精品解析：江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ） A. 25 B. 24 C. 23 D. 16 3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. 160 B. 240 C. 360 D. 800 6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知分别为随机事件的对立事件，，则（ ） A. B. C. 若互斥，则 D. 若，则独立 10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ） A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____． 13. 已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则__________. 14. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. （1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 16. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）求证：函数在上有且只有一个极值点． 17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 998 10.04 10.26 991 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中xi为抽取第i个零件的尺寸，. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，. 18. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点． （1）求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离； （2）求二面角的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角是60°． 19.