专题6.12 平面向量及其应用常考几何模型专训（10大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.12 平面向量及其应用常考几何模型专训 （10大题型+15道拓展培优题） 题型一 向量加法法则的几何应用 题型二 向量减法法则的几何应用 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 用基底表示向量 题型五 平面向量基本定理的应用 题型六 平面向量共线定理证明点共线问题 题型七 向量在几何中的其他应用 题型八 距离测量问题 题型九 高度测量问题 题型十 角度测量问题 【经典例题一 向量加法法则的几何应用】 【例1】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据已知可得，.进而根据向量加法的多边形法则表示出，相加即可得出证明. 【详解】因为E，F分别是AD，BC中点， 所以，，. 因为，， 所以，. 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. 【答案】 【分析】连接CD，OD，用平面几何知识得到四边形ACDO为平行四边形，再利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：连接CD，OD，如图所示． ∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点， ∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°. 由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO. 由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴∠CDA＝∠DAO， ∴CD∥AO， ∴四边形ACDO为平行四边形， ∴. 2．如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出. 【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图： 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D， 则四边形ACBD为平行四边形， 所以就是小船在静水中的速度. 在中，，， ， ， ∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题. 3．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋=，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|. 【答案】,1 【详解】∵＋＝＋＝，∴＝，＝. ∴四边形ABCD为平行四边形． 又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形． ∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)， ∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形． ∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝. |＋|＝||＝||＝1. 【经典例题二 向量减法法则的几何应用】 【例2】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 1．如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向： （1）； （2）. 【答案】（1）大小为N，方向为东偏南15°；（2）大小为N，方向为东偏北75°. 【分析】根据平行四边形法则作出示意图，进而根据平面向量的加法法则和减法法则得到答案. 【详解】根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边形是正方形，如图所示. （1）如图，， ，所以的方向为东偏南15°. （2）如图，， ， 所以的方向为东偏北75°. 2．如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【答案】作图见解析 【分析】利用平行四边形法则和三角形法则作图即可得解. 【详解】方法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，，连接BC， 则．过点A作，且，连接，则， 所以． 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作，， 连接OB，则，再作，连接CB，则． 方法三：如图③，在平面内任取一点O，作，，连接OB， 则，再作，连接OC，则． 3．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【答案】作图见解析 【分析】方法一，首先利用平行四边形法则，作出，再利用向量减法，即可作出； 方法二，首先求得，利用相等向量进行转化，即可作出. 【详解】方法一　以为邻边作，连接，，    则，. 方法二　作    连接，则， 【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 【例3】如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【详解】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 1．如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可； （2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可； （3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可. 【详解】（1）如图，连接EF，∵G是的重心，∴．    又，∴由向量加法的三角形法则可知， ．在图中标出如图1.1-14所示． （2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点， 所以．在图中标出，如图所示． （3） ． 在图中标出，如图所示． 2．如图，四边形ABCD中，已知. （1）用，表示； （2）若，，用，表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据向量的加法运算求解出的表示； （2）根据以及已知条件可将表示为与的线性组合. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 3．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 【经典例题四 用基底表示向量】 【例4】如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 【答案】, 【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算用基底表示向量. 【详解】依题意，，则， 在中，，， ； . 1．如图，与分别是平面直角系中轴与轴正方向上的单位向量，点在第一象限内，与坐标原点的距离为，与轴的夹角为，又设是关于轴的对称点，把向量、表示成向量与的线性组合． 【答案】， 【分析】首先求出，，即可得到点坐标，从而表示出，再由点的对称得到点坐标，即可得到. 【详解】因为，则与轴的夹角为，所以，， 即， 又与分别是平面直角系中轴与轴正方向上的单位向量，所以， 因为是关于轴的对称点，所以， 所以. 2．如图，已知，求证：的三条中线相交于一点，且. 【答案】证明见解析 【分析】设，又设为上一点，且，运用定比分点向量公式即可证得，同理可证，即可证得结论. 【详解】证明：如图，在平面内任取一点，设， 又设为上一点，且，则 为中点，， ， 同样，若设，则可证得， ， 、、三点重合， 设交点为，则有. 3．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【详解】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 【经典例题五 平面向量基本定理的应用】 【例5】如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．    (1)试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由． (2)若，试用，表示，． 【答案】(1)相等向量，理由见解析 (2)， 【分析】（1）由题意可得：，根据平面几何的知识，结合向量相等分析判断； （2）根据题意结合向量的线性运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，分别为，的中点，所以， 所以与是相等向量. （2）由题意可得：； 因为，则， 所以. 1．如图，在中，分别是边上的动点.    (1)证明：； (2)当分别是边的中点时，用表示. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量共线的充要条件和向量的加法运算法则即可求证； （2）综合运用平面向量基本定理和向量的线性运算法则即可解答. 【详解】（1）因为分别是边上的动点， 所以存在 使， 所以. 令，则，因为，所以， 所以. （2）因为分别是边的中点， 所以，又，所以， 所以，所以，即， 所以. 故. 2．如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解； （2）根据条件，得到，再利用（1）结果，可得，代入数据化简得到答案. 【详解】（1）设，，因为， 故，整理得， 又，即，则①， 设，，又是的中点， 所以②， 联立①②，据平面向量其本定理得，解得，， 所以实数的值为. （2）因为， 又，则，得到， 由（1）知，又， 则. 3．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    【答案】 【分析】设，，表达出，同理设，，表达出，从而得到方程组，求出，得到，得到答案. 【详解】三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故，. 【经典例题六 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例6】如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算即可求解； （2）由平面向量线性运算得出，且有公共点，即可证明． 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，， 又， 所以． （2）证明：由（1）得，， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线． 1．如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得. （2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可. 【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得， 而，于是 又F是AC的中点，所以. （2）由（1）知，，因此， 即，而有公共点，所以B，E，F三点共线. 2．如图，在中，.设.    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. 【答案】(1)， (2)证明见解析，是的中点 【分析】（1）根据向量线性运算求得关于的表达式. （2）根据向量线性运算求得，由此证得三点共线，并确定点的位置. 【详解】（1）依题意，， .- （2）由， 又，所以， ，故三点共线，且是的中点.    3．如图，在中，已知，，，．    (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算，用基底表示出，根据共线定理可证； （2）设，结合（1）中结论表示出，再设，由平面向量基本定理列方程求出，然后可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，所以， 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以A，F，E三点共线. （2）记，则， 由（1）知， 由题知，A，F，E三点共线，记， 所以， 因为不共线，所以，解得， 所以，所以. 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 【例7】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 1．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    【答案】，理由见解析 【分析】根据向量基本定理得到，结合三点共线，求出，同理可证出，得到结论. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以， 设， 因为是的中点，所以， 故， 又因为三点共线， 可设，即， 即， 故，相加可得，解得， 故， 同理可证， 故可知为的三等分点， 故. 2．在等边中，，点为的中点，交于点. （1）证明：点为的中点； （2）若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）设，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得，即可求证； （2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解 【详解】（1）证明：设， 点为的中点， ， . ，，三点共线， ， ， 点为的中点. （2）由（1）知，. 设， ，，三点共线 ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 3．已知D，E，F分别为三边的中点.求证：相交于一点. 【答案】证明见解析. 【分析】设，直线交于点G，利用平面向量基本定理可得，所以G在中线上，即可得到答案； 【详解】设，直线交于点G.设， 则 ，又， 所以解得 则. 又因为，所以，所以G在中线上，所以相交于一点. 【经典例题八 距离测量问题】 【例8】如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 【答案】安全；理由见解析. 【分析】过点作，计算出即可得出结论. 【详解】过点作，垂足为.如图所示： 根据题意可知，， ， 且 故, , ， 故，即这轮船继续向正东方向航行安全. 1．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 【答案】 【分析】 根据几何图形，再结合正弦定理，即可求解. 【详解】 ， 因为，所以， 在△ABD中，，， 所以， 所以 在Rt△DBC中，. 所以C，D之间的距离为. 2．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离．    【答案】 【分析】在中，可得，，结合正弦定理，即可求解. 【详解】解：如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以， 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离是．    3．如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）    【答案】 【分析】在中，根据正弦定理求出，在中，根据正切求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 又，由正弦定理，得 . 在中，，， 则. 在中，由余弦定理，得 . 所以. 答：，两点之间的距离为. 【经典例题九 高度测量问题】 【例9】如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长； （2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得. 【详解】（1）由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B的距离为米； （2）在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，， 所以铁塔高为米. 1．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，，BC的距离比AC短40米．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°． (1)求A、C两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）设，则，从而在中，利用余弦定理求出x即可； （2）中，根据锐角三角函数定义求解可得. 【详解】（1）由题意，设，则 在中，由余弦定理，得， 即，解得 所以A、C两地间的距离为 （2）在中，，， 所以 即该仪器的垂直弹射高度CH为米． 2．如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4. (1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）； (2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22，BC=16，求假山的高度（精确到0.1）. 附：. 【答案】(1)4.2m (2)4.3m 【分析】（1）令假山的高度为.根据正弦定理求得，再根据即可求解； （2）根据余弦定理求得，则，再根据即可求解. 【详解】（1） 令假山的高度为. 由题意可知，， 则， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 而， 所以 故假山的高度大约为4.2m. （2）根据余弦定理，可得， 则， 所以 故假山的高度大约为4.3m. 3．如图所示，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影为，，，且． (1)求A与C两点的海拔高度差； (2)已知该地大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是（），是海平面大气压强，设A，C两处测得的大气压强分别为，，估计的值． 参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图两点的海拔高度差为可求解；（2）利用公式即可求解. 【详解】（1）如图，作, 所以， 在△中，因为， 所以，由正弦定理得 , 解得，同理， 作, 所以， 所以两点的海拔高度差为. （2）设A，C两处的海拔高度为， 由题可知， 由得，， 所以估计的值为. 【经典例题十 角度测量问题】 【例10】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）在中，利用余弦定理可直接求得结果； （2）由互补角的特点可求得和，在中，先利用正弦定理求得，再利用余弦定理构造方程求得即可. 【详解】（1）由题意知：，，， 在中，由余弦定理得：. （2），， 由题意知：， 在中，由正弦定理得：，， 由余弦定理得：， 即，解得：或（舍）， 之间的距离为. 1．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向. 【答案】舰艇靠近渔船所需的最少时间为1小时,舰艇航行的方位角为. 【详解】分析: 设所需时间为小时，利用余弦定理列出含有t的方程，再解方程得到t的值.再利用正弦定理求出，即得舰艇航行的方位角为. 详解：如图所示，设所需时间为小时， 则. 在中，根据余弦定理，则有， 可得， 整理得， 解得或 (舍去). 即舰艇需1小时靠近渔船，     此时, 在中，由正弦定理，得， 所以， 又因为为锐角， 所以， 所以舰艇航行的方位角为. 点睛：解三角形的应用，先要画图，把各个已知条件标记到图形中，再把实际问题转化成数学问题，再利用余弦定理和正弦定理解答,最后回到实际问题回答实际问题. 2．如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时 【分析】设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，在中，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得，从而可得，在中，由正弦定理即可得出答案. 【详解】解：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时， 则海里，海里， 因为， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以BC为东西方向，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 所以，即，即（小时）， 所以缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时. 3．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角为直线AP与平面ABC所成角） 【答案】 . 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】 过点P做直线BC的垂线，垂直为D，如图，则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设 则 ， 点D与B不重合时，在 中，  ，点D与B重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当 时， 取最大值 ， 综上，的最大值为 . 1．如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 【答案】(1)0或 (2)， 【分析】（1）设结合已知条件可得、、的关系，再由三点共线即可得的值，可得的长，再讨论点的位置即可求解； （2）根据和即可求解； 【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 故的距离为0或； （2）若，又， 故， 故， 由，可得相似比为， 所以，. 2．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【详解】（1）因为，，， 则，， 所以，， 所以，， 因为 ， 所以，解得， 所以， ； （2）因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． 3．如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）延长到，使，连接，利用向量的加法结合已知条件即可求解； （2）由（1）结合已知条件用表示，可得，即可证明. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，， ； （2）由（1）知，， ， ， 所以， 所以共线， 又因为有公共点， 所以三点共线. 4．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 5．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E． (1)若，求和的值； (2)用向量表示． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，将已知坐标化可解； （2）先用表示出，然后可表示出，再由M，E，N三点共线可解. 【详解】（1）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则， 所以 所以， 所以 解得 （2）设， 因为， 所以．解得， 即，所以， 又因为M，E，N三点共线，所以， 所以﹒ 6．如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用建立方程组计算可得； （2）由向量三角形法则求解即可； （3）由向量的模长公式求解即可. 【详解】（1）设， 由题意得，，， 所以，解得， 即点的坐标为. （2）由题意得， ， ， 所以， . （3）由题意得，， 所以． , 所以 , 所以 所以 = 7．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 8．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 9．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果； （2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得. 【详解】（1）由，，可知， 因此， 所以， 由正弦定理可得， 由可得. （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知， 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. 10．在中，内角的对边分别为，记面积为，已知，且角的平分线交边于点．    (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角； （2）利用三角形内角平分线长，借助于等面积可得，结合，求出的值，即可求出三角形面积. 【详解】（1）由三角形面积公式，，因，可得 ， 由余弦定理，，代入得：， 即，因，故； （2）由图知，，因是的角平分线，且， 则，化简得， 又，联立解得， 故的面积为. 11．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 12．如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 【答案】(1)30海里/小时 (2) 【分析】（1）连接，由几何知识可得，，再结合余弦定理即可求得，从而可求解. （2）如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，并设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时，由（1）及几何知识可得，，从而可得，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得，连接， 由题可得，， 所以，且， 所以， 所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 所以乙船的航行速度海里/小时. （2）如图以为坐标原点，以及过与平行所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图， 设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时， 由（1）可得，则， 又因为，所以， 所以，， 所以， 令为二次函数，且开口向上， 则在对称轴取到最小值，此时， 所以甲乙两船之间的距离最小时在30分钟内， 此时甲船距：海里. 13．如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知． (1)分别求AE、BH的长； (2)求宣传牌CD的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由及，可得BH，由及，可得AE； （2）过点作，垂足为，解三角形可得结果. 【详解】（1）由于所以， 设，则， 所以 在中， 所以 （2）过点作，垂足为． 则， 又 所以 故宣传牌CD的高度为 14．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．    (1)求的值； (2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】(1) (2)预算资金够用 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【详解】（1）解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． （2）在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 15．某地计划在一直角三角形空地上修建一个便民公园，如图所示，米，米，计划在空地中一点P处搭建一个花坛，从三个入口各铺设一条直线小路通往花坛． (1)若是以P为直角顶点的等腰直角三角形，分别从两个入口进入赏花，哪条路更近，近的路比远的路可以少走多少米？（结果精确到1米，） (2)园区计划将区域打造成一片天然氧吧绿地，若，该如何设计使绿地的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)从B入口进入更近，可以少走约米 (2)当米时，绿地的面积最大，最大值为平方米 【分析】（1）先求出，再根据余弦定理求出，比较的大小可得结果； （2）根据勾股定理求出，根据余弦定理得到，再根据不等式知识可得，根据不等式取等的条件以及三角形面积公式可求出结果. 【详解】（1）由题设，米，米， 在中，由余弦定理得 ， 所以米， 因为， 所以从B入口进入更近，可以少走米． （2）因为， ， 所以，当且仅当米时取得最大值， 此时面积为平方米． 所以当米时，绿地的面积最大，最大值为平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.12 平面向量及其应用常考几何模型专训 （10大题型+15道拓展培优题） 题型一 向量加法法则的几何应用 题型二 向量减法法则的几何应用 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 用基底表示向量 题型五 平面向量基本定理的应用 题型六 平面向量共线定理证明点共线问题 题型七 向量在几何中的其他应用 题型八 距离测量问题 题型九 高度测量问题 题型十 角度测量问题 【经典例题一 向量加法法则的几何应用】 【例1】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. 2．如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 3．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋=，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|. 【经典例题二 向量减法法则的几何应用】 【例2】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 1．如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向： （1）； （2）. 2．如图，已知向量，，不共线，求作向量． 3．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 【例3】如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 1．如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 2．如图，四边形ABCD中，已知. （1）用，表示； （2）若，，用，表示. 3．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【经典例题四 用基底表示向量】 【例4】如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 1．如图，与分别是平面直角系中轴与轴正方向上的单位向量，点在第一象限内，与坐标原点的距离为，与轴的夹角为，又设是关于轴的对称点，把向量、表示成向量与的线性组合． 2．如图，已知，求证：的三条中线相交于一点，且. 3．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【经典例题五 平面向量基本定理的应用】 【例5】如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．    (1)试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由． (2)若，试用，表示，． 1．如图，在中，分别是边上的动点.    (1)证明：； (2)当分别是边的中点时，用表示. 2．如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 3．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    【经典例题六 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例6】如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 1．如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 2．如图，在中，.设.    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. 3．如图，在中，已知，，，．    (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 【例7】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 1．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    2．在等边中，，点为的中点，交于点. （1）证明：点为的中点； （2）若，求的面积. 3．已知D，E，F分别为三边的中点.求证：相交于一点. 【经典例题八 距离测量问题】 【例8】如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 1．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 2．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离．    3．如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）    【经典例题九 高度测量问题】 【例9】如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 1．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，，BC的距离比AC短40米．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°． (1)求A、C两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH． 2．如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4. (1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）； (2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22，BC=16，求假山的高度（精确到0.1）. 附：. 3．如图所示，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影为，，，且． (1)求A与C两点的海拔高度差； (2)已知该地大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是（），是海平面大气压强，设A，C两处测得的大气压强分别为，，估计的值． 参考数据：，． 【经典例题十 角度测量问题】 【例10】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 1．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向. 2．如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 3．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角为直线AP与平面ABC所成角） 1．如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 2．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． 3．如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 4．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 5．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E． (1)若，求和的值； (2)用向量表示． 6．如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 7．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 8．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 9．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 10．在中，内角的对边分别为，记面积为，已知，且角的平分线交边于点．    (1)求； (2)若，求的面积． 11．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 12．如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 13．如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知． (1)分别求AE、BH的长； (2)求宣传牌CD的高度（结果保留根号）． 14．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．    (1)求的值； (2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 15．某地计划在一直角三角形空地上修建一个便民公园，如图所示，米，米，计划在空地中一点P处搭建一个花坛，从三个入口各铺设一条直线小路通往花坛． (1)若是以P为直角顶点的等腰直角三角形，分别从两个入口进入赏花，哪条路更近，近的路比远的路可以少走多少米？（结果精确到1米，） (2)园区计划将区域打造成一片天然氧吧绿地，若，该如何设计使绿地的面积最大，最大面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $