江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.集合.则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势 B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃ C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大 D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 5. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 7. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ） A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28 10. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 11. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足，则________． 13. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为______.（用数字作答） 14. 将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值； 16. 如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，，平面平面是棱DF的中点. （1）证明：平面ABC. （2）证明：平面ABC. 17. 已知函数. （1）当，求的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方. 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. （1）证明：； （2）若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 19. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为. （1）求与； （2）求； （3）当时，求随机变量的数学期望. 江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）0 【16题答案】 【答案】（1）证明： 取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）证明： 因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以．因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，平面，平面， 且，平面， 所以平面． 【17题答案】 【答案】（1）在单调递减，在单调递增； （2）证明： ，又其过点，则，解得； 此时，定义域为，，又，， 故曲线在点处的切线的方程为：，即； 要证：除切点外，曲线在直线的下方， 即证：，也即，当且仅当时，取得等号； 令，定义域为，， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，取得极大值，也是最大值， 故，也即，当且仅当时，取得等号， 故除切点外，曲线在直线的下方，即证. 【18题答案】 【答案】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 在中，由余弦定理得: ，所以， 因为为中点，所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以 （2）. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $