河南安阳市2026届高三下学期5月学情自测数学试题

**基本信息** 安阳市高三三模数学卷覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题融合抛物线轨迹与切线证明、数列与概率应用，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型观念），适配高考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、椭圆、复数等基础|注重概念辨析，如周期函数判断| |多选|3/18|函数性质、概率事件|考查逻辑推理，如函数周期与零点比较| |填空|3/15|切线方程、外接球、向量递推|强调空间观念，如正四棱台外接球计算| |解答|5/77|解三角形、立体几何、数列、导数、抛物线|综合创新，如抛物线轨迹与切线证明（数学思维）、数列与概率结合（数学语言）|

2026年5月6日17：00解密 2 【一干及绮乐不叶【二 数学·答案 2 2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.一 0 6 年 1.答案 B 年5月 26年 月 命题透析本题考查集合的表示与运算 月 6 6 日 日 20 2.答案C 00 命题透析 本题考查椭圆的几何性质。 密 0解密 解析由已知得2vVG-7-受，解得a=-22 3.答案A 命题透析本题考查复数的运算 解析由题意知子-+1=0，则：=止三=之±，所以：=1 2 4.答案B 命题透析本题考查等比数列的运算性质 解析设公比为9，由题意知a1(1+g2+g)=8,1(1+g+g)=2,两式相除得a1a,=4=G,又等比数列中所 2 2 0 2 有奇数项的符号相同，故a3=2. 0 2 5.答案A 年 年 5 命题透析本题考查函数的性质，充分条件与必要条件的判断 5 月 月 6 6 日 解析由)≤3”≤1，解得-2≤m≤0.9等价于2m≤x-在[1,4]上恒成立，易知y=x-在[1,4]上单调 日 17 17 递增，当x=1时，ym=0,所以2m≤0，即m≤0.综上，P是q的充分不必要条件. 00 00 6.答案C 密 譬 命题透析本题考查三角函数的周期性。 解析容易验证y=sinlsinx,y=cosl cos x1,y=cos(coslxI)均以T为周期，而sinlx|是偶函数但不是周期函 数，故y=sin(sinlxl)不是周期函数. 7.答案D 命题透析本题考查计数原理的应用. 解析先不区分同类型的任务，相当于穿插排列3个A,2个B和1个C,则需要用B和C把3个A分开，可以 一1 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 为ABABAC或BABACA或ABCABA或ABABCA,前两种情况下，C可以与任意一个B交换位置，后两种情况下， 相邻的BC可互换位置，因此不同的排列方法有10种.再考虑同类型任务内部的顺序，可知不同的任务执行顺 序共有10A3A2=120种 8.答案C 2 2 0 命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系. 2 6 解析如图，IBA1+1AFI=IBA1+2a,根据双曲线的定义，得IBF1I=IBF2I+2a,因为|BA1=IBF2I,所以IBA1+ 26 年 年 IAFI=BFI,故B,A,F三点共线.因为S△A2=4S△A0r2=2S△A12,所以IBA1=21AFI=4a,所以IBF,1= 4a,又|AF2I=IAF1I+2a=4a,所以△ABF2是等边三角形，所以∠F1AF2=120°.在△F,AF2中，由余弦定理得 月 6 6 17 (2a)2+(4a)2-2×2a×4acos120°=(2c)2,整理得c2=7a2,故离心率e=C=7. 日 17 00 00 密 譬 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案ABC 2 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 2 0 2 2 6 解析()=60(2：+子+受）=-sm(2x+）=-,可知A,B,C均正确，D错误 年 5 10.答案AD 5 月 命题透析本题考查相互独立事件与条件概率， 月 6 日 解析对于A,P()-1+2+3站5±6-7，故A正确： 36 17 00 譬 对于B,P(AB)=Cs+2C+C8=6=7,故B错误： 63 解密 对于C,易知P(4=P(B)=五，则P(A)P(B)≠P(AB),故C错误： 对于D,事件AC表示“a最小”，事件BC表示“c最大”，由对称性可知a最小的概率和c最大的概率相同，所 以P(AC)=P(BC),所以AC=PBC,即P(A1C)=P(B1C),故D正确， P(C)P(C) 11.答案ABD 命题透析本题考查三次函数的性质，导数的应用. -2 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 解析对于A,f(x)在R上单调递增，则f(x)仅有一个零点，所以a=b=a+b,得a=b=0,故A正确； 对于Bf(x+b)+f(b-x)=0,则f(x)的图象关于点(b,0)中心对称，则a,a+b关于b对称，即a+a+b=2b, 得b=2a,所以f(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a),所以f3a)=0,故B正确； 对于C,若a=b≠0，则f(x)=(x-a)2(x-2a),f'(x)=(x-a)(3x-5a),则f(x)有两个极值点x=a和x= 2 2 0 0 2 号，当a>0时x-是极小值点，当a<0时，-号是极大值点，放C错误 2 6 年 对于D,根据题意，f(x)在(0,2)和(2,4)内各有一个变号零点，不妨设a>b,则1a-b1=a-b,f(x)的三个零点 年 U 月 0<b<2, rb<0, 月 6 6 日 的分布只有两种情况：①2<a<4,→a-b∈(0,4)，②0<a+b<2,→a-b=2a-(a+b)∈(2,8)，于是a- 日 17 la+b>4 2<a<4 17 00 b∈（0,8)，故D正确. 00 密 密 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案1 命题透析本题考查导数的几何意义， 解析由题意，得y=c…-,设切点为(x,1),则e0-·-1=0,e0-·-ln=1,两式相减，得上-n0= 1,因为函数)=-1hx在(0，+m)上单调递减，又f1)=1,所以=1，从而。-·-片=0，得a=1. 13.答案35π 命题透析本题考查多面体与球的综合 2 2 0 解析设正四棱台的高为h,则（√2）2+2=（√14）2，得h=2√5.设外接球半径为R,易知外接球球心位于正 0 2 2 6 四棱台的对称轴上，设其与下底面的距离为，则2+(2万)2=(2,5-)2+（万）2=心，可得R-,则外 6 年 年 5 月 接球的表面积为4πR2=35π. 月 14.答案55 日 日 命题透析本题考查平面向量的综合运算 00 00 解析整理关系式得an+1 密 _a,a1+la1a,若设a,=0,则A-1,A,A共线，且0A是∠A10A, la,I+la-11 密 g财时以-学-子·号-心产-号 2大 1 1+2 号×1-(-2]，当一+时，L40A,→号如图，设乙A0h=号，则线段0A,在01两侧左有摇摆。 且越来越接近0H,要使1a,1逐项递减，则需0H⊥A,A,.设0H=h,则c0s9-,cos29=h,则h=2× 3=3,c0s 33636 一3 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 -1,解得h=6(负值舍去)，1a1-a2l=A42=√(36)2-（√6）2+√32-(6)2=53. A H A 2 0 0 26 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 26 年 年 15.命题透析本题考查解三角形. 月 月 6 解析（1)由2a+c=3 acos B+b和正弦定理，得2sinA+sinC=3 sin Acos B+sinB,…(2分) 日 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 17 17 00 代人整理，得2sinA(1-cosB)=sinB(1-cosA). (4分) 00 密 所以2sm4ir号=inn2子，即2nw分n号=sn号ws号 2 2 蟹 血号>0，得2sn号=ms号m号-2 由sinA, B.A B 2 (6分) (2)由△ABC是锐角三角形，血B=写，得coB=子 (7分) 代入已知条件得2a+c=2a+b,所以b=c,即B=C,… …(8分) 此时simA=sin(T-2B)=sin2B=2 2sin Bcos B=45 9 ………(9分) sin A"sinB得6=3. 由正弦定理得.a b (11分) 2 故saw=7snG=号x4x3x 3 =25. (13分) 2 0 0 2 16.命题透析本题考查垂直关系的证明，利用空间向量计算二面角的正弦值. 2 6 年 解析(1)设B,D1与A,C1交于点M,则M是AC1的中点. 年 5 月 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，易知AB1∥C1D, 月 日 因为A1C1⊥C1D,故A1C1⊥AB1.… (2分) 日 17 又A1C1⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,故A1C1⊥平面AB1D1, (4分) 0 又AMC平面ABD1,故A1C1⊥AM,… (5分) 00 密 即AM是A1C1的中垂线，所以AA1=AC1 ……… (6分) 蟹 D (2)因为AB1=AD1,所以AM⊥B,D1,又AM⊥A1C,A1C1∩BD1=M,所以AM⊥平面AB,C,D,即AM⊥平面 -4 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 ABCD. 以A为坐标原点，AB,AD,AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.…(7分) 因为AB1=AD1=2,B,D1=22,所以AM=√2，AB=AD=2, 则A(0,0,0),D(0,2,0),M(0,0,W2),C(1,1,N2),A1(-1,-1,2). (8分) 2 2 2 所以AC=(1,1,N2),A4=(-1,-1,N2),Ai=(0,2,0).… (9分) 0 2 设平面A14C1的法向量为n=（x,y,z), 年 年 月 AA1·n=0,「-x-y+2z=0, 5 6 则 即 取n=(1,-1,0).… (11分) 日 AC·n=0,x+y+2z=0, 日 17 同理可得平面ACD的一个法向量为m=(2,0,-1).… e...e.... (12分) 00 00 密 因为cos(n,m）=1mi.1m=2x5 n·m 3 (14分) 蟹 故二面角A,-AC,-D的正弦值为1-（ (15分) 17.命题透析本题考查递推数列、数列与随机变量的综合. 解析（1)当n=1时，S1=a1=2a1-1,得a1=1.… (1分) 当n≥2时，由Sn=2an-1,Sm-1=2an-1-1, 作差得an=2an-2an-1,即an=2am-1 (3分) 所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 放0，=2-1.…(5分) (2)随机变量X的所有可能取值为1,2，…，m, 2 0 因为抽到a的概率与a,的值成正比，所以设P(X=k)=入a, 2 2 1 根据随机变量的性质，得Aa1+Aa2+…+Aam=1,所以入= 年 a1+a2+…+amSn) 年 5 月 即P(X=k)= 月 Sn (8分) 6 日 2-1 由(（1)知5.=2a-1-2-1,所以PX=-是-2（k=1,2,,m) 17 00 00 密 所议()=公x=)=2x1公42 (10分) 譬 设Tm=1·2°+2·2}+3.22+…+m·2m-1 则2Tn=1·2+2·22+…+(m-1)…2-1+m·2", 两式相减得：-Tm=(1+2+…+2m-1)-m·2m=2m-1-m·2m, 所以Tm=(m-1)2+1.…(14分) 故E(X)=m-1)2"+1 2m-1 (15分) -5— 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)由已知，得f(x)=-1-(1-n-6 2x x2 所以了()=一之-a-6,由题意知切线的斜率为分，即-之-a-b=弓，所以a+6=-1…(3分) 2 2 2 2)当6=0时)店-h)=2-a1h-22-2 0 2}1 2x2 2 6 年 年 令t=√x,分子为g(t)=4alnt-t-2a, 5 月 当a<0时，g(t)在(0，+o)上单调递减，g(e)=2a-e<0,且当t0+时，g(t)→+∞，所以g(t)存在唯一变 月 6 日 号零点，所以f(x)仅有一个极值点。… …(5分) 日 17 17 当a=0时f'(x)=0无解，f(x)无极值点；… (6分) 00 00 当a>0时，g()=4-1,令g()=0,得t=4a,可得g()在(0,4a)上单调递增，在(4a,+0)上单调递减， 密 t 密 e2 所以g(t)max=g(4a)=4aln(4a）-6a,令4aln(4a）-6a=0,得a= 4 若0<-享则利5)0因单调福说，无套值点：传分列 若a>2,则g(4)>0,又当t0*或一→+∞时，g(d)→-∞，所以g(6)有两个变号零点，所以f(x)有两 值点 *……… (9分) 综上：当a<0时仅有一个极值点；当0≤a≤2时，)没有极值点，当a正 4时x)有两个极值点. (10分) 2 (3)当6=牙时，曲到=0，得医-a血+子 =0,“ (11分) 2 0 0 2 2 6 令1=G,得1-2an1+号=0，当u≤0时，此方程至多有-个根，不符合题意，所以a>0 年 年 5 月 设u=立>0，方程化为u-2nu=2na-a (12分) a 4 月 日 日 设40<4<，)是方程a-2=2na-学的两个根，则字=（经广=（径） ,目标为使最大 u 00 设h(u)=u-2nu,则'(u)=1-2, 00 密 鐾 可知(w在(0,2)上单调递减，在(2，+0)上单调递增，则山<2<，且山1随21血a-4的增大而减小，山随 2na-子的增大而增大，故学随2ha-子的增大而增大，则目标转化为使2血a-4最大 …(15分) 设9(a）=2血a-子则p(）=名-子，分析单调性可知p(o)在a=8处散得最大值 因此，当2取最大值时，=8. (17分) 一6— 2026年5月6日17：00解密 2026年5月6日17：00解密 19.命题透析本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系. 解析(1)当=1时，%=2 由抛物线的定义知IPF1=%+号=} 22+2=6,四 (2分) 2 2 解得p=号或号，故E:2=y或2=号 (4分) 0 2 2 年 (2)（i)当p>1时，E:x2=9y 年 设P(9a,9a2),Q(9b,9b2),R(9c,9c2). 5 月 6 设△PQR的中心的坐标为(x,y),则x=3a+3b+3c,y=3a2+362+3c2. (5分) 日 17 由1PRI=1QR1,得(c-a)2+(c2-a2)2=(c-b)2+(c2-b2)2, : 00 整理可得(a+b)(2c2-a2-b2)+(2c-a-b)=0. (6分) 00 密 同理，(b+c)(2a2-b2-c2)+(2a-b-c)=0. 蟹 两式相减，整理得3(a+b+c)2-(a2+b2+c2)+6=0, (8分) 所以3×)-子+6=0， 整理得C的方程为x2=y-18. (10分) (i)由已知得E的准线方程为y=-是，设A0,-子) E的方程写为y=号求导得y=弓，设A(名X),B(）, 则点A,B处的切线方程分别为y-为=弓(x-),y-⅓=子，(x-), 2 2 2 9x1x-y=1,9x-y=2,将H的坐标代人， 2 0 2 2 2 年 9米t+ 4=y1, 得 所以直线AB的方程为y=2x 9 年 2 9t+ 4 (13分) 月 (9t+ 4=2, 月 日 同理，可得直线MN:y=2xx1-y1+36,直线ST:y=2xx2-y2+36.…(15分) 1 00 24纵坐标y= 联立解得交点横坐标x=,力、 分，-%+36=-号+36=185 00 故交点在定直线y-经上 蟹 (17分) —7 2026年5月6日17：00解密 安阳市高三年级毕业班第三次模拟考试 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合，则中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知椭圆的焦距为，则（ ） A.2 B. C. D. 3.已知复数满足，则（ ） A.1 B. C. D.2 4.已知等比数列满足，则（ ） A. B.2 C. D.4 5.设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列函数中，不是周期函数的是（ ） A. B. C. D. 7.某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A.60种 B.72种 C.96种 D.120种 8.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对于函数和，下列说法正确的是（ ） A.与有相同的最小正周期 B.与有相同的零点 C.与的图象有相同的对称轴 D.与有相同的单调递增区间 10.投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C.事件和相互独立 D. 11.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A.若在上单调递增，则 B.若，则 C.若，则的极小值点为 D.若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若是曲线的一条切线，则__________. 13.已知正四梭台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 14.设是一列向量，已知，当时，，若对任意的正整数恒成立，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在中，内角的对边分别为，已知. （1）证明：； （2）若是锐角三角形，，求的面积. 16.（15分） 如图，平行六面体的底面是正方形，. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17.（15分） 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 18.（17分） 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求； （2）当时，讨论的极值点个数； （3）若有两个零点，当取最大值时，求的值. 19.（17分） 已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. （1）求的方程. （2）若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $