天津市部分区2026届高三质量调查试卷（二）数学

天津市部分区2026年高三质量调查试卷（二) 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分， 考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利1 第1卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： ·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ·如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B), 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、 长 1.已知集合A={xeN1<x<5},B={13,5},那么A∩B= A.{0,13} B.{13} c.{0,13,5} D. {135 2.“lna=lnb”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=f(x)的部分图象如 图，则f(x)的解析式可能为 ヤ A. f(x)= e*+e-x B.f(x)= e+e-x x 椒 C.f(x)=- tex D.f(x)=- etex 4.设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=Sg,则a。= A.8 B.6 C.3 D.0 5.已知m,n是两条直线，a,B是两个平面.下列命题正确的是 A.若mllm,m⊥a,n⊥B,则alWp B.若mlla,nlla,mcB,ncB,则allB 高三数学（二）第1页（共4页） C.若mllm,nca,则ml∥a D.若m⊥a,m⊥n,nlWB,则a⊥B 6.下列结论中正确的是 A.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B.若随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X≤2)=0.7，则 P(0<X<1)=0.3 C.若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.3,则P(B|A)=0.6 D.多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项 的多选题的答案种数可能有16个 7.函数∫（冈=log,x-3x的零点所在区间为 A.(7,8) B.(89) c.(910) D.(10,11) 8.把函数f(x)=V3sinx+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的二，纵 坐标不变， 再把所得的图象向右平移汇个单位长度后得到函数y=8(x)的 图象，则y=g(x)的解析式为 A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=-2sin r司 D.g(x)=-2cos2x 9.如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶 点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这 四条抛物线的焦点共圆.记x轴上的两个焦点为F,F2, C在第一象限端点为P,若点P在以F,F2为焦点的双 曲线上，则该双曲线的离心率为 A.2 B.4+5 41+5 V D. 2+4 8 10 高三数学（二) 第2页（共4页） 第卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11小题，共105分。 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的， 答对1个的给3分，全部答对的给5分 10.i是虚数单位， 2+i 11. (+ 的展开式中，x的系数为一 (结果用数字作答) 12.若过点(-1,0)的直线1与圆x2+y2-6x+5=0只有一个公共点，则1的斜 率为 13。甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若 听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写。无论之前听写情 况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7。若 第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为 :若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的 人是甲的概率为 4.在平行四边形ABCD中，MB=3,MD=4,∠BMD=背，C西=2C死， CF=2F而，点M在线段EF上.若AM=xAB+yAD(x,y∈R),则 3x+4y= ；M的最小值为 e,x>0, l5.设a∈R,函数f(x)= :<0若关于的方程/代x+7石恰有 1 x+a 一个根，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤， 16.(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=√3，c=1, CosA=、i3 13 (I)求a的值： (IⅡ)求B的值； (II)求cos(2A-B)的值 高三数学（二) 第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，多面体ABCD-AB,C是直四棱柱被平面 ACD所截剩余的较大部分，其中正方形ABCD的边 长为2，BB=3 （I)求证：AC⊥平面BBD: (II)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值； (II)若点P在线段BB上，且BP=2,求平面PAD与平面ACD夹角的 余弦值. 的 18.（本小题满分15分) 设糊圆器 +存=1(>b>0)的上顶点为A,点B(1,),0为坐标原点.己 学 知△OAB的面积为 4 （I)求椭圆的离心率； (Ⅱ)已知直线：x=2与椭圆相切，过点B的直线1”与椭圆交于C,D两 点，过点C,D做1的垂线，垂足分别为M,N两点(M,N两点不重合)记直线 CN,DM的斜率分别为k,k2,求k·k2的取值范围. 19.（本小题满分15分) 已知数列小：4,42，an(n≥2)的各项均为正整数，设集合 为 T={x=4-4,1≤i<j≤，记T的元素个数为P(T). (I)若数列在1,2,3,5，求集合T: 特 (I)已知{a}为正项等比数列，4=4,43是6a2与84的等差中项。 (i)求P(T): % （a-a*2-%。 齿 20.（本小题满分16分) 已知函数f(x)=(x+)血(x+1)-x. (I)求曲线y=f(x)在点（山，∫(）)处的切线方程： (Ⅱ)证明：f(x)2sinx-x; )正明：nl+子t+<h(a+,ae. 32n+1n 高三数学（二)第4页（共4页） 天津市部分区2026年高三质量调查试卷（二) 高三数学参考答案 一、 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。 题号 6 P 9 答案 B D A D B 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的， 答对1个的给3分，全部答对的给5分 10. Vo 11.10 12. 5 3 13.0.28;0.45 14.5: 5W5 15.1-5<a≤1+5 2 2 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 16.（本小题满分14分) 解(I)由余弦定理可得，a2-B+c2-2 ecs=13+1+2x厅x1x国 =16, 13 所以a=4. .4分 (I)因为cosA=- 13 ,A∈(0，元) 所以sinA=V-cos2A=1 √13 2W39 .5分 13 13 6 由正弦定理Q三 sinA sin B 得sinB=2in4=Ex2W5 5 ...7分 4132 叉c0osA<0,故4为钝角，所以B为锐角，故B=写：8分 高三数学（二)参考答案第1页（共7页) (或cosB=C+a2-B=1+16-13=,故B=) 2ca 2×1×4 3 (D）sin2A=2 sin Acos=2×239 √13 4v5 13 13 13, ..10分 ..12分 ceos(2A-B剧=cos24-胃)=6os2Acos+sn2Asin ()9 ....14分 17.（本小题满分15分) 解(I)以B为坐标原点，BA,BC,BB正方向为 B x,y,二轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 有B(0,0,0）,A(2,0,0)，D(2,2,0), C(0,2,0),C(0,2,3),A(2,0,3), B(0,0,3). 1分 则有BB=(0,0,3),BD=(2,2,0),AC,=（-2,2,0) .2分 由AC·BB=0,得AC⊥BB, 由AC·BD=0,得AC,⊥BD, ...3分 又BB,BDc平面BBD,BB∩BD=B, .4分 所以A,C⊥平面BBD; .5分 (Ⅱ)由(I)知BC=(0,2,0),AC=(-2,2,0),AD=(0,2,-3) .6分 设平面ACD的法向量为m=(x,,二)， 高三数学（二）参考答案第2页（共7页) m·AC1=-2x+2y=0 侧有 m:AD=2y-3z,=0 取x=3,则有y1=3,31=2, 即m=(（3,3,2), ….8分 记直线BC与平面A,C,D的夹角为， BC.m 则sina三 0×3+2×3+0×23V22 V4V9+9+4 22： 直线BC与平面A,C,D所成角的正弦值 3V22 ...10分 22 (IⅢ)由BP=2,得P(0,0,2),所以PA,=(2,0,1),AD=(0,2,-3) ..11分 设平面PAD的法向量为万=(x2,y2,22)， 7.PA=2x3+22=0 则有 i·AD=2⅓-32=0 取x2=1,则有为=-3,22=-2， 即7=(1，-3，-2)， ...13分 记平面PAD与平面ACD的夹角为B, m.n 1×3-3×3-2×2 5W77 则cosB= -同W1+9+4V9+9+4 77, 故平面P4D与平面4GD夹角余弦值为5V7 77 ..15分 18.(本小题满分15分) 解：(1)设椭圆的焦距为2c,由△01B的面积为好， 高三数学（二)参考答案第3页（共7页) 可得号×1xb=9,即a=2b, .1分 又a2=b2+c2, …2分 所以e=S=5 a 2 ….4分 (Ⅱ)因为直线kx=2与椭圆相切，所以a=2, .5分 结合（I)可得b=1,c=√5； 所以粉圆的方程为学+y=1, ..6分 设过点B的直线'：x=my+1 设C(x,),D(3,2),则M(2,),N(2,2), x=my+1 曲任产-1化简+时广+2网-3-0.8分 △=4m2+4(4+m2）×3>0, -2m -3 则片+少= m2+4’ 2=1 m2+41 ...10分 又kk=为-五×h-当 2-x2-2 =-为-上×2-上=-仍+h'-4% my,-1my2-1m2-m(2+)+1 -2m2 4x3 m2+4 m2+4 4m2+12(m2+4 m2x-3 -2m -m +1 4(m2+4) m2+4"(m2+4 4m+3-4+ 4 m2+4 m2+4 ....13分 高三数学（二）参考答案第4页（共7页) 因为m2+4≥4，所以0<1 m+4s4,即0<4 ≤1， m2+4 所以-4<-4+4 ≤-3 m2+4 所以kk2的取值范围为(-4，-3] ..15分 19.（本小题满分15分) 解(I)由题意知数列A:1,2,3,5,可得 2-1=3-2=1,3-1=5-3=2,5-1=4,5-2=3, 则T={1,2,3,4: ..3分 (Ⅱ)(i)设等比数列{an}公比为9（其中q>0), 4=4,6a2+8a=2a3→6q+8=2g2→q=4或-1 由于数列{an}为正项等比数列，则q=4, 所以an=4×4"-=4”, .5分 an=4”，此时A:4,42.…,4”. 因为l≤i<j≤n, 所以集合T中的元素个数最多为C2=”-)个， 2 即P(T)snn-) .7分 2 对于数列A:4,42…,4”，此时a-a,=4-4, 若存在a-a,=a2-a2,则44-44=4-4华，其中方>4,2>2， 故4(4-4-1=4(4--1， 若1≠2，不妨设1>2，则4-（4-4-1=4h--1,而元>1,2>2， 故4-(4--1为偶数，4-1为奇数，矛盾，故=，故方=2， 高三数学（二)参考答案第5页（共7页) 故由A:4,42…,4”得到的a,-4,彼此相异， 所以P(T)=nn-) (注：只写出结果给1分) ...10分 2 (i)6,=(5n-4a-5m-4)444n 2P(T) (-nn-7+n≥2) a-r0g-j告}刻 ...13分 %任)侣}借引… y名+6* ....15分 20.(本小题满分16分) 解：(I)由函数f(x)=(x+)ln(x+)-x, 可得f'(x)=ln(x+1), .1分 则f'()=ln2,f1)=2ln2-1. ..3分 所以曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线的方程为 (ln2)x-y+ln2-1=0: .4分 (IⅡ)由函数f(x)=(x+)ln(x+l)-x,要证，f(x)≥sinx-x,xe(-l,+o) 只需证(x+)ln(x+l)-sinx≥0， 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-sinx,x∈(-l,+o) 5分 g'(x)=In(x+1)+1-cosx, 易知x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增， ..6分 高三数学（二）参考答案第6页（共7页) 当xe(-10]时，令h()=ln(Gx++1-cosx,可得h(x)= +sinx, x+1 因为xe-10],可得-1<sinxs0,≥1，所以(x)>0,A() x+1 在(-1,0)递增，又由h(0)=0,此时h(x)≤h(0)=0,即g'(x)≤0， 故g(x)在区间(-1,0)上单调递减， .9分 所以g(x)≥8(0)=0，即f(x)≥sinx-x; ....10分 (Ⅲ)由()知，当x∈(0，+o)时，(x+1)ln(x+)>sinx, 令x=方则++小sm .13分 n 。2.1 所以2sinl+与sin2t…+用 sin 3,4 32n+1n 3 n ...14分 又由对数的运算性质，可得 3 n2+ln+…+lnn+ 34n+1 2 =ln(2×5×- )=ln+1), n 23 n 所以对于任意正整数n,总有 2sin1+ ....16分 32n+1n 高三数学（二)参考答案第7页（共7页)