8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 新课导入 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题. 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 包装盒所占空间的大小跟围几何体的体积密切相关. 前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小． 新知探究 问题1 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 展开图面积与其表面积有什么关系？ 化归思想 新知探究 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 棱台 也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！ 棱柱 棱锥 例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. 解：∵∆ABC是正三角形，其边长为a. 因此，四面体P-ABC的表面积为 典例解析 【跟踪训练】已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． E =4 = ==84 新知探究 问题2 还记得初中学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ 追问 对于一般的棱柱（棱锥、棱台）的体积又如何求解呢？ V正方体=a3 或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高) (a正方体的棱长) V长方体=abc (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 1.棱柱的体积 7 例如取一摞书放在桌面上（如图），使它倾斜一个角度，得到了另外一个几何体，体积不变 形状由长方体推移成斜四棱柱，体积不变. 8 棱柱的体积 祖暅[gèng]原理:“幂势既同，则积不容异” 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． （429年~500年） 探究：棱锥与同底等高的棱柱的体积有何关系？ 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 11 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 2.棱锥的体积 12 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 　　由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.         3.棱台的体积 13 (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) A D B C A′ B′ C′ D′ O O′ P 棱台体积公式的证明 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 上底面缩小为一个点 S′=0 上底面扩大到与下底面全等 S′=S 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系： 例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米? A' B' C' D' A B C D P 解： 如图示，由题意知 ∴这个漏斗的容积为 典例解析 巩固练习 正四棱台的上下底面边长分别是2cm和4cm,侧棱长是2cm,求它的表面积和体积. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 EV录屏5.1.3软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $