10.6 二项分布与超几何分布 课件-2027届高考数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第六讲　二项分布与超几何分布 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[67] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　二项分布 1．n重伯努利试验 只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果______ ______. 两个　 相互 独立 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 np　 np(1－p) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．二项分布与超几何分布的比较 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 归 纳 拓 展 1．二项分布的适用范围及本质 (1)适用范围 ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数． (2)本质：二项分布是有放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．超几何分布的适用范围及本质 (1)适用范围 ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布． (2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二　走进教材 2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝______，E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(选择性必修3P79T6改编)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)＝________. [答案]　0.6　3.2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点突破 · 互动探究 返回导航 n重伯努利试验——自主练透 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 1．符合n重伯努利试验必须满足的两个特征 (1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变； (2)各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 (2026·江苏镇江期初测试)某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项分布——多维探究 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　8 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申]本例1中E(2X＋3)＝________，P(x≤2)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2　二项分布的实际应用 (2025·福建连城一中月考)为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分；若点数之和不等于7，则获得2个积分． (1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件； (2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 1．二项分布问题的解题关键 (1)定型 ①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 注：有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np，求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望； (2)求乙总得分为100分的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 超几何分布——师生共研 (2026·江苏苏州开学测试)2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行． (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1 500米服务的概率； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 1．超几何分布的特点 (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)超几何分布是不放回抽样问题； (4)随机变量为抽取的某类个体的个数； (5)考查某类个体抽取个数X的概率分布． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．超几何分布的应用 超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于随机变量正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 (2026·江苏南京调研)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 二项分布与超几何分布的综合应用 (2025·广东揭阳月考)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1 000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：二项分布、超几何分布的区别与联系 区 别 二项分布 超几何分布 ①有放回抽取(总体不改变)； ②随机变量为n次试验中“抽到红球”的次数，其取值为0到n； ③每一次试验是独立重复试验．概率运算依据的是n重伯努利试验的概率运算，只需要知道p即可. ①不放回抽样(总体在变化)； ②随机变量为抽取n个个体中含“红球”的个数，其取值要由具体问题定； ③考察对象分为两类，且已知各类对象的个数．概率运算依据计数原理与古典概型的概率运算，且需知道N和M. 联 系 当总体容量很大而抽取数很小时超几何分布可近似看作二项分布. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对的题目个数为X，求X的分布列及数学期望； (3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差， 所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验活动． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 提能训练　练案[67] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2026·陕西汉中联考)某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标．若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2025·广西示范性高中质检)甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(　　) A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 [答案]　B [解析]　由题意得X服从二项分布，为X～P(6，p)，E(X)＝6p＝2.4，则p＝0.4，所以D(X)＝6p(1－p)＝1.44.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 6．(2025·四川统测)某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 9．(2026·陕西渭南高级中学测试)某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 三、填空题 10.(2026·陕西西安西北工大附中适应性训练)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为“阳爻”和“阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 12．(2026·安徽六校教育研究会入学测试)一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球．从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记X为4次之内(含4次)取到红球的次数，则X的数学期望E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 14．(2026·河北十校联考)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：   男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 B组能力提升 1．(多选题)(2025·云南、广西、贵州诊断性联考)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·福建莆田一中测试)如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2026·湖南益阳质检)在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回． (1)如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (2)如果从中抽3道题，记X表示抽到代数题的道数，求随机变量X的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求小张同学被终止比赛的概率； (2)现已知小张同学第一轮中回答的A类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X的分布列及期望； (3)求小张同学获得三等奖的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 C组拓展应用(选作) (2026·云南部分学校开学考试)某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 谢谢观看 2．二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝____________. 知识点二　超几何分布 1．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布．可记为H(N，M，n)． X 0 1 … m P … E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，其中p＝. 摸球方式 X的分布列 E(X) D(X) 放回摸球 二项分布B(n，p) np np(1－p) 不放回 摸球 超几何分布 H(N，M，n) np np(1－p) (2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　) (3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　) [答案]　　2 [解析]　P(X＝2)＝C4＝，X～B，∴E(X)＝2. A． B． C． D． [解析]　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C. 题组三　走向考场 4．(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，每次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________. [答案]　　 [解析]　由题可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C×2×＋3＝. [解析]　设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则P(A)＝P(B)P(|B)＋P()P(C|)＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6；若至少跑11圈为运动量达标为事件D，P(D)＝P(A)＋P()P(|)＝0.6＋0.5×0.4＝0.8，所以X～B(4,0.8)，E(X)＝4×0.8＝3.2. (2026·河北张家口NT20名校联盟摸底)2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿(全球票房)的影片后，哪吒的故事愈发深入人心．在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗．此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步．有的概率向后退一步，且向前向后相互独立．当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　设哪吒向前走的步数为X，依题意，X～B.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步，根据二项分布概率公式，有P(X＝3)＝C3×2＝.故选A． 2．在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n求概率． [答案]　 [解析]　某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满足二项分布X～B，所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C4＋4＝. 角度1　二项分布列的性质 1．(2026·四川成都蓉城名校联盟联考)随机变量X～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)4＝，∴p＝，故方差D(X)＝np(1－p)＝4××＝.故选C. 2．(2026·吉林长春模拟)在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数X～B，则P(X＝k)取最大值时k＝________. [解析]　由数学成绩合格的学生人数X～B，可得P(X＝k)＝C×k×10－k＝C×，由C×≥C×且C×≥C×，解得≤k≤且k∈N*，所以k＝8，所以P(X＝k)取最大值时，实数k的值为8. [答案]　　 [解析]　E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2np＋3＝.P(x≤2)＝C4＋C×3＋C2×2＝. [解析]　(1)证明：因为两次点数之和等于7有以下基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个， 所以P(A)＝＝，又P(B)＝. 而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是(1,6)，(3,4)，(5,2)，共3个，所以P(AB)＝＝， 故P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A，B是独立事件． (2)设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X，则X可取6,9,12,15， P(X＝6)＝C3＝， P(X＝9)＝C××2＝， P(X＝12)＝C2×＝， P(X＝15)＝C3＝， 所以分布列为 X 6 9 12 15 P 所以E(X)＝×6＋×9＋×12＋×15＝. 2．设随机变量X～B(n，p)，记pk＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1,2，…，n.若(n＋1)p为正整数，当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p不为正整数，则当且仅当k＝(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值． 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)(2025·广东珠海一中模拟)已知随机变量X，Y满足X～B(4，p)，且P(X＝0)＝，且X＋Y＝1，则(　　) A．E(X)＝ B．E(Y)＝－ C．D(X)＝ D．D(Y)＝ [解析]　由随机变量X满足X～B(4，p)，且P(X＝0)＝，可得(1－p)4＝，解得p＝，由E(X)＝4×＝，所以A正确；因为X＋Y＝1，即Y＝1－X，可得E(Y)＝1－E(X)＝1－＝－，所以B错误；由D(X)＝4××＝，所以C错误；对由Y＝1－X，可得D(Y)＝(－1)2D(X)＝，所以D正确．故选AD. 2．(角度2)(2026·江苏苏南名校调研)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为. [解析]　(1)设甲3次点球射进的次数为Y，则Y～B， Y的可能取值为0,1,2,3，且X＝50Y，则X的所有可能的取值为0,50,100,150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝3＝； P(X＝50)＝P(Y＝1)＝C××2＝； P(X＝100)＝P(Y＝2)＝C×2×＝； P(X＝150)＝P(Y＝3)＝3＝， 所以X的概率分布列为 X 0 50 100 150 P E(X)＝0×＋50×＋100×＋150×＝100 (或E(X)＝E(50Y)＝50E(Y)＝50×3×＝100)． (2)设“乙第i次射进点球”为事件Ai(i＝1,2,3)， 则乙总得分为100分的事件为B＝A1A23＋A12A3＋1A2A3. 因为A1A23，A12A3，1A2A3互斥． 所以P(B)＝P(A1A23＋A12A3＋1A2A3)＝××＋××＋××＝， 故乙总得分为100分的概率为. [解析]　(1)设“汤姆选择中有200米服务”为事件A；“汤姆选择中有1 500米服务”为事件B， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. (2)X的值可能为0,1,2,3. 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．超几何分布的概率计算公式 从古典概型的角度加以理解更容易记忆：P(X＝k)＝(k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，即恰取了k件次品的概率P＝. [解析]　(1)每次抽取后都放回，则取到黄球的个数X～B， 所以P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C×2＝， 所以P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. (2)每次抽取后都不放回则取到黄球的个数Y的值可能为0,1,2. 且P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝＝. [解析]　(1)设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝. (2)设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0,1,2,3.则Y～B， 所以P(Y＝0)＝C03＝， P(Y＝1)＝C12＝， P(Y＝2)＝C21＝， P(Y＝3)＝C30＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝. (3)因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 【变式训练】 (2025·宁夏银川一中开学测试)为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动．结合平时训练的成绩，红星中学的甲、乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两人解答每道题目相互独立，现甲、乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： [解析]　(1)甲、乙两人共答对2道题目的情况分为：甲2乙0，甲1乙1，所以甲、乙共答对2道题目的概率为P＝×C×0×3＋×C×1×2＝. (2)依题意，X的可能取值为1,2,3. 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. (3)D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝， 设乙答对的题目个数为Y，则Y～B. 所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝. 1．(2026·四川内江模拟)已知离散型随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为X～B，所以P(X＝2)＝C2×3＝.故选A． 2．(2025·浙江名校协作体适应性考试)设随机变量X服从二项分布B，若P(X≥1)＝0.998 4，则D(X)＝(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.84 [解析]　P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×n＝1－n＝0.998 4，得n＝4，所以X～B，则D(X)＝np(1－p)＝4××＝＝0.64.故选C. A． B． C． D． [解析]　由题意知，恰好有2只测量过该指标的概率为＝＝.故选C. 5．(2025·安徽合肥质检)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为C·3·2×＝.故选C. A．1 B． C．2 D． [解析]　记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 秒杀解法：E(X)＝3×＝2.故选C. 7．(2026·广西北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以P＝C×2×2＝，故选D. 二、多选题 8．(2025·广东部分学校质检)若随机变量X～B(6，p)，且P(X＝3)＝，则(　　) A．p＝ B．E(X)＝2 C．E(2X＋1)＝7 D．D(X)＝3 [解析]　因为X～B(6，p)，所以P(X＝3)＝Cp3(1－p)3＝，整理得p(1－p)＝，解得p＝，则E(X)＝6×＝3，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝7，D(X)＝6××＝.故选AC. A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人 B．随机变量X～B C．随机变量X的数学期望为 D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则P(A)＝ [解析]　设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x，y，z人，则＝＝＝，所以x＝2，y＝3，z＝2，所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，所以A正确；随机变量X的取值有1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以B错误；由期望公式可得随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以C正确；因为P(A)＝P(X＝3)＝，所以D正确．故选ACD. [答案]　 [解析]　每一“爻组”为“阳爻”的概率为，6次独立重复试验，“阳爻”恰出现3次的概率为C·3·3＝＝. 11．(2025·广东八校检测)盒中有3个红球、m个黄球、n个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别．从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为X，则E(X)＝________. [答案]　 [解析]　设盒中共有k个球，则＝，解得k＝6，依题意X满足超几何分布X～H(6,3,3)，故E(X)＝3×＝. [答案]　 [解析]　由题意可知，每次取出红球的概率都是＝，则X＝0,1,2,3，则P(X＝0)＝4＝，P(X＝1)＝C··3＝，P(X＝2)＝C·2·2＝，P(X＝3)＝1－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 四、解答题 13．(2026·安徽三模)甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为p，乙答对每题的概率均为q(0<p<q<1)，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为. (1)求p，q的值； (2)乙回答3题后，记乙的积分为X，求X的分布列和期望E(X)． [解析]　(1)由题意可得 解得 (2)X的可能取值为0,40,80,120， P(X＝0)＝C×3＝， P(X＝40)＝C××2＝， P(X＝80)＝C×2×＝， P(X＝120)＝C×3＝， 则其分布列为 X 0 40 80 120 P E(X)＝0×＋40×＋80×＋120×＝72. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解析]　(1)由2×2列联表中的数据， 可得χ2＝＝＝≈1.389， 因为1.389<2.706，所以根据α＝0.1判断，不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． (2)由题意得，随机变量X的可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以期望为E(x)＝0×＋1×＋2×＝. A．X～B B．P(X＝2)＝ C．X的期望E(X)＝ D．X的方差D(X)＝ [解析]　从袋子中有放回的随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布X～B，故A正确；又P(X＝2)＝C×2×2＝，故B错误；因为X～B，所以E(X)＝4×＝，故C正确；因为X～B，所以D(X)＝4××＝，故D正确．故选ACD. A．P(X＝0)＝ B．P(X＝5)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ [解析]　设A＝“向右下落”，则＝“向左下落”，P(A)＝P()＝，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X～B，P(X＝0)＝5＝，故A正确；P(X＝5)＝5＝，故B错误；E(X)＝5×＝，故C正确；D(X)＝5×＝，故D正确．故选B. 3．(2026·四川成都石室中学诊断)已知随机变量ξ，η满足2ξ＋η＝4，且ξ～B，则下列说法正确的是(　　) A．P(ξ＝2)＝P(ξ＝4) B．E(η)＝1 C．D(η)＝ D．E(ξ2)＝ [解析]　因为随机变量ξ，η，满足2ξ＋η＝4，且ξ～B，所以对于A，P(ξ＝4)＝C4×2＝，P(ξ＝2)＝C2×4＝，所以A不正确；对于B，ξ～B，E(ξ)＝6×＝2，E(η)＝E(4－2ξ)＝4－2E(ξ)＝4－2×2＝0，所以B不正确；对于C，ξ～B，D(ξ)＝6××＝，D(η)＝D(4－2ξ)＝22D(ξ)＝4×＝，所以C不正确；根据D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2，由E(ξ)＝2，D(ξ)＝，则＝E(ξ2)－22，E(ξ2)＝，故选D. [解析]　(1)设事件A＝“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， P(A)＝＝＝. (2)根据题意，X可能的取值为1,2,3 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 故随机变量X的期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 5．(2025·辽宁七校协作体联考)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得20分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖．某班小张同学A类题中有5道会做，B类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． [解析]　(1)从A类7道题中任选4道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以小张同学被终止比赛的概率为＝. (2)由题意可知，X的所有可能取值为40,60,80,100， 则P(X＝40)＝3＝， P(X＝60)＝C××2＝， P(X＝80)＝C×2×＝， P(X＝100)＝C×3＝， 所以X的分布列为 X 40 60 80 100 P 所以E(X)＝40×＋60×＋80×＋100×＝76. (3)小张获得三等奖，共有两种情况， ①第一轮得30分(答对3道)，则第二轮得40分(对2道)，概率为·C·2×； ②第一轮得40分(答对4道)，则第二轮得40分(对2道)，概率为·C·2×， 所以小张同学获得三等奖的概率为·C·2×＋·C·2×＝. [解析]　(1)由题知：X可取0,1,2,3，则： P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)解法一：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p＝＋＝， 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y～B 故P(Y＝k)＝C·k·5－k，(k＝0,1，…，5) 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大． 解法二：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p＝＋＝， 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y～B 故P(Y＝k)＝C·k·5－k，(k＝0,1，…，5) ∴假设当Y＝k时，对应概率取值最大， 则 解得3≤k≤4，而P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝， 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大． $