7.1.1 条件概率第一课时课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 作者：爱数学的张老师 第一课时 条件概率与乘法公式 学习目标 1、了解条件概率的概念； 2、结合古典概型掌握求条件概率的两种方法； 3、结合古典概型，会利用乘法公式计算概率； 复习引入 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 (或 ) 关键词“或”; 4.若A、B互斥，且A+B= ，则说事件A与B对立. 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为 (或 ) 关键词“且”; 若事件A与B互斥，则： 3.若A、B不同时发生,则说事件A与B互斥. 若事件A与B不互斥，则: 5.若事件A发生与否对B的概率没有影响，则相互独立. 不独立时，如何表示积事件 AB的概率呢？ 若事件A与B独立，则: 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到 的是男生的概率是多少？ 所以 （2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件 发生的条件下,事件 发生”的概率,记为 （1）设 =“选到团员, =“选到男生”. 条件 问题2：某个家庭有2个孩子，问： （1）两个孩子都是女孩的概率？ （2）如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？ 所以 （1）设 =“有1个孩子是女孩”, =“2个孩子都是女孩”. （2）“如果有1个孩子是女孩，两个孩子都是女孩”的概率就是“在事件 发生的条件下,事件 发生”的概率,记为 条件 AB A B W 知识点一 条件概率 1.概念:一般地,设,为两个随机事件,且,我们称 _ _____为在事件发生的条件下,事件 发生的条件概率,简称条件概 率.读法: 读作_____________________________________. 在事件发生的条件下,事件发生的概率 2.计算： . 3.的 图表示与几何意义 的几何意义：图中积事件所 占面积与事件 所占面积的比值. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在事件发生的条件下,事件发生的概率为 ，其 中 .( ) √ （2）与 相同.( ) × [解析]（2） 是在事件发生的条件下，事件发生的概率， 是在事件发生的条件下，事件 发生的概率，二者是不同的. （3）若,则 .( ) √ （3）由, ,得 . 探究点一 对条件概率的理解 例1 （多选题）下列问题是求条件概率的是( ) A.甲、乙两人射击的命中率分别是， ，求两人各射击一次都命 中的概率 B.甲、乙两人射击的命中率分别是， ，求在甲命中的前提下乙 也命中的概率 C.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次，每次抽取1件， 若第一次抽到次品，求第二次也抽到次品的概率 D.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次，每次抽取1件， 求恰好抽到1件次品的概率 √ √ [解析] “都命中”属于相互独立事件同时发生，不是求条件概率问题，A 错误；B，C显然是求条件概率问题，B，C正确； “恰好抽到1件次品”，即抽到1件正品和1件次品，不是求条件概率问题， D错误. 故选 . ［素养小结］条件概率的判断方法 （1）若题目中出现“在……的前提下”等字眼，一般属于条件概率. （2）若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事 件的概率，则也属于条件概率. 例2 从编号为1,2, ,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球 的条件下,选出球的最大号码为6的概率为___. 设事件“选出的4个球中含4号球”， “选出的4个球的最大号码为6”， 探究点二 条件概率的计算问题 练习 箱子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中随机抽 出2个球，则在已知抽到红球的条件下，抽到的2个球都是红球的概率为__. 解：记“抽到的2个球中有红球”， “抽到的2个球都是红球”， ［素养小结］ 1、利用缩小样本空间法计算条件概率的方法： 将原来的样本空间<m></m> 缩小为样本空间<m></m>，原来的事件<m></m>缩小为<m></m>，<m></m>中仅包含有限 个样本点，每个样本点发生的概率相等，从而可以在缩小的样本空间上利用古典 概型公式计算条件概率，即</m>，这里<m></m>和<m></m>的计数是基于缩小 的样本空间范围的. 2、利用定义计算条件概率的步骤： （1）分别计算概率<m></m>和<m></m>； （2）将它们相除得到条件概率<m></m>，这个公式适用于一般情形，其中 <m></m>表示事件<m></m>与<m></m>同时发生. 练习1 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举 办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的2人为1男1女的条件下，求女生乙被选中的概率. 练习2 某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召，组织了有奖知识 竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲、乙两位同学作答，每人 答对的概率均为，两人都答对的概率为 ，则甲答对的前提下乙也 答对的概率是( ) A. B. C. D. 知识点二 条件概率与相互独立事件的联系 相互独立事件是条件概率的特殊情况:若事件与 相互独立,即 __________,且,则 ;反之,若 ,且,则,即事件与 相互 独立. 当时，当且仅当事件与 __________时，有 . 相互独立 知识点三 概率的乘法公式 1.概念:对任意两个事件与,若,则 ____________, 我们称上式为概率的乘法公式. 2.推广：设，，为三个事件，且 ，则有 . 探究点三 根据概率的乘法公式求积事件的概率 例4 10个考签中有4个难签，2人参加抽签（不放回），甲先抽、乙 后抽，求： （1）甲抽到难签的概率； 解：记事件“甲抽到难签”，则 . （2）甲、乙都抽到难签的概率； 解：记事件 “乙抽到难签”，因为甲先抽、乙后抽，所以 ， 由（1）知， ，所以甲、乙都抽到难签的概率 . 例4 10个考签中有4个难签，2人参加抽签（不放回），甲先抽、乙 后抽，求： （3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 解：由（1）知甲没有抽到难签的概率为 ， 又 ，所以甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为 . 变式1 某学校办公室的数学教师和英语教师的人数之比为 ， 其中数学教师中女教师占 ，现从中任选一位教师代表本办公室 参加会议，则女数学教师被选到的概率是___. [解析] 设事件“选到的教师是数学教师”，事件 “选到的是女 教师”，则， ，所以女数学教师被选到的概率是 . 变式2 已知A类产品共2件,记为,,B类产品共3件,记为,, ,混 放在一起.现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测1件产品,检测 后不放回,直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时,检测结 束,则第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为_ __. [解析] 记“第一次检测出B类产品”为事件 ,“第二次检测出A类产品” 为事件,依题意得 . 第一次检测出B类产品后还剩A类产品2件，B类产品2件， 故 . 故第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为 . 课堂小结 1.条件概率的理解： （1）与的意义不同.由条件概率的定义可知 表 示在事件发生的条件下事件发生的概率；而表示在事件 发生的条件下事件 发生的概率. （2）与在事件发生的条件下，事件 发生的概率不 一定是，即与 不一定相等. 当事件与事件相互独立时： ； 当事件与事件不相互独立时： . （3）在条件概率的概念中,要强调 . 当时, . （4），必须满足与 互斥，且 . 2.条件概率的计算方法有两种： ①利用定义计算，先计算和 ，然后代入公式 . ②利用缩小样本空间法计算（局限在古典概型内），即将原来的样 本空间 缩小为已知的事件，原来的事件缩小为事件 ，利用 古典概型的概率公式计算，即 . 3.对条件概率计算公式的几点说明: （1）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求 ， 相当于把看作新的样本空间计算 发生的概率，即 . （2）条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化,事 件发生的条件下事件发生的概率可以看成在样本空间为时事件 发生的概率,从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法. （3）概率与 的区别. ①在中，事件，发生有时间上的差异，先后；在 中，事件， 同时发生. ②样本空间不同，在中，事件成为样本空间；在 中， 样本空间仍为 .因而有 . $