精品解析：山东德州市平原县第一中学2025-2026学年高一下学期期中模拟考试数学试题

高一下学期期中模拟考试数学试题 2026.4.27 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且向量在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与的夹角为，向量在上的投影的数量为，即， 因为，所以解得， 因为，所以， 因此， 即. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简即可. 【详解】 所以. 故选：D 3. 已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，，由可得，然后利用充分条件及必要条件的定义判断即得. 【详解】设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则，，， 由，则， 解得，则， ∴由“”可以推出“”， 当时，， ∴由“”推不出“” 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是. 故选：B 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 6. 已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为，则，又因为点为的中点，则， ， ， 所以， . 故选：C. 7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，再根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则. 故选：D. 8. 三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，将代入， 可得 . 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 计算下列各式的值，结果为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用和角正切公式或其变形化简求值判断A、C，应用和差角正余弦公式化简求值判断B、D. 【详解】A：，满足， B：，不满足， C：由，则， 所以，满足； D： ，满足. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 B. ，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线 C. 在任意锐角中，恒成立 D. 点是函数图象的一个对称中心 【答案】BC 【解析】 【分析】由共线反向可判断A，由向量共线可判断B，由两角和的正切公式可判断C，由二倍角公式及辅助角公式化简可判断D. 【详解】对于A，当，共线反向时，夹角为，此时满足，故A错误， 对于B：，又有公共点，所以，，三点共线，B正确， 对于C：在任意锐角中，由， 得：， 化简可得：，C正确， 对于D， ， 显然对称中心的纵坐标为，D错误， 故选：BC 11. 如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ） A. B. 点为的重心 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得. 【详解】对于A：由有，故A错误； 对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点， 即为的重心，故B正确； 对于C：由，又三点共线，即，故C正确； 对于D：设中点为，则有，又，即， 所以，在中有，又为重心，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B，C三点共线，若，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件计算即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，故有 而，故，解之得. 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可. 【详解】由二倍角公式可得，即， ，，故上式化为， . 故答案为：. 14. 如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律结合向量夹角的公式计算可得； （2）由向量垂直数量积为零计算可得； （3）先由数量积的运算律和模长的计算公式求出两向量的模长，再代入夹角公式计算可得. 【小问1详解】 记，所成角为， 有，则，即， 又，所以， 又，因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 展开得，又由，，得 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 可得. 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和增区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，增区间为； （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以的增区间为； 【小问2详解】 当时，，则，故， 令，得，即实数的取值范围是. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）4 （2）存在，此时． 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件计算即可； （2）设点M坐标，利用向量数量积的坐标表示计算，结合二次函数求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，， 因为A，B，C三点共线，所以， 故，解得． 【小问2详解】 假设直线OC上存在M点， 因为，所以， 设， 则，． 当时，取最小值，此时． 18. 已知，其中． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】 由已知函数值以及角的范围得，，且，，结合两角和差公式即可求值. 【详解】（1）知：， ∵，则， ∴，而， ∴， （2）由， ∴， 由知：， ∴由题意，得，结合（1）有， ∴. 【点睛】关键点点睛：根据已知确定，范围，并确定，与已知角的关系，进而求函数值. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设，试求函数的相伴向量，并求出与方向相反的单位向量； （2）记的相伴函数为，若方程在区间上有且仅有四个不同的解，求实数的取值范围； （3）已知点且满足，向量的相伴函数在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围. 【答案】（1），其反向单位向量为 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）应用和差角余弦公式展开函数式，结合定义写出相伴向量及其反向单位向量； （2）将问题化为有四个实数解，应用分类讨论及正弦型函数的图象分析参数范围； （3）应用辅助角公式化简函数式，再由正弦型函数的性质得，再由二倍角正切公式有，结合已知得，即可求. 【小问1详解】 因为， 函数的相伴向量，与反向的单位向量为； 【小问2详解】 的“相伴函数”， 方程为， 则方程有四个实数解， 所以有四个实数解， 令， ①当时，， ②当时，， 所以，作出的图象： 所以函数与有四个交点时，实数的取值范围为； 【小问3详解】 向量的“相伴函数”， 其中，，，， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以， 令，则，解得， 所以，因为单调递增， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期中模拟考试数学试题 2026.4.27 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且向量在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（ ） A. B. C. D. 8. 三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 计算下列各式的值，结果为2的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 B. ，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线 C. 在任意锐角中，恒成立 D. 点是函数图象的一个对称中心 11. 如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ） A. B. 点为的重心 C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B，C三点共线，若，则______． 13. 已知，，则______． 14. 如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求与夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和增区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由． 18. 已知，其中． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设，试求函数的相伴向量，并求出与方向相反的单位向量； （2）记的相伴函数为，若方程在区间上有且仅有四个不同的解，求实数的取值范围； （3）已知点且满足，向量的相伴函数在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $