01 三角函数与解三角形(30题)备战2026届高考数学考前一个月(解答题每日一题)

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形，以30题分阶训练构建“定理应用—综合拓展”体系，强化边与角互化的数学思维，提升用数学语言解决复杂问题的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常用公式|3个核心定理|梳理定理表述、符号及作用|余弦定理、正弦定理（边与角互化）→面积公式（应用拓展）| |基础通关练|10题|三角函数图像变换、周期、简单解三角形|从单一公式应用到基础综合，巩固概念生成| |中档提升练|10题|中线、角平分线、周长范围|结合几何元素，深化定理推导与变式应用| |冲刺满分练|10题|四边形综合、动点问题、多问递进|复杂情境下知识迁移，发展逻辑推理与创新意识|

01 三角函数与解三角形（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 基础通关练 1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知的最大值为3. (1)求常数的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的最值求解即可. （2）根据图形的平移变换得到的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】（1） . 又，所以的最大值为， 所以，解得. （2）由（1）知，. 函数的图象向右平移个单位长度得到. 再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以. 令，，则，， 所以的单调递增区间为. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． （2）函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 【答案】(1) 0 0 2 0 0 (2) 【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可； （2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到，最后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）根据表中已知数据，解得， 因为，所以解得，， 数据补全如下表： 0 0 2 0 0 函数表达式为； （2）由（1）知， 将函数的图象向左平移个单位后得到 ， 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 若图象的一个对称中心为， ， 解得，， 由可知，当时，， 因此； 因为，所以， 故在上的值域为. 4．（2026·四川成都·三模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． 【详解】（1）解：， 利用正弦定理：， 整理得：， 由于， 所以，因为，所以； （2），， ，即， 解得（负值已舍去），则， . 5．（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【详解】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 6．（2026·云南昆明·二模）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 7．（2026·河北邢台·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． （2）． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 8．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 10．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 中档提升练 11．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求； (2)中，若构成等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，根据正弦函数的图象确定的值； （2）先求出角，代入已知条件，由角的关系得出，利用二倍角公式求解. 【详解】（1）， 或， 又， （2）因为在中，构成等差数列， 则，结合，可得， ， ，， ， ． 12．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 14．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式求出，再由同角三角函数关系得，接着利用正弦定理求出，最后根据正弦定理化简并计算； （2）先利用余弦定理求出的值，进而得到的值，再根据平行线性质得到等腰三角形及与的关系，最后利用三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角，所以，所以， 所以； 因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以， 所以由正弦定理得； （2）由余弦定理得，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的面积. 15．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 16．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 17．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得； （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角，分别计算，，，代入向量夹角的计算公式可得. 【详解】（1）由余弦定理知， 化简得，，所以． 又因为，所以． （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角. 是的中点，得， 由是中点，得. 所以. 由，得. 所以， ， . 故． 18．（2026·山东青岛·三模）记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）充分性：要证若则，可利用正弦定理、正弦函数性质结合三角形内角的范围进行推导；必要性：要证若则，可利用余弦定理，结合三角形内角的范围以及三边关系进行推导； （2）因为，所以先将转化为，再利用三角恒等变换将式子化为只含一个角，最后根据三角函数的单调性求最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，. 若，因为，， 若，在单调递增，故； 若，则，， 因此，即，得，充分性成立， 反之，若，由余弦定理得， ，，，，； ，即； ，，在上单调递减，. 综上所述，“”是“”的充要条件. （2），，即. 又，，即，； ，，，，即； 当时，， 此时，. 令，； 则； 令，得，即或； ，，即； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，取得最大值，即. 的最大值为. 19．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 20．（2026·河南商丘·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的值以及的面积； (2)已知点在线段上，若，且，求的值. 【答案】(1)4，2 (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，从而求得，，再由余弦定理求边的值，利用面积公式求解即可； （2）由两角和差公式可得，在和中，由正弦定理得，由向量的线性运算可得，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， 故. 因为，，所以， 则， 故，， 所以， . （2）如图，，    故. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 又因为， 所以， 故， 所以. 所以, 所以, 因为， 所以, 所以. ‌冲刺满分练 21．（2026·广东汕头·二模）函数在的大致图象如图所示，将曲线向右平移个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)设，解不等式； (3)设，若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)通过观察函数图像经过特殊点，结合单调性求解出，再通过平移、伸缩变换求出函数的解析式； (2)通过对不等式进行化简转化为求解三角函数不等式； (3)使用和差化积公式转化为两个函数的积，再通过余弦函数的有界性求解问题. 【详解】（1）解：由函数图象可知， 又因为附近函数单调递增， 所以，解得， 故， 所以，. （2）, , 即 化简，得 因为恒成立， 所以，, 又， 解得，，或， 所以，，或 解集为 （3）即 , 运用和差化积公式化简，得 ， 即 因为， 由于时，，不满足题意，故， 所以，，故 由，可得, ，解得， 的取值范围是 22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再通过已知的及和角公式求出角的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于的方程求解； （2）由已求得的角用余弦定理消去，将用表示，进而构造出周长关于的函数；利用基本不等式求得的值. 【详解】（1）依题意有即 又由余弦定理有 又为中内角 又而 因为的面积为， 在中， （2）由（1）知． 设周长为，则 令， 当且仅当时周长取最小值． 故当周长最小时． 23．（2026·河北张家口·二模）在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 方法一：由余弦定理化简得，两边同乘，结合正弦定理化简即可证明结论； 方法二：结合正弦定理将问题转化为证明，利用和差化积和二倍角公式，即可证明结论； （2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时，，一般情况： 由，利用向量数量积的几何定义即可证明； 方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含的项，化简为左侧形式即可 【详解】（1）方法一：由余弦定理得，， 所以， 即， 两边同乘，得， 由正弦定理可得， 所以． 方法二：由正弦定理可知，要证， 只需证， 又因为 ， 所以，得证． （2）方法一：当点都位于点时，，等式显然成立． 当点不同时位于点时， ， ， ， ， 所以，又， 即． 方法二：展开等式右边， ， 易知，又由正弦定理可知，， 所以， 即． 24．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 25．（2026·河北沧州·二模）已知在中，D是边上一点，是的平分线，且． (1)求； (2)设当λ为何值时，取得最大值? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，结合正弦定理可得，再利用构建方程，解得，进而可求； （2）利用余弦定理，分别求出，进而得到，再令，利用基本不等式得到最值即可． 【详解】（1），， ，，则， 设的内角所对的边分别为，则由正弦定理得， 又是的平分线，， 又，， ， 即， 即， ，解得， （2）如图， ，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ， 令，则，， ， 当且仅当，即时取等， 所以当时，取得最大值． 26．（2026·四川广安·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且，记． (1)若，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）首先化简的表达式，根据角的关系转化为角的三角函数，确定角的范围，进而求出的最小值； （2）首先将的表达式转化为边的比值，根据，确定，求出，然后根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围. 【详解】（1） 因为，则， 又因为，所以， 所以， 所以， 当取最大值时，取得最小值， 因为，所以， 故当时，取得最小值． （2）由， 因为，所以， 因为，则， 即，； 又， 化简得， 两边同除以，得， 即， 则，解得； 所以的取值范围为. 27．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【详解】（1）设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. （2）在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 28．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 29．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式； （2）（ⅰ）建立坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩，并注意取等条件. （ⅱ）注意上一问的取等条件，然后求出点的坐标，代入运算即可. 【详解】（1）在中，因为，所以，代入得到， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得， 又，， 所以 （2）（i）因为，所以，所以 如图，建立平面直角坐标系 此时， 设， 因为，所以 设， 代入得， 整理得，解得 ，当且仅当取得等号 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得，所以 30．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2)18 (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，化简得出的值，进而求得角； （2）由角平分线性质及面积关系推出​，由“1”的代换将变形，运用基本不等式求出其最小值； （3）先由推出，设，在两个三角形中用正弦定理联立，推导出，再通过辅助角法求该三角函数的最大值，进而得到的最大值. 【详解】（1）由题，利用正弦定理可得， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以为角的平分线， 因为，可得， 又为角平分线，可得， 所以，所以， 故， 由及可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为18. （3）因为，即， 所以，可得， 设，在和中，利用正弦定理可得， 两式联立可得，，即，即， 则，即， 则， 因为，则令， 则，其中，所以为锐角， 则，得，当时，化简得， 因为，则，则，所以， 故当，即时，有最大值，此时，故的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 三角函数与解三角形（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 基础通关练 1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知的最大值为3. (1)求常数的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 4．（2026·四川成都·三模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 5．（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 6．（2026·云南昆明·二模）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求. 7．（2026·河北邢台·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 8．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 10．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 中档提升练 11．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求； (2)中，若构成等差数列，且，求． 12．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 14．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 15．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 16．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 17．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 18．（2026·山东青岛·三模）记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； (2)求的最大值. 19．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 20．（2026·河南商丘·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的值以及的面积； (2)已知点在线段上，若，且，求的值. ‌冲刺满分练 21．（2026·广东汕头·二模）函数在的大致图象如图所示，将曲线向右平移个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)设，解不等式； (3)设，若关于的方程有解，求的取值范围. 22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 23．（2026·河北张家口·二模）在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． (1)证明：； (2)证明：． 24．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 25．（2026·河北沧州·二模）已知在中，D是边上一点，是的平分线，且． (1)求； (2)设当λ为何值时，取得最大值? 26．（2026·四川广安·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且，记． (1)若，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 27．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 28．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 29．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 30．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $