， ∵点E为线段AB的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD＝2OE＝4， 在Rt△ADO中，∠ADB＝90°，AD＝4，AC＝5， 由勾股定理得OD3， ∴BD＝2OD＝6． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 23．（10分）某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【分析】（1）设B型机器人模型的单价是x元，则A型机器人模型的单价是（x+200）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型机器人模型的单价），再将其代入（x+200）中，即可求出A型机器人模型的单价； （2）设购买y台A型机器人模型，则购买（40﹣y）台B型机器人模型，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过15000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设B型机器人模型的单价是x元，则A型机器人模型的单价是（x+200）元， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意， ∴x+200＝300+200＝500（元）． 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； （2）设购买y台A型机器人模型，则购买（40﹣y）台B型机器人模型， 根据题意得：500y+300（40﹣y）≤15000， 解得：y≤15， ∴y的最大值为15，此时40﹣y＝40﹣15＝25． 答：购买15台A型机器人模型，25台B型机器人模型． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24．（10分）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当a＝2，b＝﹣5时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①[1，1]　否　 ； ②[3，﹣5]　是　 ； 【应用模型】 （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； 【总结提升】 （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【分析】（1）根据新定义，把方程的根代入方程即可得到结果； （2）把x代入方程，求出n的值即可； （3）根据题意，得k＝m﹣1，通过为整数，得到m的值即可． 【解答】解：（1）①x时，3，所以， ∴[1，1]不是分式方程的“关联数对”， 故答案为：否； ②x时，5成立， ∴[3，﹣5]是分式方程的“关联数对”， 故答案为：是； （2）∵数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴8n+1＝8﹣n， 解得n； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴m2﹣mk+1＝k， ∴k ＝m+1﹣2 ＝m﹣1， ∵k为整数， ∴为整数， ∵m≠﹣1且m≠0， ∴当m＝1时，k＝1（舍去，题目条件中要求k≠1）， 当m＝﹣2时，k＝﹣5， 当m＝﹣3时，k＝﹣5， 综上，整数m的值为﹣2或﹣3． 【点评】本题考查了新定义，分式方程的解，正确理解新定义，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键． 25．（12分）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，OA＝4，AD＝6，OB＝3，点C是线段OE的中点，直线AE交线段OD于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标　（6，4）　 ，点E的坐标　（6，0）　 ； （2）求直线AE的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据AO＝4，AD＝6可求D点坐标，再由平行四边形的性质可得OC＝3，求出C点坐标，根据点C是线段OE的中点，求出E点坐标即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出F（3，2），设G（x，y），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵AO＝4， ∴A（0，4）， ∴AD＝6， ∴D（6，4）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6， ∵OB＝3， ∴OC＝3， ∴C（3，0）， ∵点C是线段OE的中点， ∴E（6，0）； 故答案为：（6，4），（6，0）； （2）设直线AE的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+4； （3）存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 直线OD的解析式为yx， 当xx+4时，解得x＝3， ∴F（3，2）， 设G（x，y）， 当AD为平行四边形的对角线时，6＝3+x，8＝2+y， 解得x＝3，y＝6， ∴G（3，6）； 当AF为平行四边形的对角线时，3＝6+x，6＝4+y， 解得x＝﹣3，y＝2， ∴G（﹣3，2）； 当AG为平行四边形的对角线时，x＝3+6，6＝42+y， 解得x＝9，y＝2， ∴G（9，2）； 综上所述：G点坐标为（3，6）或（﹣3，2）或（9，2）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 26．（12分）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，点E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D1． 【分析探究】 （1）如图1，当∠ABC＝60°，当点D1恰好落在AB边上时，∠AED1的度数是　60　 度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为CD边的三等分点时，连结FD1并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当∠ABC＝60°，∠DAE＝45°时，连结DD1并延长，交BC边于点H．若平行四边形ABCD的面积为24，AD＝4，请直接写出线段D1H的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得AB∥CD，AD＝DE＝AD1，可得四边形ADED1是菱形，可知D1E＝AD1，根据∠ADE＝∠AD1E＝60°即可得△AD1E是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得∠AED＝∠AED1，ED＝ED1，结合三等分点可知ED＝ED1＝EF，进而可得∠ED1F＝∠EFD1，利用三角形外角性质可得∠AED1＝∠ED1F，进而可知AE∥FG，可得四边形AEFG是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得AG与BG的数量关系； （3）由折叠可知：∠DAE＝∠D1AE＝45°，AD＝AD1，易知△DAD1为等腰直角三角形，延长AD1交BC于M，可知∠MD1H＝∠AD1D＝45°，由平行四边形的性质可得，∠BHM＝∠ADH＝45°＝∠MD1H，AM⊥AD，进而可知MD1＝MH由▱ABCD的面积为24，AD＝4，得AD•AM＝24，求得AM＝6，可得MD1＝AM﹣AD1＝2，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADE＝60°，则∠D1AE＝∠AED， 由折叠可知：AD＝AD1，∠DAE＝∠D1AE，∠ADE＝∠AD1E＝60°， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE＝AD1， ∴四边形ADED1是平行四边形， 又∵AD＝AD1， ∴四边形ADED1是菱形， ∴D1E＝AD1， ∴△AD1E是等边三角形， ∴∠AED1＝60°， 故答案为：60； （2）BG＝2AG，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 又∵E，F为CD边的三等分点， ∴DE＝EF＝CF＝DC， 由折叠可知：ED＝ED1，∠AED＝∠AED1， 则ED＝ED1＝EF， ∴∠ED1F＝∠EFD1， 由三角形外角可知：∠DED1＝∠ED1F+∠EFD1＝∠AED+∠AED1， ∴∠AED1＝∠ED1F， ∴AE∥FG， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴EF＝AG， ∵EFDC，AB＝CD， ∴AGAB，则BG， ∴BG＝2AG； （3）由折叠可知：∠DAE＝∠D1AE＝45°，AD＝AD1， ∴∠DAD1＝90°，则△DAD1为等腰直角三角形， ∴∠ADH＝∠AD1D＝45°， 延长AD1交BC于M，则∠MD1H＝∠AD1D＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DHM＝∠ADH＝45°＝∠MD1H，∠AMH＝∠DAD1＝90°，即AM⊥AD， ∴MD1＝MH， ∵▱ABCD的面积为24，AD＝4，即：AD•AM＝24， ∴AM＝6， 则MD1＝AM﹣AD1＝AM﹣AD＝2， ∴D1H2． 【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $