湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期模拟预测数学试题一

高三数学模拟卷一参考答案 题号 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 C C B A D B D A ACD ACD ACD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.C【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={2,4,6,7,8},又B={2,4,5,6},所以(CuA)∩B={2,4,6}. 2.C【解析】由向量a=(-2,4),b=(2,x),因为a∥b,可得-2×x=4×2,解得x=一4， 所以b=(2,-4),则a-b=(-4,8),所以a-b=√(-4)2+82=45. 8B【银标】狗道志一-1十2则要-一开云一分二乳0二0-2-i所以复雀的酸布是-1 5i(-1-2i) 4.A【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数， 所以fx+2)=f,-)=-),所以f(3)=f(-3+2=f(-）=-f(合)）， 因为当0<<1时，)=4-1，所以f(号)=4-1=2-1=1，所以f(号)=-1. 5.D【解析】设各项均为正数的等比数列{an}的公比为g>0,:a6,3a4,一a5成等差数列， 六6a,=4-a6a,=a,《行-90d-96=09>0解得g=8.则经-号-1+=1十3=82 6.B【解析】如图，不妨设点P在第一象限 因为PF2与x轴垂直，PF⊥PQ,且IFF2=2|F2Q|=2c, 所以|PF2|=√FF2·FQ=√2c, 所以P点坐标为(cw2c),所以p=√2= a 所以1+（会- 7.D【解析】由3.x-x2=-x(x一3)≥0，解得0≤x≤3，所以f(x)的定义域是[0,3]. 由y=√3x一x两边平方并化简，得x2+y2-3x=0, 即(x-)°+y=是，所以y=V3x-表示以（受，0）为圆心，年径为是的半圆. 由f）=号sinx-√3x-7=0,得2sin=V3x-2, f)的零点，也脚y=号sin,xE[0,3]与半国y=V3x一2的交点的横坐标， y号n肛与半圆y=V3x一2的图象都关于直线=号对称， 画出y=号sn,∈[0,3]与半国=V37的图象知因所示， 由因可知，两个函数图象有6个交点，且两两关于直线x=号对称，(0)=0，位)<0，(2)>0,1)<0) 所以f()的零点和为6X是=9. 8.A【解析】设G(0,y,),P(0,2,),d(G,A)=1, .ly|+|名=1，G点的轨迹为y+z=1. 又∠APB=∠DPE,剥R△APR△DPE,是-品=号， 即（0-52+后=号（+)， 化简得P点的轨迹为(y一9)2+z2=36. 在平面直角坐标系yA之中作出G,P轨迹，设G,点轨迹与y轴两个交点分别为M,N, P点轨迹为圆，圆心为F(9,0),半径r=6,且与y轴两个交点分别为H,T,如图所示， 结合图象得：|NH|≤IPG≤IMT, 又INH=|NF-r=8-6=2,|MT=|MF1+r=10+6=16,所以2≤|PG≤16. 数学参考答案(N9)-1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.ACD【解析】对于A:由函数f(x)=Asin(ax十p)的部分图象可知：A=2, 1 又因为f0)=2sin(w×0+p）=1,即sinp-2,p∈(0,2x), 结合函数的单调性可得9晋，f()=2sin(o×晋+晋）=0，即sim(a十晋）=0， 所以@十晋=元，解得w=2,所以fx)=2sin(2x+晋)，故A正确： 对于B:f晋)=2sin(2×晋+吾)=2≠0，故B错误： 对于C:当x-时，可得f(）=2in(29+晋）=2sin=-2, 所以f()的图象关于直线x-弩对称，故C正确； 对于D:当[至晋]时，2z+晋∈[，]，所以当2+看-受时，画敛取到视小位， 2 相邻的两个极大值点分别为受和，均不在2x十否的取位范国内， 故在[季餐]上有且仅有一个极值点，战D正痛， 10.ACD【解析】设直线AB的方程为y=kx十号，联立抛物线C:x=2py(p>0), 消去y,得x2一2kx一p=0,于是xAB=一p, 由 解得p=一产=4，所以APLZ 对于选项A,根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有|AP|=|AF|,选项A正确； 对于选项B,因为xxB=一护，所以B一2D·2中一4' 从60i.0i=+%心a=-少+度=-3 <0， 则∠AOB必定为钝角，选项B错误； 对于选项C,由|OF=OG=号，0Q∥PG,所以OQ为△FPG的中位线， 从而FQ|-|PQI,又|AP|=|AF,从而PF⊥AQ,选项C正确； 对于选项D,过点B作准俄的鱼我BH,足为H,剥部--品 所以R△GAPR△GB,从器品-品选项D三境 11.ACD【解析】在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C(2,2, F B 2),D1(0,2,2),F(1,0,2), C 对于A,取BG中点E21,2),连接EF,CE,则F2-(11,0)=2AC, 、 即FE∥AC,而，点F4AC,因此EF∥AC,四边形AFEC是过A,F,C的平面截正 方体AC1所得的截面， 其周长为AF+CE十AC十EF=2W5+3√2，故A正确； 对于B,取CC的中，点M,则动点Q的轨迹为△DEM(除去点D), 所以线段CQ的爱小值为号，故B错误； 对于C,由Q是正方形BCC1B1内的动点，设Q(2,b,c),0≤b≤2,0≤c≤2， 数学参考答案(N9)一2 则D,=(1,-2,0),AQ=(2,b,c),由AQ⊥D,F,得AQ·D,=2-2b=0,解得b=1, 即点Q(2,1,c),0≤c≤2，动点Q的轨迹是一条长度为2的线段，故C正确； 对于D,点P(2,0,1),设四面体D1-AFP外接球的球心O(x,y,z),球半径为R, x2+y2+2=R, 则 +21怎尽：解g一号y号=晋R-号 (x-2)2+y+(x-1)2=R2, (x-1)2+y2+(x-2)2=R2, 因此四面体D1-AFP外接球的表面积为4πR2=11π，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.15【解析】因为二项式(x十是)°的展开式中所有项的系数和为64， 所以(1+是)）°=64→(1+a)=64>1+a=士2>a=1,或a=-3<0会去， 三项式(x+是)°的通项公式为T1=C·r·(}厂=C·x, 令6-3r=0→r=2,所以展开式中的常数项为Cg=6X5=15. 2 13.2√2【解析】由y=e得y'=e,故y'|x=o=e°=1，进而可得曲线y=e在(0,1)处的切线l的方程为y一1=x一0， 2 即y=x+1,圆心C1,0)到直线1的距离为d=√+-=②， 故AB=2√P-正=2√4-(W2)=2W2,其中r为圆C的半径. 14.616(第一-空2分，第二空3分)【解折1当20<2m,即≥10时，=32×（侵）-立，不特合题意： 当20>2m,即m<10时，又20-2m为偶数，所以a-n=32×(分)学=2， 即32×（分》）-2.（合）=610-m=4,解得m=6: 综上，当a20=2时，m=6. n>2m时，an=an-2m,则数列{an}是周期数列，周期为2m, 所以Sn的正负，只需考查n≤2m即可， n≤2m时，奇数项构成首项a1=12,公差为一2的等差数列， 偶数项构成首项为@，=16，公比为2的等比数列， 当n=2k,≤m时，Sn=S2k=12k-k(k-1)+ 161-(3 =一k2+13k- +32, 18 541=5-(2）=-+13k-(2)+32, :=15时，5=2-（分）}>0，S,=2-(2）'>0,k=16时，5=-16-(2)”<0,5=-16-（分）”<0， 所以若存在n,使得Sn<0,则m≥16，故m的最小值为16. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)由正弦定理，得sinC-2 sin Bsin A, 即sin(A十B)=2 sin Asin B,… …2分 于是sin Acos B+cos Asin B=2 sin Asin B, 两边同时除以cos Acos B,得tanA十tanB=2 tan Atan B,……4分 又tanA=2, 所以nB景 …6分 数学参考答案(N9)一3 (2)由正弦定理及余弦定理，得Q+&_+2 abcos C-sinC ab sin Asin B+2cos C. …9分 ab 又因为sinC=2 sin Bsin A, 所以+-snC+2osC=2sinC叶2csC=22sim(C+子）， ab …11分 sin C 当C件子-登脚C=章时，出取得我大值2反. …………13分 16.【解析】(1)连接AB,交AB于点D, 因为AA=AB,则AD⊥AB. …1分 由平面A1BC⊥侧面AABB1,且平面ABC∩侧面AABB1=A1B, 得ADL平面A1BC,… 3分 又BCC平面ABC,所以AD⊥BC.… …4分 三棱柱ABC-A1BC是直三棱柱，则AA⊥底面ABC,所以AA1⊥BC 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,…5分 又ABC侧面A1ABB1, 故BC⊥AB.… …6分 (2)由(1)AD⊥平面A1BC,则∠ACD为直线AC与平面ABC所成的角， 所以∠ACD=否，又AD=2,所以AC=22,BC=2,…7分 假设在线胶AC上存在一点E,使得二面角A-BE-C的大小为。 由ABC-A1B,C1是直三棱柱，所以以点A为原，点，以AC,AA1所在直线分别为y,之轴， 以过A,点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axy2, 如图所示，则A(0,0,2),C(0,22,0),B(W2,√2,0)，B1(W2√2,2)， 且设A它=λAC(0≤A≤1)，A1C=(0,22,-2),E(0,2W2入，2-2)， 所以AE=(0,2√2λ，2-2λ)，AB=(W2W2,0), …9分 设平面EAB的法向量为n1=(x,y,z),由AE⊥n1,AB⊥n, [2√2λy+(2-2λ)z=0, 得 取%=（入-1,1-λ，-√2）， …11分 W2x+√2y=0, 由(1)知AB⊥平面ABC,所以平面CEB的一个法向量AB=(W2,W2,2),… 12分 2x|=AB·nl= |2√2 所以os写-1A元1m2w22a-)+2项-2' 13分 解得入=2， 所以点E为线段AC中点时，二面角A-BE-C的大小为 15分 17.【解析】(1)由题意知，游戏I第2局获胜的概率P=品=1 =23=4 2分 (2)易知X=0,1,2,3, 游戏1第1局获胜的概率为2，第2局获胜的概率为}， 则第1局和第2局均未获胜的概率为1-2)×(1-)=日， …4分 因此可知X~B(3,), PX-o)-(1-g》-器P(X-1)-G1-)}x号-器， 数学参考答案(N9)一4 PX=2)=G(1-)x(g)广-器PX=3)=(层)广=品， …7分 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 125 225 512 512 器 27 512 …9分 随机支量X的期望E(G0=0×器+1×器+2×+3X部-号或B(0=3X音-号 …10分 (3)应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记Y1,Y2分别为一次参加游戏I,Ⅱ所获奖金总额， 辩戏1第1局获胜的搬率为2，第2局获胜的概率为号，第3局获胜的概率为行， ∴EY)=10×号+500×4+900×g=287.5, …12分 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为号，第2局莪胜的概率为)，第3局莪胜的概率为C×(号)°×C×号×号-贵， ∴E0Y,)=300×号+60×号+900×号-300， …14分 E(Y2)>E(Y), 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.… 15分 c_B a21 a=2, 18.【解析】(1)由已知，113 解得b=1, a2十468 =1, c=√3， a2=B+c2, 所以C的方程为号+=1. …5分 (2)(1)设过，点(4,0)的直线为x=y十4， (x=my+4, 迪之+=1，消去x得(m十4)+8my+12=0, △=64m2-48(m2+4)=16(m2-12)≥0，m2≥12， 平4%=异 当十2=-8m …7分 所以mM2=- 3 方(y十2），…8分 由(1)知A(-2,0),B(2,0), 则立线AM:y=斗2红+2，P(0,￥2》 直线BN:产2-2，Q(0,22), 9分 3 则-8品=-西十努-改》 (M+2)+6y y1(x2-2) h(m2+2) =3, 26+y)+2 所以存在入=3，使得0Q=3O】 …10分 (i)法-：PQ1-|10Q-1OP11=2OP1= x十2 …11分 数学参考答案(N9)-5 因为草+=1，所以明=1-车， 41-)2-5 5品@=十2y=6+2 x1+2 …13分 因为M在第一象限，所以0<x<2, ◆a)-2eo,20 f()=4z-3x)2+-(2x-x)--2z(e+2z-4 (x+2)2 (x+2)2 令f(x)=0,解得x=0或x=-1士√5，… 15分 f(x)在(0，W5-1)上单调递增，在(W5-1,2)上单调递减， 所以当x=√5一1时，f(x)取最大值，所以1=√5-1.…17分 法=.Q=1oa-0P1=21oP=竿2， 5aa=￥zla=2泽 …11分 西-2cos06e(o,受) 设 y=sin 0, 所以SAOM _4sin0cos日_2sin0cos日 2c0s0+2cos0+1,… …13分 令km=器(c(o,受》. (2.cossin0)(cos 0+1)sin Ocos sin 2(cos02co1 (cos0+1)2 (cos0+1)2 =2(cos0+1)(cos0+cos0-1) (cos0+1)2 令h()=0,解得c0s0=-1或cos0=-15 2 15分 因为E(0,受》，所以cms0-5, 所以存在唯一的a∈(0，受），使得c8s品=52， 且h(0)在(0，)上单调递增，在(8，)上单调递减， 所以当0=。时，h(0)取最大值，所以21=2c0s。=√5-1.…17分 法三：设P(0,t)(t∈(0,1))，则Q(0,3t),所以|PQ=2t, 直线AP:y=号(x+2), y=(x+2 由 得=21-) …11分 苦+=1. 1+2 aa-·a292-24 ,…13分 令g0-2402(e(0,1), 1+ g()=②-6)1+)-（2-2r)·2t=-2(t+4-1) (1+t)2 (1+2)2 令g()=0,解得1=√W⑤-2，…15分 g(t)在(0，√W5-2)上单调递增，在(W5-2,1)上单调递减， 数学参考答案(N9)一6 所以当t=√W5-2时，g(t)取最大值， 所以5-202_21=5-2D]-5-1. 1+1+√5-2 .…17分 19.【解析】(1)f(x)=e-a,x∈[0，十∞). ………1分 当a≤1时，f(x)≥0，函数f(x)单调递增，既无极大值也无极小值； … 2分 当a>1时，x∈[0，lna),f(x)<0,函数f(x)单调递减，x∈(lna,+∞)，f(x)>0,函数f(x)单调递增， 函数f(x)的极小值是Q一alna,无极大值.…4分 (2)(1)当a=0时，由f(x)=g(x)得e=bsin,即 1=sin a e2 令h()=0气>0)，则()-s。- 2cos(x+） e 6分 e 当x∈(O,平）时，h()>0,h()单调递增； 当xE(年，平)时，N(x)<0,()单调递减 当z(,要）时，()>0，h(）单调递增，… …7分 x>2π时，lh(x)|<h(x-2x)|, 所以4（受）≤名）申方品· 11 所以b≤-√2e7或b>2e爱.…9分 (i)设方程ax十bsin x--e=0的正实数根为t>0, 则at十bsin t-e=0, 即点(a,b)为直线x十ysin t-e=0上一点，√a十b表示，点(a,b)到原点的距离， 显然，该距离不小于原，点到直线tx十ysin t-一e=0的距离， 即0干80即公+ 12分 不妨设u(t)=sint-t,>0,则t(t)=cost-1≤0， 所以函数u(t)在(0，十o∞)上单调递减，则u(t)=sint一t<u(0)=0, 即sin t<t,… 13分 e2r、e2ae2 又n([-11门，则d+>2千m72千f20…14分 设0-景心0，则0=，e， t3 令'(t)<0,得0<t<1,令0(t)>0,得t>1, 所以函数v(t)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，…16分 则0≥1)=号，即d+6>号 17分 数学参考答案(N9)一7高三数学模拟卷一 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 的 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1,3,5},B={2,4,5,6},则(CA)∩B= A.(2,4} B.(2,6} C.{2,4,6》 D.(4,5,6》 2.已知向量a=(一2,4)，b=(2,x),若a∥b,则a一bl= A2√7 B.3√6 C.4v5 D.4/6 3.在复平面内，复数之对应的点的坐标是(-1,2)，则复数的虚部是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4设f()是定义在R上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4-1,则f()= A.-1 B.1 C.-7 D.7 5.已知各项均为正数的等比数列a.}的前n项和为5，且满足a4,3a，一a,成等差数列，则爱- A.15 B.17 C.80 D.82 6.已知双曲线C答一芦=1@>0,6>0)的左右焦点分别为R,,点P在C的新近线上，PF, 与x轴垂直，点Q在x轴上，PF1⊥PQ.若|FF2|=2F2Q,则C的离心率为 A.√2 B.3 C.2 D.√5 ?函数f)=in一√x一子所有零点的和等于 A.6 B.7 C.8 D.9 数学试卷(N9)第1页（共5页） 8.在空间直角坐标系Axye中，点M(x1,y,1),N(x2y2,22),定义d(M,N)=|z2一x:|+ 1bm一+12一1l.如图，正方体的棱长为5，D它=号D元.平面yAz内两个动点P,G分别满 足d(G,A)=1,∠APB=∠DPE,则|PG的取值范围为 B C Λ.[2,16] B.[3,15] C.[4,15] D.[4,16] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) )已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,0<p<2π)的部分图象如图所 示，则 A.w=2 2 B.f(x)的图象关于点(，0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f代)在[至，]上有且仅有一个极值点 10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.过F的直线 与C交于A,B两点，连接BO并延长与准线l相交于点P,PF与x轴交于Q点，准线l与y 轴交于点G,则 A.AP=AFI B.∠AOB为锐角 C.PF⊥AQ n器能 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，F是棱A1B,的中点，Q为正方体ABCD- A,B1CD1表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是 A.过A,F,C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为2√5十3√2 B若P为棱B,的中点，且D,Q/平面APD,则线段CQ的最小值为 C.若Q是正方形BCCB:内的一个动点，且满足AQ⊥DF,则动点Q的轨迹是一条线段 D.若P为棱BB1的中点，则四面体D1-AFP外接球的表面积为11π 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a>0,二项式(x十是)”的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 数学试卷(N9)第2页（共5页） 13.已知曲线y=e在x=0处的切线1与圆C:(x一1)2十y2=4相交于A,B两点，则|AB= 13-n,n<2m且n为奇数， 14已知数列a.)的通项公式是a,=32×(分) n≤2m且n为偶数，(n≥3，m,n∈N).设Sn an-2mn2m, 为数列{an}的前n项和，当a2=2时，m= ;若存在n,使得S≤0，则m的最小值 为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤） 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=2 bsin A. (1)若tanA=2,求tanB的值； (②)求2的最大值 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1BC中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1,且AA1 =AB=2. B (1)求证：BCLAB. (2)若直线AC与平面ABC所成的角为，请问在线段AC上是否存在点 E,使得二面角A-BE-C的大小为？若存在，请求出E的位置若不 存在，请说明理由。 17.（本小题满分15分) 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获 对应奖金，奖金可累计，具体规则如下： 游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则 获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则 获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元 奖金 (1)求游戏I第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏I,设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和 数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由 18.（本小题满分17分) 在平面直角坐标系x0中，已知椭圆C等+芳=1(a>6>0)的离心率为号，点(1，号)在C 上，A,B为C的左、右顶点. (1)求C的方程 (2)过点(4,0)作直线与椭圆C交于两点M(x,y),N(x2,y)(M在第一象限)，直线AM, BN分别交y轴于P,Q两点. (ⅰ)试探究：是否存在常数λ使得O=入OP？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明 理由. (iⅱ)当△PQM面积取最大值时，求出1的值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e2一ax和g(x)=bsin x的定义域均为[0，十∞)，其中a,b∈R. (1)求f(x)的极值： (2)若3x>0,使得f(x)=g(xo). (i)当a=0时，求b的取值范围； （)求证：a2+>号