05 解析几何(30题)备战2026届高考数学考前一个月(解答题每日一题)

05 解析几何（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 两条直线垂直与斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 直线的点斜式方程 1．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．当k＝0时(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成y＝y0；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成x＝x0． 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 利用斜截式方程求直线平行与垂直的条件 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 直线的两点式方程 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 直线的截距式方程 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b． 直线的一般式方程 [新知生成] 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 利用一般式研究直线的平行与垂直 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 两圆位置关系的判断 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r 2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d <r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 2．代数法：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 求椭圆的离心率 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 基础通关练 1．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 3．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 5．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 6．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 7．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线的焦点为F，点在C上，，斜率为的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程． 8．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． (1)求的方程； (2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 9．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 10．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 中档提升练 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C：，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于、两点. (1)求证：为定值； (2)若点，直线、分别与抛物线的准线交于M、N两点，求的取值范围. 13．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. (1)若，求的方程； (2)若，求过点的圆的标准方程. 14．（2026·重庆·二模）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 15．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 16．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 18．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 19．（2026·陕西榆林·三模）已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交于另一点，交直线于点，求． 20．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． ‌冲刺满分练 21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 22．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 23．（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 24．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2026·云南昆明·模拟预测）已知曲线上任意一点到直线的距离是该点到点的距离的两倍. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知A，B，C三点均在上， （i）若直线AC过点，直线BC过点，记直线AC，AB，BC的斜率分别为，，且满足成等差数列，求点的坐标； （ii）若的重心是坐标原点，求的面积. 26．（2026·湖北·二模）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. 27．（2026·甘肃金昌·三模）已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 28．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 29．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 30．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 05 解析几何（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 两条直线垂直与斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 直线的点斜式方程 1．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．当k＝0时(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成y＝y0；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成x＝x0． 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 利用斜截式方程求直线平行与垂直的条件 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 直线的两点式方程 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 直线的截距式方程 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b． 直线的一般式方程 [新知生成] 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 利用一般式研究直线的平行与垂直 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 两圆位置关系的判断 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r 2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d <r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 2．代数法：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 求椭圆的离心率 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 基础通关练 1．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 3．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能,理由见解析 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为. （2）假设是线段的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段的中点，， 代入上式，可得，即此时直线的斜率为， 于是直线的方程为，即. 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段的中点. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 【答案】(1) (2);或 【分析】（1）由面积公式和离心率公式，解得，可得椭圆方程. （2）设出点坐标，将表示成关于纵坐标的二次函数，从而求解. 【详解】（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即. 由，得，则，即. 代入解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可设，且满足，即，. 而上顶点，则， .所以当时， 所以的最大值为.此时，， 所以点坐标为或. 5．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义及中点横坐标可求答案； （2）联立方程，利用判别式求出的范围，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得 ，， 所以． （2）由直线l过点，设直线l的方程为， 由消去x并整理得， 由，得， 且，， 则， 所以的取值范围为． 6．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． （2）设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即．    7．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线的焦点为F，点在C上，，斜率为的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出的值，即可得抛物线方程； （2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立写出韦达定理，利用弦长公式求出的值，即得直线的方程． 【详解】（1）由抛物线的定义可得， 解得，所以抛物线方程为：． （2）设，直线的方程为， 消去可得， 故，则， 所以， 则， 解得，检验符合题意， 故直线的方程为． 8．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． (1)求的方程； (2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到，结合韦达定理及直线过定点问题证明即可. 【详解】（1）由题易知， 联立得， ， 令，因为，解得， 所以C的方程为． （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，整理得， ， 则，， 所以． 因为以为直径的圆经过点，则，即， 即， 则，即或． 当时，， 直线的方程为，此时直线过定点，舍去； 当时，， 直线的方程为，此时直线过定点． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，两点为，，以为直径的圆的方程为，点在该圆上． 综上所述，直线过定点． 9．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得， 因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点、，且， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 所以，则到直线的距离， 所以. 10．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设出点的坐标，利用对称性写出的坐标，再根据斜率公式表示出与，将已知斜率之积代入并化简，即可得到轨迹的方程. （2）设，依次写出、的坐标，设，由得出正切关系式，结合椭圆方程消去，解出，从而判断存在点. 【详解】（1）设()，则. 直线的斜率，直线的斜率. 由，得，即. 整理得，即，故(，即). 所以的方程为(). （2）设()在上，则. 点与关于轴对称，故. 直线的方程为，令，得，所以. 直线的方程为，令，得，所以. 设，如图所示：，. 由，得，即. 由，得. 代入得，即. 因为，所以，即. 故存在点，坐标为或. 中档提升练 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）为定值0；（ii） 【分析】（1）结合题意得，，进而解方程即可求得椭圆方程； （2）（i）由题意知，故根据直线的斜率为0时得；再结合直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理即可求得； （ii）结合（i），根据弦长公式得由题，点到直线的距离为，再结合基本不等式求解面积的最值即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左焦点为，所以， 因为点为上一点，为的右焦点，所以， 因为的周长为12， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）因为直线与轴的交点为，所以． 当直线的斜率为0时，三点共线且在轴上，故，此时； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，化简消去得：， ， 解得或， 所以，由韦达定理得，， 所以 ， 综上，为定值0． （ii）由题． 点到直线的距离为， 所以， 令，则， 所以． 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，此时成立， 所以面积的最大值为 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C：，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于、两点. (1)求证：为定值； (2)若点，直线、分别与抛物线的准线交于M、N两点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理即可得证； （2）先求出直线的方程，与抛物线准线联立求得点的坐标，利用（1）中的韦达定理化简的表达式，即可求得其范围. 【详解】（1）依题意，，设直线的方程为， 联立，得， 因， 则，， 故为定值. （2）设，，则， 所以直线的方程，把代入解得， 同理得，由（1）知：， 则 又，所以， 因 ，则. 的取值范围是. 13．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. (1)若，求的方程； (2)若，求过点的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出抛物线的方程，设的方程，代入，写出韦达定理，利用抛物线的定义，结合题设条件求得，即得的方程； （2）先求出，将点的坐标代入推得，由（1）的结论求得，结合，利用待定系数法即可求得圆的标准方程. 【详解】（1）因为的焦点为，所以，解得， 故的方程为， 设的方程为，将其代入，消去整理得， 设，则 ， 因为，所以， 由，得， 所以的方程为，即. （2）对于，令，得点， 则，故得， 由（1）知，所以，， 因为，所以，从而，则， 因为点在轴上方，所以，进而可得， 设过三点的圆的方程为，又， 则得 解得， 所以过三点的圆的方程为. 14．（2026·重庆·二模）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)(i)证明过程见解析； (ii) 【分析】（1）根据抛物线性质求解即可； （2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可求解最小值. 【详解】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. （2） （i）设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离，   因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 15．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义和最值可得答案； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理和弦长公式可证结论. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 因为点到焦点的距离与到点的距离之和最小值为3，所以，解得， 故方程为. （2）证明：设过的直线斜率为，则直线方程为， 联立抛物线方程可得， 设直线与抛物线的交点为，则. ，， 所以； 设直线的斜率为​，的斜率为，则，， 因为，所以，即， 因为是两条不同的直线，所以，即，直线的斜率之和为0. 16．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）8；（ii）为定值2. 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当时，点到直线的距离取得最大值，求出的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. （ii）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 17．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解; （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证; ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由抛物线 , 可得焦点 , 准线为 , 因为点 , 可得 , 解得 , 又因为 , 由抛物线的定义, 可得 , 解得 ,所以抛物线 的方程为 . （2）①由(1)知 , 由题可知直线 斜率均存在且不为 , 否则必有一条直线与抛物线 只有一个交点, 不符合题意. 设 的斜率为 , 因为 , 则 的斜率为 , 则 的方程为 , 联立方程组 整理得 , 设 , 则 , , 则 同理可得: , 所以 所以 为定值 . ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为288. 18．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得； （2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得. 【详解】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 19．（2026·陕西榆林·三模）已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交于另一点，交直线于点，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆上一点以及该点到焦点的距离联立方程可得； （2）联立直线与椭圆，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意得解得 所以的标准方程为． （2）（i）如图所示，由消去，得，， ， 又点到直线的距离， 所以， 所以， 所以. （ii）如图所示，由（i）知， 由． 设直线的斜率为，则． 联立消去，得． 所以．又，所以， 由得所以， 所以，所以，所以． 20．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)存在，定圆的方程为 (3)，的方程为或 【分析】（1）先根据与轴垂直求出的值，再根据点在椭圆上以及求解出. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用得到之间的关系，再利用原点到的距离为定值从而确定圆的方程. （3）根据三角形的面积公式，其中为定值，利用弦长公式将表示成的函数，然后利用换元法求解出最大值即可. 【详解】（1）因为与轴垂直，所以，， 又点在椭圆上，，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，. 联立得，整理得. ，即. ， ，，即，整理得. 原点到直线的距离，将代入得 故距离为定值，所以存在定圆与直线相切. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，. 联立，，则，. ，得，即直线的方程为， 此时直线与圆相切，符合题意. 综上，存在定圆与直线相切，定圆的方程为. （3）由三角形面积公式得，其中为定值. 当直线的斜率存在时，， 将代入整理得. 令，则. 当时，即（此时）时，有最大值. 此时三角形面积有最大值，最大值为. 此时，代入，得，. 直线的方程为或. 当直线的斜率不存在时，由（2）可得或. 此时，. 综上，面积的最大值为，此时直线的方程为或. ‌冲刺满分练 21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② 过定点 . 【分析】（1）先由焦点得，建立；再利用轴，将点横坐标代入椭圆，联立方程组，求出的解，得到椭圆方程； （2）①设直线，联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出、；将面积转化为，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可； ②由得，写出直线方程，令求；代入并结合韦达定理化简，消去参数后得，即可得到直线的定点. 【详解】（1）因为椭圆，焦点， ， 由 轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，， 联立方程组：，解得， ∴椭圆的方程为：. （2）由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ， 设直线 的方程为，， 则联立：， 消元得：， ，所以 由韦达定理： ①， 则， 令，则，所以， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， ②直线 过点 和，方程为： 令，得：， 将 代入：， 由韦达定理得 ， 代入化简：， ∴直线恒过定点. 22．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合构造方程求出，进而得出点坐标，进而求出． 【详解】（1）设的焦距为，右顶点，上顶点， 离心率为，， ，， ，解得，故， ， 的标准方程为． （2）由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，， 由题意可知点为线段的中点，， ， ； ②设，直线的方程为， 由，得， ， 为线段上的动点， ， ， ，故， 三点共线， ， 又， ， 将代入上式并化简，得： ， 即 ，解得， 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去； 当时，直线的方程为， ，， 又，得， ． 23．（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【详解】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 24．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2) (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）求出，利用相关点法求轨迹方程； （2）推出为等差数列，求出，利用裂项相消法求和； （3）先求出切点坐标，联立求出与点坐标，由对称性可得在轴上，根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 25．（2026·云南昆明·模拟预测）已知曲线上任意一点到直线的距离是该点到点的距离的两倍. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知A，B，C三点均在上， （i）若直线AC过点，直线BC过点，记直线AC，AB，BC的斜率分别为，，且满足成等差数列，求点的坐标； （ii）若的重心是坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题设点到直线与定点的距离关系列等式，平方化简后得到椭圆标准方程. （2）（i）用点坐标表示，结合等差数列条件，联立直线与椭圆方程求坐标，计算后代入条件解方程得点坐标.（ii）分直线斜率存在与不存在两种情况，利用重心坐标公式、弦长公式和点到直线的距离公式计算面积，最终得面积为. 【详解】（1）由题意知，设曲线上任意一点的坐标为， 所以，即， 所以曲线的轨迹方程为. （2）（i）设，则， 设 其中， 由，消去，得 ， 则， 从而， 同理可得， 则 ， 由成等差数列，得，即， 解得，或（舍），或（舍）， 相应的，所以点的坐标为. （ii）设， 当直线AB的斜率不存在时，易得，直线AB的方程是， 或，直线AB的方程为. 将代入椭圆方程，可得， 所以的面积. 当直线AB的斜率存在时， 根据重心的性质可得AB的中点， 由两式相减并化简得， 即，， 所以直线AB的方程为， 即. 令，可得直线AB在轴上的截距为，则 将代入椭圆方程可得， 即，则， 所以， 所以， 设坐标原点为，因为是的重心，所以， 所以的面积是. 26．（2026·湖北·二模）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设半椭圆的方程为，结合题意，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设点到直线的距离为，根据题意，求得，得到点落在直线上，联立方程组，求得点的坐标，进而求得的方程； （3）根据题意，转化为，设直线，联立方程组，分别求得的坐标，以及的横坐标，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设半椭圆的方程为， 因为半椭圆与轴正半轴的交点为，可得， 又因为椭圆的离心率为，可得，即， 因为，即，解得， 所以半椭圆的标准方程为. （2）设点到直线的距离为， 由点，可得直线的方程为，且， 因为若的面积为1，可得，解得， 设点落在直线时，则，解得或， 此时或， 当时，联立方程组，其中， 整理得，此时，不符合题意，舍去； 当时，联立方程组，其中， 整理得，解得或，此时点或， 所以的方程为或. （3）由， 因为，可得所以， 设直线，不妨设点在点的右边， 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时； 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时 所以直线，直线 联立方程组，可得， 联立方程组，可得， 则 因为 当且仅当即时，等号成立，所以. 27．（2026·甘肃金昌·三模）已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是定点 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点代入求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合即已知条件求出的范围，设出，坐标，利用两点间距离公式即韦达定理得到，进一步求范围即可. （ⅱ）直线方程与联立，求出点坐标，直线方程与联立，求出点坐标，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）设的半焦距为，离心率，，所以，． 又点在上，所以，所以， 所以，，的方程是． （2）（ⅰ）设斜率为的直线的方程是． 由不在上，知，所以， 联立，消去化简得． 则判别式，解得，所以． 设点，，则由韦达定理得，． 所以由弦长公式，得 ． 因为，所以，所以， 所以，所以． 所以弦长的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ），， 直线的方程为，直线的方程与联立，解得． 直线的方程为，直线的方程与联立，解得， 所以的中点的坐标为， 因为直线的方程为，，，，， 所以 ， 所以的中点是定点． 28．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）4 【分析】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线的方程，再联立计算斜率乘积得出，最后应用定点得出距离的最大值. 【详解】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 29．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）根据离心率及上顶点坐标求解即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到点坐标，同理设出直线的方程，求出点坐标，设出方程，将点、点代入，得到，是方程的两根，结合韦达定理证明即可. （3）利用三角形相似得到，设出直线，，的倾斜角，判断之间的关系，结合韦达定理进一步求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为上顶点为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为． 联立直线与双曲线方程，整理得， 解得，所以，所以， 设直线的方程为， 因为，则有， 整理得，同理可得， 所以，是方程的两根，所以. （3）假设存在使得，所以， 设直线，的倾斜角分别为，，直线的倾斜角为， 当时， 则，所以， 又，是方程的两根，则，， 所以， 所以，整理得，即，解得． 当时，结合对称性同理可得，，满足条件． 故存在直线使得，此时． 30．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得解； （2）①设直线方程为，将其与抛物线方程联立，设，由斜率之和为，结合韦达定理可证明结论； ②由于轴，则，进而化简求最值. 【详解】（1）根据题意，将点代入抛物线方程， 得，所以抛物线C：， 则，由于，则， 所以； （2）①设，直线的方程为， 所以， 联立，消去并化简得：， 所以，， 所以， 即， 所以，所以， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点，该点坐标为； ②由，，可得轴，且， 联立与，并令，得， 则，且由得， 由，即， 得， 由于得，且， 则的面积 ， 而 ， 由于，得，而即， 即，所以，且，则且， 由于在单调递减，在单调递增， 所以，当，当， 当， 故面积S的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $