精品解析：江苏连云港市灌南县2025-2026学年度第二学期期中调研考试高一数学试题

2025～2026学年度第二学期期中调研考试 高一数学试题 注意事项：1．考试时间120分钟，试卷总分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. i D. 3. 若，则 A. B. C. D. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列式子正确的是（ ） A. B. 已知，，则 C. D. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 13. __________. 14. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求： （1）与的夹角的余弦值； （2）与的夹角的余弦值． 16. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 17. 已知，，. （1）求的值. （2）求的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求的最大值； （2）若为钝角，求： （ⅰ）m的取值范围； （ⅱ）的取值范围． 参考公式：； ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中调研考试 高一数学试题 注意事项：1．考试时间120分钟，试卷总分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 因为，所以与的夹角为. 2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 因为复数（）是纯虚数，所以，解得， 所以，即，故z的共轭复数的虚部为. 3. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 5. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切化弦，再结合展开式求出和，最后利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】由题意，因为，， 则，解得， 由余弦差角公式：. 因为，所以，即 所以. 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理，由题中条件，得到，再由三角形有两个解，得到，从而可求出结果. 【详解】因为，， 由正弦定理可得，所以， 又满足题意的三角形有两个，所以只需，即， 解得. 故选：C. 7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论结合已知条件可得，，从而可得，求出可得答案 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B 8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】由题意可知， 所以，又， 所以，则， 所以 ， 因为，解得. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的运算逐项判断可得. 【详解】设 ， 对于A，有 ，正确； 对于B，若 ，则有 ， 比如 ，则有 ，但 ，错误； 对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ， 则 ， 代入①，整理得 ，故 ， ； 若 ，则 或 ，若 代入①得 ， 若 代入①得 ， 综上，C 正确； 对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ， 比如 ，则 ， ，错误； 10. 下列式子正确的是（ ） A. B. 已知，，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：根据辅助角公式即可求解；对B：根据二倍角正弦、二倍角余弦公式即可求解；对C：利用二倍角正切公式即可求解；对D：根据正切和角公式即可求解. 【详解】选项A：，A选项正确； 选项B：，所以， 则， 代入得，B选项错误； 选项C：因为， 所以，C选项正确； 选项D：因为， 所以，D选项错误. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的. 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】由得， 所以，所以，所以. 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用展开计算即可 【详解】. 故答案为：. 14. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以在上的投影向量为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求： （1）与的夹角的余弦值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律及向量夹角的计算公式可得； （2）分别计算出，再根据夹角的计算公式求解. 【小问1详解】 ，． 又，，解得． ，. 【小问2详解】 由（1）可得， ． ． 与的夹角的余弦值为． 16. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】（1）2（2）5 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解； （2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长． 【详解】（1）∵， ∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC， 可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA， ∴2． （2）∵由（1）可得sinC＝2sinA， ∴由正弦定理可得c＝2a，① ∵cosB，△ABC的面积为， ∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，② ∴由①②可得a＝1，c＝2， ∴由余弦定理可得b2， ∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17. 已知，，. （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案. 【详解】（1）因为，所以. （2），， ， ，， . 又， ， . 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理，， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，， 可得，解得， 由正弦定理，则， ，，， ； 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，，则，则. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求的最大值； （2）若为钝角，求： （ⅰ）m的取值范围； （ⅱ）的取值范围． 参考公式：； ； 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意结合余弦定理，可得，从而得的最大值； （2）由为钝角，得，结合，分离参数，利用基本不等式可得的取值范围；利用参考公式，将化为的函数，由的取值范围即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 因为，所以，则的最大值为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为钝角，即存在，，使得，即， 即，成立； 因为（当且仅当时，取等号），所以. 又，所以，即. （ⅱ）因为，所以， 则， 因为， 所以， 所以， 则， ， 所以. 所以， 因为，所以，所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $