10.1 两个计数原理、排列、组合 课件-2027届高考数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 计数原理、排列与组合 2022新高考Ⅱ，5 排列问题 6考 数学运算 逻辑推理 2020新高考Ⅱ，6 2023新课标Ⅰ，13 组合问题 2023新课标Ⅱ，3 2020新高考Ⅰ，3 2024新课标Ⅱ，14 计数原理创新题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 二项式原理 2022新高考Ⅰ，13 特定项和特定项的系数 1考 数学运算 随机事件的概率 2020新高考Ⅰ，19(1) 和事件的概率 5考 数学运算 数学建模 逻辑推理 2023新课标Ⅱ，12 积事件的概率 2024新课标Ⅰ，14 古典概型 2022新高考Ⅰ，5 2025新课标Ⅰ，15(1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 事件的相互独立性 2021新高考Ⅰ，8* 事件的独立性的判断 3考 数学运算 数学建模 逻辑推理 2024新课标Ⅱ，18(1) 独立事件同时发生的概率 2025新课标Ⅱ，19(1) 条件概率与全概率公式 2023新课标Ⅰ，21(1)(2) 全概率公式的应用 4考 2025新课标Ⅱ，19(3) 2022新高考Ⅰ，20(2) 公式证明 2022新高考Ⅱ，19(3) 利用公式求解 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 离散型随机变量及其分布列、均值和方差 2024新课标Ⅱ，18(2) 离散型随机变量的决策问题 6考   数学运算 数学建模 逻辑推理 2023新课标Ⅰ，21(3) 两点分布的均值 2021新高考Ⅰ，18(1) 离散型随机变量的分布列 2025新课标Ⅰ，14 2021新高考Ⅰ，18(2) 离散型随机变量的期望 2021新高考Ⅱ，21(1) 正态 分布 2024新课标Ⅰ，9 曲线特征 3考 2022新高考Ⅱ，13 2021新高考Ⅱ，6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【命题形式】 本章内容在选择题、填空题中主要考查排列、组合、二项式定理、古典概型、条件概率、正态分布等，排列、组合的考查方向：一是两个计数原理的应用；二是考查分组与分配问题；三是考查邻与不邻、在与不在等有限制条件的计数问题；二项式定理的考查方向：一是求二项或三项展开式中指定项的系数；二是求两个二项式之积的展开式中指定项的系数；三是已知展开式中项的系数求参数；四是项的系数与二项式系数性质的应用． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 近年出现了考查计数原理的创新题，考查学生的逻辑推理能力，做题时需要注意列举法、分类讨论思想的应用：概率问题是历年高考命题必考的内容，考查方向：一是实际背景下的古典概型求概率；二是求互斥、对立事件的概率、条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式及正态分布中概率．解答题考查方向：一是求离散型随机变量的分布列(超几何分布、二项分布和正态分布等)及其数学期望与方差；二是分布列、期望与统计图表的综合应用；三是利用分布列、期望与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强．考查数据的收集与分析、数学运算、逻辑推理的核心素养． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 备考时要熟练掌握各种题型的特点、计算公式及解题策略，如解决排列组合问题准确辨别限制条件，尤其是“至少”“至多”类型的条件，多从分类讨论或转化为对立事件求解，注意先组后排及分组中的“均分问题”，根据题设条件，准确分类是解决问题的关键！注意区分超几何分布与二项分布；灵活应用正态分布的对称性求值；熟练掌握离散型随机变量的取值，准确计算其对应的事件的概率，学会根据数据做出判断与决策．即过好“四关”：题目的理解关、随机变量的取值关、事件的类型关、概率的运算关！对有关函数、不等式、数列的概率综合题应加强关注． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第一讲　两个计数原理、排列、组合 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[62] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　两个计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝________________________种不同的方法． m1＋m2＋…＋mn 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________________种不同的方法． m1×m2×…×mn 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二　排列与排列数 1．排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______ _________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示． 不同 顺序 所有不 同排列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且 m≤n) n！ 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三　组合与组合数 1．组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______ __________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示． 不同 作为一组 所有 不同组合 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 归 纳 拓 展 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　) (3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)正十二边形共有54条对角线．(　　) (5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个无重复三位偶数．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ (5)√　(6)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二　走进教材 2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是____. [答案]　312 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3.(选择性必修3P23T17改编)(2025·河北部分学校摸底)如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有________种．(用数字填写答案) [答案]　72 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 解法二： ∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)． 区域 1 2 3 4 5 涂法 4 3 2 (与2同色)1 2 (与2不同色)1 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三　走向考场 4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________. [答案]　24　112 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33,44)， (11,22,34,42)，(11,24,33,43)，(11,24,33,42)， (12,21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)， (12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)， (13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)， (13,22,34,40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)， (15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22,31,43)， (15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)， 所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点突破 · 互动探究 返回导航 两个计数原理——自主练透 1．(2026·辽宁大连部分高中适应性演练)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100 m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有(　　) A．8种 B．14种 C．18种 D．24种 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2.(2025·河北邢台质检联盟联考)某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9个小正方形拼成．若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有________条． [答案]　120 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2025·四川成都七中测试)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种． [答案]　72 [解析]　解法一：依次涂染各顶点，不同的涂法如下表： 顶点 P A B D C 涂法 4 3 2 与B同色1 2 与B不同色1 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 故不同的染色方法有4×3×2×(2＋1)＝72(种)． 解法二：若AC同色，BD同色，共4×3×2＝24种， 若AC同色，BD不同色，共4×3×2×1＝24种， 若AC不同色，BD同色，共4×3×2×1＝24种， 故共有24＋24＋24＝72种不同染色方法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申1]若本例2中迷宫隧道猫爬架改为如图，则小猫从A点爬到C点的最短路径有________条． [答案]　84 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　依次涂色，底面ABCD的染色有4种选择，侧面PAB的染色有3种选择，侧面PBC的染色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所染颜色相同，则侧面PAD的染色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所染颜色不同，则侧面PCD的染色有1种选择，侧面PAD的染色有1种选择．综上，不同的染色种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申3]本例3中若将“每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”改为“每条棱染上一种颜色且相交棱不同色”，则不同染色方法有________种． [答案]　48 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 棱 AB BC CD DA 染色 3 4 1 2 4 1 2 3 知共有24×2＝48种染法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申4]本例3若改为“只有五种颜色可供选用”，则不同的染色方法共有________种． [答案]　420 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：两个计数原理的区别与联系   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每一步依次完成才算完成这件事情(每一步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 利用两个计数原理解题时的注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事． (2)对于复杂问题，一般是先分类再分步．当元素个数不多时，可尝试列举法求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2025·山东部分学校质检)某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为(　　) A．240 B．360 C．480 D．640 [答案]　B [解析]　每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目．第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6×5×4×3＝360种．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(多选题)(2026·辽宁实验中学适应性考试)如图，小明、小红分别从街道的E，F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则(　　) A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3 B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35 C．若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32 D．若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 排列问题——师生共研 1．3名男生4名女生站成一排，在下列条件下的不同排法分别为： (1)选其中5人排成一排；________ (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；________ (3)全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；________ (4)全体排成一排，女生必须站在一起；________ (5)全体排成一排，男生互不相邻；________ (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；________ (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；________ (8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．________ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　(1)2 520　(2)5 040　(3)1 320 (4)576　(5)1 440　(6)720　(7)2 520　(8)3 720 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江苏启东中学月考)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为(　　) A．216 B．228 C．384 D．486 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中间的站法有________种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有________种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有________种；(4)3名男生相邻，4名女生相邻的站法有________种；(5)4名女生不全相邻的站法有________种． [答案]　(1)720　(2)960　(3)960　(4)288　(5)4 464 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：求解排列应用问题的常用方法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2026·河北十校联考)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军．”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好．”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为(　　) A．12　 B．18 C．27 D．36 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·山东齐鲁名师联盟诊断)小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为(　　) A．48 B．32 C．24 D．16 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 组合问题——师生共研 1．(多选题)(2026·吉林东北师大附中开学考)某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江苏徐州一中测试)在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有(　　) A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：组合问题常有以下两类题型变化： 1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2025·山西三重教育联盟联考)从3位女生，4位男生中选3人参加垃圾分类宣传活动，且至少有1位男生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写)． [答案]　34 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． [答案]　64 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 排列、组合的综合应用——多维探究 角度1　数字问题 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为(　　) A．512　　 B．192　　 C．240　　 D．108 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为________； (2)本例中将“能被5整除”去掉组成的四位数中偶数的个数为________个，其中比2 310大的四位偶数的个数为________个． (3)本例组成的四位数中1和3相邻的个数为________. [答案]　(1)252　(2)156　109　(3)60 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2　分组、分配问题 1．(多选题)(2026·四川成都蓉城名校联盟联考)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是(　　) A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B．若每人分得2本，则有90种方案 C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D．共有450种分配方案 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·云南玉溪一中月考)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有(　　) A．180种 B．150种 C．96种 D．114种 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申1]本例1中，若甲至少分得3本，则有________种方案． [答案]　150 [引申2]本例1中，若甲至多分得3本，则有________种方案． [答案]　510 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3　相同元素问题 (2026·河北邢台月考)现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上，则不同的放法有________种． [答案]　60 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 1．数字问题注意“0”不能排在首位． 2．分组、分配问题的解题策略是先分组后分配． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 3．相同元素分配问题——隔板法；相同元素排列问题——消序法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)(2026·四川成都郫都区阶段检测)用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有(　　) A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2 000的数 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2＝96个，A正确，B错误；对于C，若个位数为0，则有4×3×2＝24个，若个位数不为0，则有2×3×3×2＝36个，所以可以组成无重复数字的四位偶数24＋36＝60个，C正确；对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字且大于2 000的四位数3×4×3×2＝72个，D正确．故选ACD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(角度2)(2025·山西大同调研)五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有(　　) A．360 B．640 C．1 350 D．1 440 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(角度3)(2025·辽宁新高考研究联盟诊断)把14个相同的球全部放入编号为1,2,3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为(　　) A．36 B．45 C．72 D．165 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 不宜用排列、组合公式的计数问题 1．(多选题)(原创)下列说法正确的是(　　) A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法 B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法 C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种 D．8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有35种 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·浙江名校协作体联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________(用数字作答)． [答案]　20 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　解法一：可用树状图求解(用1表示黑，用0表示白) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2026·四川广安前锋区模拟)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)． [答案]　21 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　黑、白色正方形分别用1、0表示由题意知黑色正方形互不相连，故当n＝1时，有全黑或全白2种，当n＝2时，有01、10、00共1＋2＝3种，当n＝3时，有101、001、010、100、000共2＋3＝5种，当n＝4时，有0101、1010、1001、0001、0010、0100、1000、0000共3＋5＝8种，当n＝5时，有10101、10001、10010、10100、01001、01010、00101、10000、01000、00100、00010、00001、00000共5＋8＝13种，故当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有8＋13＝21种结果：101010、101001、100101、010101、100001、100010、100100、101000、010001、010010、010100、001001、001010、000101、100000、010000、001000、000100、000010、000001、000000共21种，故答案为21. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 1．当问题中涉及的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题； 2．当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数； 3．“圆排”问题“剪断”处理； 4．“元素”相同(如指标分配)问题，“隔板”处理． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 隔板法的解题步骤 1．定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量． 2．定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数． 3．插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数． 4．回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 (2025·广东深圳中学摸底)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有(　　) A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　画树状图求解： 不同传球方式共10种，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 提能训练　练案[62] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·湖北部分高中协作体联考)某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B [解析]　四个人工小岛记为ABCD，对A分有一座桥相连和两座桥相连，用“－”表示桥(1)A只有一座桥相连时，有A－B－D－C，A－B－C－D，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B共6种；(2)A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B共6种；故共有12种．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2026·江西部分学校联考)现有6把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，则这三人互不相邻的坐法有(　　) A．24种 B．30种 C．36种 D．48种 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2026·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为1,2,3,4,5,6的小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为(　　) A．90 B．135 C．270 D．360 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2026·四川成都摸底)在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 6．(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节目，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为(　　) A．288种 B．144种 C．72种 D．36种 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 7．(2026·山西大同学情调研)在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有(　　) A．24种 B．36种 C．6种 D．12种 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 8．(2025·河南顶级名校联盟期中联考)玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木(四个侧面有各不相同的图案)时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，各面棱的颜色都不同，则染法总数为(　　) A．216 B．360 C．720 D．1 080 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 9．(2026·重庆实验外国语学校月考)三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有(　　) A．90种 B．180种 C．125种 D．243种 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二、多选题 10．(2025·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11．(2025·广东深圳外国语学校摸底)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．所有可能的方法有34种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 12．(2025·云南曲靖一中月考)下列说法正确的是(　　) B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D．4名老师派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 三、填空题 13．(2026·江苏镇江期初监测)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有________(用数字作答)种． [答案]　144 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 14．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有________种．(用数字作答)． [答案]　140 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 15．(2026·浙江强基联盟联考)用1,2,3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有________个．(用数字作答) [答案]　60 [解析]　若四位数中没有2，共有24＝16个，若四位数中有1个2，共有4×23＝32个，若四位数中有2个2，共有3×22＝12个，因此共有60个． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 B组能力提升 1．(2025·广东大湾区调研)甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有(　　) A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(多选题)(2026·广东佛山S71联考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(多选题)(2026·江苏苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下列结论正确的是(　　) A．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法 B．若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种 C．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种 D．若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2025·南京师大苏州实验学校调研)有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法． [答案]　480 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2026·广东领航高中联盟检测)为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有________种分法．(用数字作答) [答案]　21 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 C组拓展应用(选作) (2026·湖南常德起点考试)将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生B不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为(　　) A．260 B．280 C．360 D．390 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 谢谢观看 A 3．排列数公式：A＝______________________________________ __________. 4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝________.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝______. C C 3．组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝______. 4．组合数的性质：①C＝________；②C＝________＋________. 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A、C中的隐含条件m≤n，且m，n∈N*. C　 C (2)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　) (6)kC＝nC.(　　) [解析]　上午第一节排数学有4A＝96种排法；上午第一节不排数学有3×3A＝216种排法，∴不同的排法共有96＋216＝312种排法． [解析]　解法一：若用3色涂，则应先把1,2,3,4,5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂，分组方法是35,24,1，此时的涂法有A种，若用4色涂，则应先把1,2,3,4,5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂，分组方法是2,4,35,1或24,3,5,1，此时的涂法有2A种，所以总的涂色方法有2A＋A＝72(种)． [解析]　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种，故选B. [解析]　分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有1×A＝6种情况；②当甲不站在第二位时，甲有2个位置可选，此时乙也有2种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有2×2×A＝8种情况；综上所述，一共有6＋8＝14种情况，故选B. [解析]　小猫要从A点爬到C点，需要先从A点爬到B点，需要走3横3竖，则可选的路径共有C＝20条，再从B点爬到C点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6＝120条． [解析]　四条侧棱染色有A＝24种方法，不妨记4种颜色为1,2,3,4，且PA染1，PB染2，PC染3，PD染4.则由 [解析]　小红到老年公寓可选择的最短路径条数为C＝3，A正确；小明到老年公寓可选择的最短路径C＝35，B正确；若小明经过F处，则小明到老年公寓可选择的最短路径为C·C＝18，D正确；小明不经过F处到老年公寓可选择的最短路径为35－18＝17，C错误．故选ABD. [解析]　(1)从7人中选5人来排，是排列， 有A ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件． (3)(特殊元素优先法)甲站排头有A种排法；乙站排头有CA种排法，故共有A＋CA＝1 320种排法． (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576种． (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种． (6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A种方法．故共有A·A·A＝720种． (7)消序法：＝2 520种． (8)间接法：A－2A＋A＝3 720种． 位置分析法：分甲在右端与不在右端两类． 甲在右端的排法有A(种)排法， 甲不在右端的排法有5×5A(种)排法， ∴共有A＋25A＝3 720(种)． [解析]　先挂2盏吊灯有A＝2种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有A＝6种挂法，最后将宫灯插空挂．当4盏宫灯分成2,2两份插空时有C－1＝5种挂法；当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时有CC＝12种挂法；当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时有1种挂法，所以共有N＝2×6×(5＋12＋1)＝216种不同的挂法．故选A． [解析]　(1)AA＝720；或A＝720. (2)AAA＝960.　(3)AAA＝960. (4)A·A·A＝288.　(5)A－A·A＝4 464. [解析]　由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况：当乙得第4名，有C·A＝12种可能；当乙得第3名，有A＝6种可能，故共有12＋6＝18种，故B正确．故选B. [解析]　1与4相邻，共有A＝2种排法，两个2之间插入1个数，共有A＝2种排法，再把组合好的数全排列，共有A＝6种排法，则总共有2×2×6＝24种密码．故选C. A．若任意选择三门课程，选法总数为C B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC＋CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为CC－C [解析]　若任意选择三门课程，选法总数为C种，故A正确；若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有C种选法，若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有C种选法，由分步乘法计数原理知，总数为CC＋CC种选法，故B正确；若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝C－C种，故C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理不选化学且物理和历史不同时选，有CC种选法；②选化学，不选物理，有CC种选法；③物理与化学都选，有CC种选法，故选法总数为CC＋CC＋CC＝6＋10＋4＝20，而CC－C＝15，故D错误．故选ABC. [解析]　如下图，共有10个点任选4个有C＝210种，每个侧面的6个点都共面，任选4个有C＝15种，共4个面，则有60种共面情况，如EFID，EGDH，FGIH分别构成一个平面，有3种，如PGAH，PFBI，PECD，ADBE，BHCG，AICF分别构成一个平面，有6种，综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有210－60－3－6＝141种．故选A． [解析]　解法一：排除法：C－C＝34(种)． 解法二：直接法：CC＋CC＋C＝34(种)． [解析]　当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16种；当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC＝24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC＝24种；综上所述：不同的选课方案共有16＋24＋24＝64种. [解析]　能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其他三位从剩下的数中任意排3个即可，有A＝ 60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从剩下的4个数中任选2个即可，有A·A＝ 48个，根据分类加法计数原理得可以组成60＋48＝108个不同的能被5整除的四位数，故选D. [解析]　(1)CCCC＝360,360－108＝252. (2)个位为0时有A＝60个；个位非0时有CAC＝96个，故四位偶数有156个；其中比2 310大的偶数中①前三位为231的有1个；②前两位为23第三位为4或5的有3个；③前一位为2第二位为4或5的有9个；④前一位为4的有CA＝24个；⑤前一位为3或5的各有CA＝36个，故共有109个． (3)1、3分别在百位、千位的有CCC＝24个；1、3分别在十位、百位的有CCC＝18个；1、3分别在个位、十位的有CCC＝18个．故1、3相邻的四位数共有60个． [解析]　对于A，甲1本、乙2本、丙3本，方案数为CCC＝60，故A正确；对于B，每人2本，方案数为·A＝90，故B正确；对于C，书本数互不相同(即1,2,3)，所以方案数为CCCA＝360，故C正确；对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为·A＝90，故总的分配方案数为90＋360＋90＝540种，故D错误．故选ABC. [解析]　先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3,1,1，共有CA＝60种情况；②三个路口人数情况2,2,1，共有·A＝90种情况．若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有CA＝36种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有60＋90－36＝114种．故选D. [解析]　CCC＋CA＝150(种)． [解析]　甲得4本有CA＝30种方案，故甲至多得3本有540－30＝510种方案． [解析]　将6本书全排列有6！＝720种情况，因2本数学书，3本物理书相同，则每种情况重复了2！3！＝2×1×3×2×1＝12次，则满足题意的放法有：＝＝60. (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． [解析]　将2名金牌导游分配到3个景区，有3×3＝9种分配方法，若每个景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2.当银牌导游分成三组的人数为1,1,3时，此时共有×A×9＝540种；当银牌导游分成三组的人数为1,2,2时，此时共有×A×9＝810种分配方法．所以不同分配方法有540＋810＝1 350种，故选C. [解析]　先在编号为2、3的盒子里分别放入1个、2个小球．只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，在10个空位中任取2个，插入挡板，有C＝45种方法，即盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选B. [解析]　4封信投入3个信箱有34＝81种不同投法，故A不正确；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性，故C正确；8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定份数)将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有C＝35(种)，(插隔板)，故D正确．故选CD. 解法二：由题意可知第一个格子必须染黑色，全部染黑有1种；1格染白有C种；2格染白有C＋C＝9种；3格染白，最后一格必须染白，有C＋C＝5种．故共有20种染法． [解析]　首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，有A种，共有C·A＝120种，故选C. [解析]　3人插入3个空椅产生的4个空位即可，A＝24(种)．故选A． [解析]　在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有C＝15种，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为15×3×3＝135种选法．故选B. [解析]　先排乙、丙、丁三名同学共有A＝3×2×1＝6种排法；再从三人所产生的四个空中选两个空给甲，有C＝＝6种方法；所以共有A·C＝6×6＝36种安排方法．故选B. [解析]　A，B相邻，捆绑作为一个节目与E、F进行全排列，然后把C、D插入其中的四个空档中，排法总数为AAA＝144.故选B. [解析]　①A小区安排一人，有CCA＝18种，②A小区安排两人，有CA＝6种，所以共24种．故选A． [解析]　根据题意，如图：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，则有A＝24种染法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种染法，则共有5×24×9＝1 080种染法．故选D. [解析]　由题可把五个社区分为1,2,2三组，有＝15种分法，然后将三组看作三个不同元素进行全排列，有A种排法，所以不同的派法共有15·A＝90(种)．故选A． [解析]　由＝20(种)知A错误；由AA＝72(种)知B正确；若甲在最右端有A＝24(种)排法，若甲不在最右端有CCA＝54种排法，54＋24＝78(种)知C错误；由A＝24(种)知D正确．故选BD. [解析]　所有可能的方法有43种，A错误；对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则共有C×3×3＝27种安排，第二种：若有两名同学去工厂甲，则有C×3＝9种安排，第三种情况，若三名同学都去工厂甲，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；对于C，若A必去工厂甲，则B，C两名同学各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有A＝24种安排，D正确．故选BCD. A．11×12×…×20可表示为A [解析]　A＝10×11×12×13×…×20，故A错误；5人两两握手，共握C＝10(次)，故B正确；在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有A＝60(种)，其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有60－1＝59(种)，故C正确；将4人按3,1分派，共CCA＝8种；将4人按2,2分派，共有·A＝6种．故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误．故选BC. [解析]　6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有AA＝240(种)，6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有CAA＝96(种)，所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有240－96＝144(种)． [解析]　若从只会韩语中选3人，则C(C＋CC)＝4×20＝80种，若从只会韩语中选2人，则CCC＝6×10＝60种，故不同的选人方案共有60＋80＝140种． [解析]　因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有n！种排法，由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有＝(n－1)！种排法．甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有(5－1)！种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2！种坐法，故所求坐法为(5－1)！×2！＝48种．故选D. B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA [解析]　每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，B错误；先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则有A种安排方法，C错误；①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有CCA＋CA种安排方法，D正确．故选AD. [解析]　若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有44＝256种放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18种放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C·＝144种放法，故C正确；若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况有(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)，共9种放法，故D正确．故选BCD. [解析]　先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1,2,3,4号位置，因为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有A＝6种排法，当丙在2号位置有A＝2种排法，当丙在3号位置有A＝2种排法，当丙在4号位置有A＝6种排法，共有16种排法；又因为有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有5C＝30种排法，所以共有16×30＝480种排法． [解析]　第一种情况，当2个相同礼盒分给同一人时：有CA＝6种分配方法；第二种情况，当2个相同礼盒不分给同一人时：记4个礼盒分别为A，A，B，C，当AB或AC在一起时，共有C·A＝12种分配方法；当BC在一起时，即将BC分给三个人中任何一个，剩下的2个人，每人分一个A，共有C＝3种分配方法；综上，共有6＋12＋3＝21种分配方法． [解析]　A自己到某地C(C＋C)A＝60(种)，A 2人组到某地CCA＝112(种)，A 3人组到某地CCAA＝72(种)，A 4人组到某地CCA＝16(种)，∴共有60＋112＋72＋16＝260种安排方案．故选A． $