浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 浙江省台州市路桥区八年级下学期期中数学试卷，以“弦图”证明勾股定理、体育打卡评分、文创徽章销售等真实情境为载体，融合一元二次方程、统计量、几何证明等核心知识，考查抽象能力、推理意识与数据观念，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|一元二次方程定义、最简二次根式、众数、四分位数|结合“弦图”文化素材，考查几何直观| |填空题|6题18分|二次根式意义、离差平方和、方程正根应用|设置数值转换器问题，培养符号意识| |解答题|8题72分|方程求解、统计分析（箱线图）、几何证明、增长率与利润问题|23题以文创销售为背景，考查模型观念；24题模仿解题过程，发展推理能力|

浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分共30分） 1．（3分）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣5＝x2 B． C．x2+2y＝1 D．3x2﹣2x＝3x2 2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如表，该组数据的众数为（　　） 型号 0.35mm 0.38mm 0.5mm 0.7mm 1.0mm 销量（支） 30 45 53 42 17 A．0.38 B．0.5 C．0.7 D．1.0 4．（3分）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．（3分）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（　　） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 6．（3分）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D．4 7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1 8．（3分）已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 9．（3分）数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数为（　　） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 10．（3分）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题（每小题3分共18分） 11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是　 　 ． 13．（3分）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x为81时，最终输出的数是　 　 ． 14．（3分）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程x2﹣5x+6＝0的正根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为　 　 ． 15．（3分）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　 　 米． 16．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　 　 ． ①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 三、解答题（8大题，共72分） 17．（6分）解一元二次方程：3（x+4）2＝x（x+4）． 18．（6分）计算：． 19．（8分）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 x （1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； （2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按2：3：5的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要多少分（成绩为整数）． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求m的值． 21．（10分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n P （1）求统计表中m，n，p的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 22．（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点． （1）若∠D＝30°，则∠BAD的度数为　 　 ； （2）求证：∠BAD＝2∠CAD； （3）已知，，求线段AB的长度． 23．（12分）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0.2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 任务一 求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； 任务二 若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 24．（12分）小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的： ， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求3a2﹣12a+1的值； ②求2a3﹣10a2+6a+3的值． 浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分共30分） 1．（3分）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣5＝x2 B． C．x2+2y＝1 D．3x2﹣2x＝3x2 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A．2x﹣5＝x2，是一元二次方程，故选项A符合题意； B．是分式方程，故选项B不符合题意； C．x2+2y＝1，还有两个未知数，不是一元二次方程，故选项C不符合题意； D．3x2﹣2x＝3x2，未知数的最高次数是3，化简可得2x＝0，是一元一次方程，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式定义判断即可． 【解答】解：A.3，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C.是最简二次根式，故选项C符合题意； D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3．（3分）某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如表，该组数据的众数为（　　） 型号 0.35mm 0.38mm 0.5mm 0.7mm 1.0mm 销量（支） 30 45 53 42 17 A．0.38 B．0.5 C．0.7 D．1.0 【分析】找到出现次数最多的数据即可． 【解答】解：观察表格发现0.5mm型号销量为53，最多， 所以众数是0.5mm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，难度不大． 4．（3分）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】将原式计算后进行估算即可． 【解答】解：原式＝2 ＝4 ＝3 ， ∵16＜18＜25， ∴45， 即原式的值在4和5之间， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的计算是解题的关键． 5．（3分）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（　　） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【分析】根据中位数，平均数，方差的计算公式逐项计算即可． 【解答】解：男生的平均数：5； 女生平均数：5， ∴男、女生训练达标次数的平均数相等， 故A错误； 男生的离差平方和：（4﹣5）2+（5﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（6﹣5）2＝1+0+9+9+1＝20； 女生的离差平方和：（5﹣5）2+（3﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2+（4﹣5）2＝0+4+4+1+1＝10； ∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； 把男生训练达标次数从小到大排列：2，4，5，6，8， ∴中位数为5； 把女生训练达标次数从小到大排列：3，4，5，6，7， ∴中位数为5； ∴男、女生训练达标次数的中位数均为5， 故C错误； 男生训练达标次数的方差：[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（6﹣5）2]20＝4； 女生训练达标次数的方差：[（5﹣5）2+（3﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2+（4﹣5）2]10＝2； ∵2＜4， ∴男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定， 故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查方差，平均数，中位数，关键是掌握这些知识的计算公式． 6．（3分）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D．4 【分析】根据小正方形的面积以及直角三角形的面积得出方程求解AE即可． 【解答】解：∵直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9， ∴， 解得AE＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的面积，直角三角形的面积，熟记正方形的面积，直角三角形的面积是解题的关键． 7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1 【分析】一元二次方程需满足二次项系数不为 0，且有实数根则判别式Δ≥0，据此列出条件求解． 【解答】解：已知方程（k﹣1）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程且有实数根，需同时满足： ∵二次项系数不为0， k﹣1≠0， ∴k≠1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（k﹣1）×9≥0， 36﹣36（k﹣1）≥0， 36﹣36k+36≥0， 72﹣36k≥0， ﹣36k≥﹣72， k＜2， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1． 故选：C． 【点评】一元二次方程需满足二次项系数不为 0，且有实数根则判别式Δ≥0，据此列出条件求解． 8．（3分）已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答． 【解答】解：∵当一组数据中的每一个数据发生什么样的变化其平均数就发生什么样的变化， ∴数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数为2×4+3＝11， ∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍， ∴数据a1，a2，a3，a4的方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的方差为3×22＝12． 故选：A． 【点评】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍． 9．（3分）数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数为（　　） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【分析】根据上四分位数、下四分位数的定义解答即可． 【解答】解：把90位数字从小到大排列，排在第67和68个数分别是8、8，故上四分位数为8， 排在第22和23个数分别是2、2，故下四分位数为2． 故选：D． 【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握上四分位数、下四分位数的定义是解题关键． 10．（3分）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到ax2+bx+2026＝﹣2（x﹣1）2+2028，然后利用非负性求解即可． 【解答】解：由题意可得：一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0的“同族二次方程”为（a+1）（x﹣1）2﹣1＝0，即（a+1）x2﹣2（a+1）x+a＝0， ∴a＝﹣2，b﹣2＝﹣2（a+1）， 解得b＝4， ∴ax2+bx+2026＝﹣2x2+4x+2026＝﹣2（x﹣1）2+2028， ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣2（x﹣1）2+2028≤2028，即ax2+bx+2026≤2028， ∴ax2+bx+2026能取到最大值2028． 故选：D． 【点评】本题考查配方法的应用，正确进行计算是解题关键． 二、填空题（每小题3分共18分） 11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x　 ． 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：若代数式在实数范围内有意义， 则2x﹣5≥0， 解得x， 故答案为：x． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 12．（3分）某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是　16　 ． 【分析】根据方差是离差平方和的平均值可得答案． 【解答】解：其离差平方和是：2×8＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查方差与离差平方和，熟练掌握该知识点是关键． 13．（3分）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x为81时，最终输出的数是　　 ． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：9， 3， 为无理数，可以输出． 故答案为：． 【点评】本题主要考查代数式求值、有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 14．（3分）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程x2﹣5x+6＝0的正根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为　　 ． 【分析】根据题意，求出直角三角形的斜边长，进一步得出直角边长即可． 【解答】解：由x2﹣5x+6＝0得， （x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得x＝2或x＝3． 因为中线长大于2， 所以直角三角形的中线长为3， 则斜边长为6， 所以该纸板的直角边长为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、一元二次方程的解及直角三角形斜边上的中线，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． 15．（3分）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　1　 米． 【分析】设石板小径的宽度为x米，根据石板小径的总面积占草坪总面积的，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设石板小径的宽度为x米， 根据题意得：（2×12+2×8）x﹣4x2＝12×8， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1，x2＝9（不符合题意，舍去）， ∴石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　①④　 ． ①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【解答】解：①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0， 当x＝2时，代入方程得a•22+b•2+c＝4a+2b+c＝0，说明方程有一个根为x＝2，因此判别式b2﹣4ac≥0，①正确； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax+c＝0必有两个不相等的实数根，方程ax+c＝0是一元一次方程（a≠0），只有一个实数根x，不可能有两个根，②错误； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根，把x＝2026代入ax2+bx+c＝0，得a•20262+b•2026+c＝0； 当c＝0时，方程cx2+bx+a＝0变为bx+a＝0，不一定是它的根，③错误； 若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac， ∵x0是方程的根， ∴abx0+c＝0，即abx0＝﹣c， 展开右边：4a24abx0+b2＝4a（abx0）+b2＝4a（﹣c）+b2＝b2﹣4ac，④正确； 故答案为：①④． 【点评】本题考查一元二次方程的根的定义、判别式及方程变形，熟练掌握方程根的代入验证、判别式的意义是解题的关键． 三、解答题（8大题，共72分） 17．（6分）解一元二次方程：3（x+4）2＝x（x+4）． 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+4＝0或3x+12﹣x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：3（x+4）2＝x（x+4）， 3（x+4）2﹣x（x+4）＝0， （x+4）（3x+12﹣x）＝0， x+4＝0或3x+12﹣x＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝﹣6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18．（6分）计算：． 【分析】先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝1（5﹣4） ＝11 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 19．（8分）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 x （1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； （2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按2：3：5的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要多少分（成绩为整数）． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算，然后作出判断即可； （2）设小航立定跳远成绩为x分，根据加权平均数计算即可． 【解答】解：（1）86（分）， ∴小泽能获得“体育打卡小能手”称号； （2）设小航立定跳远成绩为x分， 根据题意，得86， 解得x≥84.2， ∵x为整数， ∴小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要85分． 【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数，熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【分析】（1）由题意知，Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝1＞0，然后作答即可； （2）由题意知，x1+x2＝﹣（2m+1），x1•x2＝m，且，可得2m+1）2﹣2（m2+m）＝5，计算求解即可． 【解答】（1）证明：由题意知，Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意知，x1+x2＝（2m+1），x1•x2＝m2+m， ∴xx（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， ∴（2m+1）2﹣2（m2+m）＝5， 整理得：m2+m﹣2＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣2． ∴m的值为1或﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程的根与系数的关系为x1+x2，x1x2是解题的关键． 21．（10分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n P （1）求统计表中m，n，p的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【分析】（1）将七八年级积分分别排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）将七年级积分排序，求出下四分位数、上四分位数，求出中位数，进而作图分析即可得解． 【解答】解：（1）七年级积分排序：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100， ∴中位数m86.5， 八年级积分排序：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96， ∴中位数n89，众数p＝91； （2）七年级上四分位数m75为93.5，下四分位数m25为70，中位数为86.5， 补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如下： ∴从而箱线图可得抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【点评】本题考查中位数，众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点． （1）若∠D＝30°，则∠BAD的度数为　120°　 ； （2）求证：∠BAD＝2∠CAD； （3）已知，，求线段AB的长度． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠D＝30°，根据三角形内角和定理计算得到答案； （2）根据直角三角形的性质求出∠CAD，证明结论； （3）根据勾股定理求出AD，进而求出AB． 【解答】（1）解：∵AC⊥BD于点C，点C为线段BD的中点， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴∠B＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故答案为：120°； （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝2∠CAD； （3）解：在Rt△ACD中，AC，CD， 由勾股定理得：AD2， 则AB＝AD＝2． 【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键． 23．（12分）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0.2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 任务一 求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； 任务二 若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【分析】（任务一）设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为x，利用该纪念徽章4月份的月销售量＝该纪念徽章2月份的月销售量×（1+该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务二）设该顾客此次购买的徽章数量为y枚，则单件销售价为（37﹣0.2y）元，利用总利润＝每枚的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（任务一）设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：40（1+x）2＝90， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）． 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为50%； （任务二）∵（25﹣10）×60＝900（元），900＜910， ∴该顾客此次购买的徽章数量超过60枚． 设该顾客此次购买的徽章数量为y枚，则单件销售价为25﹣0.2（y﹣60）＝（37﹣0.2y）元， 根据题意得：（37﹣0.2y﹣10）y＝910， 整理得：y2﹣135y+4550＝0， 解得：y1＝65，y2＝70， 当y＝65时，37﹣0.2y＝37﹣0.2×65＝24（元）； 当y＝70时，37﹣0.2y＝37﹣0.2×70＝23＜24，不符合题意，舍去． 答：该顾客此次购买的徽章数量为65枚，单件销售价为24元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（12分）小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的： ， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求3a2﹣12a+1的值； ②求2a3﹣10a2+6a+3的值． 【分析】（1）先分母有理化，再算加减法即可； （2）①仿照例题解答即可； ②将所求式子变形，再计算即可． 【解答】解：（1） 1 1； （2）①∵a2， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴3a2﹣12a+1＝3（a2﹣4a）+1＝3×1+1＝4； ②由①知，a2﹣4a＝1， ∴2a3﹣10a2+6a+3 ＝2a（a2﹣4a）﹣2（a2﹣4a）﹣2a+3 ＝2a×1﹣2×1﹣2a+3 ＝2a﹣2﹣2a+3 ＝1． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $