2 第1章 集合与常用逻辑用语 第5节 全称量词与存在量词-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇\ 第5节 全称量词与存在量词 学习目标 了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概 念，并能准确使用和理解两类量词.利用日常生活中的例子和数学的命题掌握对量词命 题的否定 化解疑难 课前预习导引 1.存在量词就是“存在”“有”，写成左右反 知识点①全称量词和全称量词命题 过来的大写字母E,实际上就是英语 “exist”中的首字母.存在量词的“否”就 全称量词 是全称量词. 符号 2.要判断一个存在量词命题为真，只要在 全称量 含有 的命题 给定的集合中找到一个元素x,使命题 词命题 p(x)为真；要判断一个存在量词命题为 “对M中任意一个x,有(x) 假，必须对在给定集合的每一个元素x, 形式 成立”，可用符号简记为 使命题p(x)为假. 知识点③ “含有二个量词的命题的香定 化解疑难 1.全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过 p:VxEM,p(x) 表述 全称量 否定 词命题 7p:3xo∈M,p(xo) 来的大写字母A,实际上就是英语“any” 中的首字母 2.要判断一个全称量词命题为真，必须对 D:3xo∈M,pG表述 否定 p:x∈M,p(x) 在给定集合的每一个元素x,使命题 化解疑难 p(x)为真；但要判断一个全称量词命题 在具体操作中就是把全称性的量词改成存 为假时，只要在给定的集合中找到一个 在性的量词，存在性的量词改成全称性的量 元素x,使命题p(x)为假.即全称量词命 词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循 题与存在量词命题之间有可能转化，它 下面法则：否定全称得存在，否定存在得全 们之间并不是对立的关系。 称，否定肯定得否定，否定否定得肯定 知识点②存在量词和存在量词命题 课堂典例探究 存在量词 类型一用“”或“3”表示全称量词☑ 符号表示 命题或存在量词命题 存在量 「例将下列命题用量词符号“V”或“了” 的命题 词命题 含有 表示。 (1)整数中1最小； “存在M中的元素xo,使 (2)方程a.x2+2x十1=0(a<1)至少存在 形式 (x)成立”，可用符号简记 一个负根； 为 (3)对于某些实数x,有2x+1>0, >>>)>)>51 衔接教材一本通 数学 [解](1)Hx∈Z,x≥1 规律方法(1)全称量词命题的真假 (2)3x<0,ax6+2x+1=0(a<1). 判断：要判定一个全称量词命题是真命 (3)3x∈R,2x+1>0. 题，必须对限定集合M中的每个元素 规律方法全称量词命题表示为“Hx x验证p(x)成立；但要判定全称量词命 ∈M,p(x)”的形式；存在量词命题表 题是假命题，却只要能举出集合M中的 示为“]x。∈M,(x。)”的形式. 一个x=x。,使得p(x)不成立即可（这就 [变式训练] 是通常所说的“举出一个反例”) 1.用量词符号“H”“3”表示下列命题： (2)存在量词命题的真假判断：要判定 (1)有理数都能写成分数形式； 一个存在量词命题是真命题，只要在限 (2)方程x2十2x+8=0有实数解； 定集合M中，找到一个x=xo,使 (3)有一个实数乘以任意一个实数都等 (xo)成立即可；否则，这一存在量词 于0. 命题就是假命题， [变式训练] 2.判断下列命题的真假 (1)Hx∈{1,3,5}，3x十1是偶数； (2)3x∈R,x6-6x。-5=0; (3)3x∈R,x8-x+1=0; 》类型二，全称量词命题和存在量词_习 (4)Hx∈R,|x+1>0. 命题真假的判断 例2给出下列四个命题： ①Vx∈R,x2+2>0; ②Vx∈N,x4≥1； ③]x∈Z,x8<1: ④3x∈Q,x6=3. 其中是真命题的是 (把所有真 命题的序号都填上). [解析]①Hx∈R,都有x2≥0，因而有 x2+2≥2>0，即x2+2>0. 所以命题“Vx∈R,x2+2>0”是真命题， 类型三全称量词命题、存在量词命可 ②0∈N,当x=0时，x≥1不成立.所以 题的否定 命题“Vx∈N,x4≥1”是假命题！ 「例3引写出下列命题的否定，并判断它们的 ③-1∈Z,当x=-1时，x3<1成立.所 真假： 以命题“3x,∈Z,x8<1”是真命题. (1)关于x的方程ax=b都有实数根； ④使x2=3成立的数只有士√3，而它们 (2)有些正整数没有1和它本身以外的 都不是有理数.因此，没有任何一个有理 约数； 数的平方等于3.所以命题“3x。∈Q, (3)对任意实数x1,x2,若x1<x2, x=3”是假命题. 则x+1<x+1; [答案]①③ (4)3x>1,使x2-2x-3=0. 52K( 高中新知探究学习 第二篇 [解](1)这个命题的否定为“有些关于 ☑课堂达标 x的方程ax=b无实数根”，如a=0,b=1 1.下列四个命题中，既是全称量词命题又 时，方程ax=b无实数根，所以这个命题为 是真命题的是 ) 假命题，这个命题的否定为真命题 A.斜三角形的内角是锐角或钝角 (2)这个命题的否定为“任意正整数都有 B.至少有一个实数x,使x2>0 1和它本身以外的约数”，如2只有1和 C.任意无理数的平方必是无理数 它本身这两个约数，所以这个命题为真 命题，这个命题的否定为假命题 D.存在一个负数x,使1>2 (3)这个命题的否定为“存在实数x1,x2, 2.有下列四个命题，其中真命题是( 若x1<x2,则x+1≥x十1”.这个命题 A.Vn∈R,n2≥n 中若x1=-1,x2=1,有x+1=x2+1, B.3n∈R,Hm∈R,mn=m 故这个命题为假命题，这个命题的否定 C.Hn∈R,m∈R,m2<n 为真命题 D.Hn∈R,n2<n (4)这个命题的否定为“Vx>1,x2一2x 3.已知命题p:3n∈N,2”>2026,则7p 一3≠0”，因为当x=3时，x2一2x一3=0，所 为 以这个命题是真命题，这个命题的否定为假 A.Hn∈N,2"≤2026 命题 B.Vn∈N,2">2026 规律方法（含有一个量词的命题的 C.3n∈N,2"≤2026 否定方法) D.3n∈N,2m>2026 (1)一般地，写含有一个量词的命题的 4.命题“有些负数满足不等式(1十x) 否定，首先要明确这个命题是全称量词 (1一9x)2>0”用“3”写成存在量词命 命题还是存在量词命题，并找到其量词 题为 的位置及相应结论，然后把命题中的全 5.下列命题是全称量词命题的是 称量词改成存在量词，存在量词改成全 是存在量词命题的是 称量词，同时否定结论 (填序号) (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命 ①正方形的四条边相等； 题中隐含的量词，改写成含量词的完整 ②有两个角是45°的三角形是等腰直角 形式，再依据规则来写出命题的否定. 三角形； [变式训练] ③正数的平方根不等于0； 3.写出下列命题的否定，并判断其真假： ④至少有一个正整数是偶数， 1)p:VxR,x-x+≥0： 6.写出下列全称量词命题或存在量词命题 的否定： (2)q:所有的正方形都是矩形： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (3)r:3x∈R,x2+3x+7≤0； (2)四边形的四个顶点共圆； (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. (3)有的三角形是等边三角形. >>>>>)53 衔接教材一本通 数学 三、解答题 课后检测评价 7.判断下列命题是全称量词命题还是存在 一、选择题 量词命题，并判断命题的真假， 1.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否 (1)对任意的实数a,b,关于x的方程 定为 ( ax十b=0恰有唯一解； A.对任意x∈R,都有x2<0 (2)存在实数x,使得2-2x十34 1 3 B.不存在x∈R,使得x2<0 C.存在x∈R,使得x2≥0 D.存在x∈R,使得x2<0 2.下列命题中是全称命题并且是真命题 的是 () A.每个二次函数的图象与x轴都有两个 不同的交点 B.对任意非正数c,若a≤b十c,则a≤b C.存在一个菱形不是平行四边形 D.存在一个实数x使不等式x2-3x十7 <0成立 3.命题“全等三角形的面积一定都相等”的 否定是 () A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 4.已知命题：了x∈R,ax2+x+1≤0，若 8.已知p:“H1≤x≤2，x2-a≥0”，q:“3x0 命题p是假命题，则a的取值范围为 ∈R,使x十2ax十2-a=0”.若命题p ( 和g都是真命题，求实数a的取值范围. Aa<号 Ba≥ ca>号 Da或u=0 二、填空题 5.命题“任意x∈R,存在m∈Z,m2一m< x2+x+1”是 命题.（填“真” 或“假”). 6.下列命题中是假命题的个数为 (1)每一个末位是0的整数都是5的 倍数； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等； (3)有些实数是无限不循环小数； (4)存在一个三角形不是等腰三角形， 542.解析：(1)由x(x-2)<0得0<x<2,因为{x|0 <x<2},所以“x∈{x|x≥-1}”是“不等式x(x 一2)<0成立”的一个必要不充分条件. (2)证明充分性：若ac<0,则b2一4ac>0,且 ∠0， a .方程ax2十bx十c=0有两个相异实根，且两 根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax2十bx十c=0有一 正根一负根，则△=b2-4ac>0,x1x2=￡<0. a .ac<0. 答案：(1)B(2)见解析 3.解：因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q二P. 所以a二S!解得-1≤a≤5 {a+4≥3， 即a的取值范围是{a|-1≤a≤5}. 课堂达标 1.A[由不等式性质，a>1且b>2025可得a十 b>2026, 但当a+b>2026时，推不出a>1且b>2025, 例如a=1,b=2026, 故a>1且b>2025是a+b>2026的充分不必 要条件.] 2.A[由x2<4得-2<x<2,必要不充分条件的 x的范围真包含{x|-2<x<2}门 3.A[当x≥2且y≥2时，一定有x2+y2≥4；反 过来当x2+y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，如x =一4，y=0,故选A.] 4.{aa1} 5.解：(1)c=0→抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)过 原点；抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)过原，点→c =0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件. (2)x>1且y>1→x+y>2且xy>1;而x+y >2且xy>1Px>1且y>1.故p是q的充分 不必要条件，q是力的必要不充分条件. (3)0<x<3→|x-1|<2,|x-1|<2→-1<x<3 羚0<x<3.故p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件. 课后检测评价 1.B 、11=2026-x< 2.A[因为1←2026→12026-298o → 0→2026x(2026-x)<0→x>2026或x<0, x2026,但1<、1 所以x>2026→1<。1 工2026不能 换由2026，所以>202s是<2%的克 分不必要条件.] 3.B[“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分不 成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要 性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不 充分条件，故选B.] 4.D[充分性：若x十y>0,则可得x,y有三种可 能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一 个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的 绝对值.故xy>0或xy<0或xy=0,故“x十y >0”不是“xy>0”的充分条件.必要性：若xy> 参考答案 0,则x>0,y>0或x<0,y<0,故x+y>0或 x十y<0,故“x十y>0”不是“xy>0”的必要条 件.综上，“x十y>0”是“xy>0”的既不充分也不 必要条件.] 5.a≤2a≥36.{mm>2} 7.解：由题意可知， P 9)→( (1)因为q→s,s→r→q,所以s是q的充要条件. (2)因为r→q,q→s→r,所以r是q的充要条件. (3)因为q→s→r→p,所以力是q的必要不充分 条件. 8.证明：必要性：对于x,y∈R,若x2十y2=0,则x =0,y=0,即xy=0,故xy=0是x2+y2=0的 必要条件.充分性：对于x,y∈R,若xy=0,例 如x=0,y=1,但x2十y2卡0，充分性不成立，故 xy=0不是x2十y2=0的充分条件.综上所述， 对于x,y∈R,xy=0是x2十y2=0的必要不充 分条件. 第5节全称量词与存在量词 课前预习导引 知识点1 所有的任给每一个一切V全称量词 Hx∈M,(x) 知识点2 存在一个至少有一个有一个某个有些 了存在量词3x∈M,(xo） 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)H一个有理数都能写成分数形式. (2)3x∈R,使方程x+2x+8=0成立 (3)3x。∈R,它乘以任意一个实数都等于0. 2.解：(1)3×1+1=4,3×3+1=10,5×3+1= 16,均为偶数，.是真命题.(2)x-6x一5= 0中，△=36十20=56>0，.方程有两个不相等 的实根，.是真命题.(3).x一x十1=0中，△ =1-4=-3<0,.x-x。十1=0无解，∴.是假 命题.(4).x=一1时，|-1十1=0，∴.是假命题. 3.解析：1)7：3xeR,2-z+}<0 :VxER-xt-（-)≥0恒成之 ∴.一p是假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3)7r:Hx∈R,x2+3x+7>0. zR,+3x+7=(+)+9>0板 成立，一r是真命题. (4)7s:Hx∈R,x3+1≠0. 当x=一1时，x3+1=0,.7s是假命题， 课堂达标 1,A[只有A,C两个选项中的命题是全称量词 命题；且A显然为真命题.因为√2是无理数，而 (W2)2=2不是无理数，所以C为假命题.] >>>>>>>>125 衔接教材一本通 2.B[对于选项A,令n=2即可验证其为假命 题；对于选项C、选项D,可令n=一1加以验证， 均为假命题，故选B.] 3.A[由题意得，p为Vn∈N,2”≤2026.] 4.3x∈(-∞，0)，(1+x。)(1-9x0)2>0 5.解析：①②③都是省略了全称量词的全称量词 命题，④是存在量词命题 答案：①②③④ 6.解：(1)该命题的否定：至少存在一个能被3整 除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：至少存在一个四边形，它的 四个顶点不共圆， (3)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. 课后检测评价 1.D2.B 3.D[题中命题是省略全称量词的全称量词命 题.易知选D.] 4.C[3x∈R,ax2+x+1≤0.若命题p是假命 题，即“ax2十x+1>0恒成立”是真命题①. 当a=0时，①不成立， 当a≠0时，要使①成立，必须A≤0即 1a>0 (△=1-4a< 0,解得<a.] la>o 4 5.真6.0 7.解：(1)该命题是全称量词命题.当a=0,b≠0 时，方程无解，故该命题为假命题 (2)该命题是存在量词命题..x2-2x十3=(x -1)2+2≥2， 7-22十3≤号是此这今卷是积伞题 1 8.解：p为真时，x2-a≥0，即a≤x2. 1≤x≤2时，上式恒成立，而1≤x2≤4，∴a≤1. q为真时，△=(2a)2-4(2-a)≥0，即a≥1，或a ≤一2.p和q都是真命题 ∴.a=1,或a≤-2. 即实数a的取值范围是{aa=1,或a≤-2}. 第二章一元二次函数、方程和不等式 第1节等式性质与不等式性质 课前预习导引 知识点1 1.<,≤，>，≥，≠2.不等式 知识点2 a>ba<ba=b它们的差a一b与0 课堂典例探究 变式训练 1.解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则 「x+y≤9， x+y≤9， 10×6x+6×8y≥360，即5x+4y≥30，、 0≤x≤4，x∈N, 0≤x≤4，x∈N, l0≤y≤7，y∈N, l0≤y≤7，y∈N. 126《《((<((< 数学 1 2,解：)-版/+1+左匠-可 1 √元十√x-I .x+I+√x>√x+√x-I>0, Wx+I-√x<√x-√x-1. (2)(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y -2y2-x(x2-y2)+2y(x2-y2)-(x2-y2)(x +2y)=(x-y)(x+y)(x+2y). x>y>0,.x-y>0,x+y>0,x+2y>0, .(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0,即x3-2y3> xy2-2x'y. 3.(1)>(2)<(3)<(4)< 课堂达标 1.A[.明天白天的最高温度为13℃， ∴.明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关 系是t≤13℃，故选：A.] 2.C[p-q=(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a +3-(a2-4a十4)=-1<0，所以<q,故选C.] 3.B[a>6>0,la>61,日<6-a<-b, a2>b,只有B正确.故选B.] 4.a>-b>b>-a 5.解：因为a>b>0,c<d<0,所以-c>-d>0, 所以a-c>b-d>0,所以0≤1<。 1 a-cb-a,又 因为a>b>0,所以b≤，a a-cb-d 课后检测评价 1.C2.D 3.A[a>6>1pa-1>6-1>06 当a=0b6=2时。6Pa>>1,故连A] 4.A[因为p=√a十2+√a+5, 则p2=2a+7+2w√(a+2)(a十5) 因为q=√a十3十√a十4， 则g2=2a+7+2√(a+3)(a+4). 比较p,q的大小只需要比较(a十2)(a十5)与(a +3)(a+4).作差：(a+3)(a+4)-(a+2)(a+ 5)=12-10=2>0,所以<q.] 5<<61f≤号 1 7.证明：.c<d<0,.-c>-d>0. 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b -d0>0,即1 1 (a-c)(b-d).叉e<0, e (a-)d)