命题大赛 重庆2025-2026学年高二下学期阶段测试（人教A版选择性必修第二册）

**基本信息** 重庆高二数学阶段测试聚焦选择性必修二第四—五章，以教材变式为基础，原创题结合AI模型训练、血药浓度等真实情境，突出数学眼光观察现实、思维推理及语言表达模型的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数（第1题路程变化量）、数列（第2题前5项和）|教材变式题占比高，如第1题改编自教材定义| |多选|3/18|函数极值（第9题）、等差数列性质（第10题）|融入雪花曲线等文化情境，考查数学抽象| |填空|3/15|导数计算（第12题）、高斯算法求和（第13题）|结合数学史，体现数学文化传承| |解答|77|导数应用（第15题切线与值域）、数列与椭圆综合（第17题）、AI模型优化（第18题）|原创大题如第18题以AI训练为背景，考查数学建模与运算能力，契合高考命题趋势|

重庆高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修二第四—五章） 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A B C C BD BCD 题号 11 12 13 14 答案 ABC 20 24 1．A 【分析】根据的定义计算即可. 【详解】. 故选：A 2．C 【解析】根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为， 所以则数列的前5项和. 故选：C 3．B 【详解】因为等差数列的公差为， 又数列的前项和， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 4．B 【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可. 【详解】解：设检测第n次时，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，令，因为，即，解得，两次检测间隔2小时，加上达到峰值前的3小时，故当血药浓度为峰值的时，给药时间为. 故选：B. 5．A 因为, 所以，又因为，即， 所以，所以数列为等差数列． 根据等差数列的性质得，所以. 又因为，所以数列的公差，所以数列的通项公式为， 所以. 所以数列的前项和. 故选：A 6．B 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 7．C 【分析】运用数列的累乘法求得，再由等比数列的中项性质可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和. 【详解】（），可得， 由，可得， 可得，由，，成等比数列， 可得，可得， 所以的前n项和为 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，本题还可提升难度，计算的通项公式，. 8．C 【分析】利用反函数图像性质，得出两曲线均与直线相切，再借助导数的几何意义求解，体现了树形结合的数学思想. 【详解】原命题等价于恰有一个零点，因为与互为反函数，图像关于直线对称，恰有一个零点时两函数均与直线相切，且公切点在直线上．，，设切点为，则有，，所以，所以，又由②得，故，所以． 故选：C. 9．BD 【分析】求导分析函数单调性与极值点，进一步计算它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或， 由导数的正负性可得函数在区间单调递减，单调递增，单调递减，所以的极小值点为，极大值点为，A、C错误； 当时，单调递减，它的最大值为， 最小值为，B正确； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：BD. 10．BCD 【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D. 【详解】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 11．ABD 【分析】根据雪花曲线定义及几何性质可计算并判断 A，B选项，再借助A，B选项可推导C，D选项. 【详解】A项，每次操作，每条边变为4条新边，所以，又，故，A正确； B项，下一个图形的边长是上一个图形边长的，所以，又，故，B正确； C项，周长，所以前项和 ，所以C错误； D项， 从第级到第级，新增小三角形的数量为（每条边增加一个小三角形），每个小三角形边长为，面积为，所以，即 ，因为，所以当时，面积趋于，D正确． 故选：ABD. 12． 【分析】根据函数在某点处的导数的定义可得. 【详解】根据导数的定义，极限 表示函数在处的导数值 ，因为，求导有，所以. 13． 【分析】根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和. 【详解】由得， ， 由， 得，故， 故，所以， 则， 两式相减得： 故，故答案为： 14．128 【分析】考查特殊值法在含参问题中的应用． 【详解】法一：，， 代入，可得，即， 展开，可得，即， 化简可得，因为，当时，代入可得，恒成立， 当时，化简可得代入，可得， 即恒成立，因为与在均单调递增， 所以必须是函数的重根，即另一个根，解得，由，解得，所以. 法二：令，则，必有： ，所以，所以，所以． 15．(1)， (2) 【分析】（1）结合切线的点与斜率，联立函数值与导数值的方程求解； （2）求导分析函数单调性，计算区间内关键点的函数值，确定值域. 【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 16．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 17．【分析】(2)问考查椭圆第一定义与构造法求数列通项公式． (3)问将椭圆第二定义与数列求和相结合，椭圆知识是背景，重点考查了数列中由递推关系求通项公式，分组求和等知识，体现了学科内融合的思想． 【详解】（1）由题意得，，解得；又因为离心率，所以；，所以椭圆的标准方程为． （2） 根据椭圆第一定义，，所以，即，构造得，，故数列是以１为首项，为公比的等比数列，故，所以. （3） 根据椭圆的第二定义，，解得， 18．【分析】（1）问若用传统分离参数法或直接讨论求的最小值（函数最值法），均耗时耗力。因此第（1）可采用端点效应解法快速求解。 （2）问利用数列作差法分析单调性，进而求出最大值；（3）问将左式拆分后进行放缩，借助（1）中结论运用累加法可证． 【详解】（1）,,要使恒成立，则先要满足，解得. 下面从两个方面进行验证： ①时，，所以在恒成立，所以在单调递增，. ②时，,使得时，所以在单调递减，，与条件不符，故舍去。 综上，. （2） 当时 所以函数单调递减，故时取最大值，为. （3）令，由（1）得在上恒成立，所以,当且仅当时取“=”.令，得 累加可得：. 19.（1） （2） （3）证明见解析 【分析】（1）设抛物线在原点的曲率圆的方程为，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出即可； （2）设曲线在的曲率半径为，根据所给定义表示出，再由基本不等式计算可得； （3）依题意函数的图象在处的曲率半径，即，从而得到，令，，即可得到，再由基本不等式证明即可． 【详解】（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径． 则，，故，即，所以抛物线在原点的曲率圆的方程为； （2）设曲线在的曲率半径为．则 法一：， 由知，，所以 ， 故曲线在点处的曲率半径， 所以，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径． 法二：，， 所以，而， 所以，解方程可得， 则，当且仅当，即时取等号， 故，曲线在点处的曲率半径． （3）法一：由（2）法一得，函数的图象在处的曲率半径， 故， 由题意知：  令， 则有， 所以，即，故． 因为，所以， 所以， 所以． 法二：由（2）法一得函数的图象在处的曲率半径， 有 令，则有， 则，故 ， 因为，所以， 所以有， 令，则，即， 故，所以，即； 法三：由（2）法一得函数的图象在处的曲率半径． 故 设，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有， 所以， 要证，即证， 即证  将 ， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增， ， 故，所以． 法四：函数的图象在处的曲率半径， 有， 设． 则有， 所以当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增． 故有，所以， 要证，即证， 即证．将， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增，故 ， 故，所以． 【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $表格_20260505 重庆高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修二第四—五章）（双向细目表） 题型 题号 分值 考查知识点 能力层级 难度 命题来源 单选题 1 5 路程变化量计算、函数增量 理解运算 易 教材变式 单选题 2 5 分组求和、等比数列求和 掌握运算 易 模拟题选编 单选题 3 5 等差数列性质、三角函数求值 理解应用 中 原创 单选题 4 5 等差等比数列实际应用（血药浓度） 建模应用 中 模拟题选编 单选题 5 5 导数运算、等差数列判定、裂项求和 综合应用 中 改编 单选题 6 5 函数极值点、等差数列性质 综合应用 中 高考真题改编 单选题 7 5 递推关系求通项公式、等比中项、裂项求和 综合应用 难 模拟题选编 单选题 8 5 指数与对数函数、零点、导数几何意义 综合应用 难 原创 多选题 9 5 函数单调性、极值、最值、切线方程 理解应用 中 教材变式 多选题 10 5 等差数列性质、前 n 项和最值、并项求和 综合应用 中 模拟题选编 多选题 11 5 雪花曲线、数列通项及求和、递推关系的推导及应用 探究应用 难 教材变式 填空题 12 5 导数定义、复合函数求导运算 理解运算 易 教材变式 填空题 13 5 倒序相加法、错位相减求和 掌握应用 中 教材变式 填空题 14 5 不等式恒成立、多项式重根、参数求解 综合应用 难 改编 解答题 15 12 导数几何意义、函数单调性与值域 掌握应用 易 模拟题选编 解答题 16 12 等差数列、等比数列综合证明与计数 掌握应用 中 高考真题 解答题 17 12 椭圆标准方程、数列构造法求通项、分组求和 综合应用 中 原创 解答题 18 12 函数恒成立、数列单调性、累乘法、不等式证明 探究应用 难 原创 解答题 19 12 曲率圆、导数二阶导、基本不等式、极值点偏移 创新应用 难 模拟题选编 $ 重庆高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修二第四—五章） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．【教材变式】已知某质点运动过程中路程与时间满足方程，当由1变到2时，其路程的变化量等于（    ） A． B． C．1 D． 2．已知数列的通项公式，则数列的前5项和等于（    ） A． B． C． D． 3．【原创】已知等差数列的公差为，且，记，若数列的前项和，则 ． A．1 B．0 C． D． 4．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（    ） A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时 5． 【改编】设数列满足，，且对任意的，函数满足.若，则数列的前项和（    ）. A． B． C． D． 6．已知数列为等差数列，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 7．已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为（    ） A． B． C． D． 8．【原创】已知，若函数恰有一个零点，则 =（     ）. A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．【教材变式】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值点为，极小值点为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 10．等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 11．【教材变式】雪花曲线又称科赫（Koch）雪花，是从一个边长为1的等边三角形开始（记为第0级），把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，便产生了雪花曲线，如下图． 记第级：图形的边数为，每条边的长度为，图形的周长为，图形所围成的面积为. A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为 C．数列前项和 D．当时，面积趋于. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12．【教材变式】已知函数，则__________. 13．【教材变式】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________． 14．【改编】设 ，若对 ，则 _____． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 16．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 17．【原创】设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为 　． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 设是椭圆上的一系列点，其中是椭圆的上顶点，分别是椭圆的左、右焦点。记，，若，求数列的通项公式； (3) 在(2)的条件下，若点的横坐标构成数列，求数列的前项和． 18．【原创】AI模型训练中，单组数据压缩后的有效信息保留率可建模为函数，其中为压缩比，为信息保留率. (1)若对所以压缩比恒成立，求的取值范围； (2)实际训练时，每批次处理组不同压缩比的数据，相应的信息保留率建模为函数，求的最大值及相应的值； (3)已知模型的最低有效信息保留率为，当时,请用(1)中的结论证明： 19．如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：         ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． (1)求抛物线在原点的曲率圆的方程； (2)求曲线的曲率半径的最小值； (3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $