精品解析：江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期4月期中调研考试数学试题

灌南县2024~2025学年第二学期期中调研考试 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及模长公式即可求解. 【详解】, 所以， 故选：D 2. 在中，为边上的高，垂足在边上，，，设及的面积分别为、，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形中借助于三角函数的定义，用表示边，由和二倍角公式等价转化，求得，利用同角关系构造分母将其转化成关于正切的不等式，求解即得. 【详解】 如图，在中，由，可得， 由，可得， 在中，由，可得. 则， 因，则，，则得， 即，解得，即， 也即，解得，则， 又，则，故的取值范围为. 故选：A. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知， , 则. 故选：B 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值． 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 6. 如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为的三等分点且靠近点， 则 为的中点，． 故选：D． 7. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 8. ，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，，，再比较大小得到答案. 【详解】因为 ， 又， 故； 又， 所以； 综上所述：. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和差公式、二倍角公式依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD. 10. 已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，且 C. 若是实数，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，由复数模的几何意义判断，对于C，举例判断，对于D，利用复数的运算性质和模的运算进行判断 【详解】对于A，若，则，而此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以，且，所以B正确， 对于C，若，则，而此时，所以C错误， 对于D，设，则 ， 所以， 因为， 所以，所以D正确， 故选：BD 11. 对于，其内角，，所对的边分别为，，.有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 记面积为.若，，则必是正三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理即可判断A，画图即可判断B，由正弦函数的单调性即可判断C，由正弦定理的边角互化代入计算，结合三角形的面积公式即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 故，由余弦定理可得， 即为钝角，所以为钝角三角形，故A错误； 对于B，如图所示， 若有两解，则，解得，B正确； 对于C，因为为锐角三角形，所以，即， 且，则，则， 因为在上单调递增，所以， 即，故C正确； 对于D，由正弦定理可得，而且， 所以，又，可得， 所以，故， 而，又， 所以，故，，可得， 综上，为正三角形，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以的周长为． 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由、，结合和差角余弦公式可得，从而得到，由此得解. 【详解】， ， 所以， 由于， 所以， 故，则. 故答案为： 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，向量，.若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. （2）已知点，，.求点到直线的距离. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况； （2）根据点到直线的距离为计算即可. 【详解】（1）由题知，，， 若向量与的夹角为锐角， 由得，，.解得. 又由(1)知，当时，向量与平行. 所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为. （2）依题意，， ， 因为， 又，所以； 点A到直线BC的距离为 ． 16. 在中，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由同角的三角函数关系求出余弦值，再利用二倍角公式化简所求式代入求解即可； （2）根据角的正弦值和角的范围，确定角的范围，求出其余弦值，再利用和角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 因，，则， 则 ； 【小问2详解】 由，且，结合正弦函数的图象，可得， 又由，，结合正弦函数的图象，可得或， 当时，，显然不合题意，故， 则， 于是 . 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答. （2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得：， 整理得，由余弦定理得：，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由正弦定理得：， 则，而，令， 在锐角中，，解得，， 于是得，则， 所以周长的取值范围是. 18. 已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且. （1）求角的大小； （2）若点在边上，平分，.试求长的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标公式计算，逆用和角的余弦公式化简，结合锐角三角形，即可求得角； （2）设，利用余弦定理和面积相等求出，通过两次换元，最后根据二次函数的性质即可求得长的最大值. 【小问1详解】 因，则 ， 因为锐角三角形，则，，故. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 则得①， 设，因，可得， 整理得：，令， 设，由①可得，，解得， 当且仅当时等号成立，故，则， 再令，则，， 故当时，取得最小值， 此时取得最大值为9，即长的最大值为3. 19. 已知中，，向量在上的投影向量为，为外接圆上一点，与线段交于点. （1）若，求； （2）设.（单位：弧度） （i）试用的函数表示； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用投影向量计算得出，再利用表示向量即可； （2）（i）先利用，得出，再根据余弦定理得出，则在中可求； （ii）利用表示，利用数量积的运算律展开，再结合数量积的定义展开，然后利用二倍角公式、辅助角公式化简，最后利用三角函数求值域. 【小问1详解】 向因量在上的投影向量为，且， 则， 因，则， 则 【小问2详解】 （i）由（1）可知，则， 因，则，即， 在中利用余弦定理可得， 则，即，则， 因，则， 则在中， （ii） ， 因，则，则， 则， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南县2024~2025学年第二学期期中调研考试 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，为边上的高，垂足在边上，，，设及的面积分别为、，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. ，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，且 C. 若是实数，则 D. 若，则 11. 对于，其内角，，所对的边分别为，，.有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 记面积为.若，，则必是正三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________． 13. 已知，则__________. 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，向量，.若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. （2）已知点，，.求点到直线的距离. 16. 在中，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18. 已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且. （1）求角的大小； （2）若点在边上，平分，.试求长的最大值. 19. 已知中，，向量在上的投影向量为，为外接圆上一点，与线段交于点. （1）若，求； （2）设.（单位：弧度） （i）试用的函数表示； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $