9.2 成对数据的统计分析 课件-2027届高考数学一轮复习

第九章 统计与成对数据的统计分析 第二讲　成对数据的统计分析 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[61] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　变量的相关关系 1．相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个______________另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．散点图 每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的______表示出来，由这些点组成的统计图称为散点图． 去精确地决定 点 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．正相关、负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现________的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现________的趋势，则称这两个变量负相关． 4．变量的线性相关 如果两个变量的取值呈现_______________，而且散点落在_______ ______附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量______________ __________. 增加 减小 正相关或负相关 一条 直线 非线性相关或 曲线相关 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．样本相关系数 称r＝____________________________为变量x和变量y的相关系数． r∈[－1，1]，当r>0时，则成对样本数据__________； 当r<0时，则成对样本数据__________； 当|r|接近1时，成对样本数据的线性相关程度________； 当|r|接近0时，成对样本数据的线性相关程度________. 正相关 负相关 越强 越弱 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点二　一元线性回归模型 1．一元线性回归模型 我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型． 其中，Y称为____________________，x称为____________________；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． bx+a+e 0 因变量或响应变量 自变量或解释变量 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．经验回归方程 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 注：经验回归直线必过样本点中心． 经验回归直线 最小二乘法 最小二乘估计 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．残差分析 观测值 预测值 残差 残差分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)残差的散点图 残差比较均匀地集中分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 小 好 大 差 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点三　列联表与独立性检验 1．分类变量：用以区别不同的现象或性质的随机变量． 2．2×2列联表 设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：   y1 y2 总计 x1 a b __________ x2 c d c＋d 总计 a＋c ________ _______________ a＋b b＋d a＋b＋c＋d 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3.独立性检验 (1)零假设(或原假设) 以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量． H0：____________________________________称为零假设． (2)临界值 2＝________________________________. P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(2≥xα)＝α.称xα为α的__________，这个临界值就可作为判断2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． 临界值 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (3)独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y__________，该推断犯错误的概率不__________； 当2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y________. 这种利用2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 不独立 超过α 独立 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 4．独立性检验解决实际问题的一般步骤 (1)提出零假设H0：X与Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算2值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 归 纳 拓 展 1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则，求出的经验回归方程毫无意义．根据经验回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根据2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(　　) (2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0.(　　) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的2的观测值越大．(　　) (6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× (5)√　(6)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 题组二　走进教材 2．(多选题)(选择性必修3P113T5)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则下列说法正确的有(　　) A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(选择性必修3P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名、治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析甲、乙两种疗法的效果，结论为________. 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　两种疗法效果没有差异 [解析]　由题意得两种疗法数据的列联表 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 题组三　走向考场 4．(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，D选项错误．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．(2022·全国甲卷(节选))甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？   准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 P(2≥xα) 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　根据已知数据得到列联表如下： 公司 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 考点突破 · 互动探究 返回导航 相关关系的判断——自主练透 1．(2026·四川成都蓉城名校联盟联考)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论： 结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92； 结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝－0.12； 结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因 B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联 C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强 D．结论一中|r1|接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　r1＝0.92仅表明PM2.5浓度与机动车保有量线性正相关，且相关性很强，但并不意味着机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，所以选项A错误；r2＝－0.12表示绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率线性负相关，且相关性极弱，但仍有轻微线性相关性，且还可能存在非线性相关关系，所以不能判断无关联，所以选项B错误；线性相关强度由|r|决定，因为|r3|＝0.75<|r2|＝0.92，所以工业能耗与近地面臭氧浓度比结论一的线性相关性更弱，所以选项C错误；|r2|＝0.92非常接近1，表明两者存在极强的线性相关关系．所以选项D正确．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2025·上海实验学校月考)对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是(　　) A．r4<r2<0<r1<r3 B．r2<r4<0<r3<r1 C．r2<r4<0<r1<r3 D．r4<r2<0<r3<r1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　B [解析]　由图中散点的分布趋势知：r1，r3>0，r2，r4<0，由图散点的分布状态知：|r1|>|r3|，|r2|>|r4|，所以r1>r3>0>r4>r2.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师点拨：判断两个变量正、负相关性的方法 1．画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． 2．相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 (多选题)对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是(　　) A．r1<0 B．r2>1 C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2| 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　AC [解析]　由散点图可知，线性相关系数r1的图象表示y与x成负相关，故－1<r1<0，故A正确；线性相关系数r2的图象表示y与x正相关，故0<r2<1，故B错误；∵线性相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正确，D错误．故选AC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 回归分析——多维探究 角度1　一元线性回归模型 1．(多选题)(2026·广西柳州摸底)某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 B．变量y与x之间的线性相关系数r<0 C．预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D．残差绝对值的最大值为0.4 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2026·安徽蚌埠调研)7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》(以下简称《哪吒2》)在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达y(单位：亿元)与所用时间x(单位：天)的数据： 累计票房y 20 40 60 80 100 用时x 4 7 9 10 15 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)利用表中的数据，计算相关系数r(结果精确到0.01)，并推断两个变量的线性相关程度； (2)求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师点拨：一元回归模型问题的解法 1．求经验回归方程 (2)待定系数法：利用经验直线过样本点中心求系数． 2．利用经验回归方程进行预测 把经验回归直线方程看作一次函数，求函数值． 3．利用经验回归直线判断正、负相关 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 角度2　一元非线性回归模型 (2026·湖北部分高中协作体联考)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)根据散点图判断：①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程； (3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(2)中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　(1)由散点图知，点的分布呈现出曲线的趋势，因此更适宜的回归方程为②，即y＝d·cx＋25. (2)由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx， 对等式两边取自然对数， 得ln(y－25)＝ln d＋xln c， 令w＝ln(y－25)，则w＝ln d＋xln c， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (3)依题意，25 ℃室温下，茶水温度降至60 ℃口感最佳， 即60＝60×0.92x＋25， 于是xln 0.92＝ln 7－2ln 2－ln 3≈－0.6， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 B．x与y的样本是负相关 C．当x＝8时，y的预估值为2.2 D．去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r必会改变 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(角度1)(2025·云南名校联考)中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下(不含中国香港、中国台湾)： 中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数 届数 第27届 第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 届数代码t 1 2 3 4 5 6 地点 2000年 悉尼 2004年 雅典 2008年 北京 2012年 伦敦 2016年里约热内卢 2021年 东京 金牌数(y) 28 32 48 38 26 38 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 根据以上数据，建立y关于t的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第34届(2028年洛杉矶奥运会)中国体育代表团金牌总数为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．29 B．33 C．38 D．45 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　－0.3　0.98 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 独立性检验——师生共研 1．(多选题)(2026·河南商丘模拟)2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 　　　感染情况 接种情况　　　　　 感染支 原体肺炎 未感染支 原体肺炎 合计 接种流感疫苗 a＝12 b a＋b 未接种流感疫苗 c d＝13 c＋d 合计 a＋c b＋d＝28 46 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 B．χ2>2.706 C．认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1 D．没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)填写如下列联表： 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？   优级品 非优级品 甲车间     乙车间     返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　(1)根据题意可得列联表： 因为3.841<4.687 5<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异．   优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 (2026·湖北华大新高考联盟质量测评)为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表(单位：人)： 喝咖啡对睡眠 的影响结果 失眠 不失眠 合计 每天喝咖啡 120 380 500 不每天喝咖啡 80 420 500 合计 200 800 1 000 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)记每天喝咖啡的人中患失眠的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　(1)根据列联表可知，每天喝咖啡者共500人，其中患失眠的人数为120人． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 统计分析的综合问题 (2025·四川南充高级中学测试)为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据． 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数(精确到0.001)； (2)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表．依据表中数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．   没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 (2025·云南红河州统测)某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数y(单位：人)的数据如下表： 日期 2月 15日 2月 16日 2月 17日 2月 18日 2月 19日 日期代号x 1 2 3 4 5 购物人数y 77 84 93 96 100 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)根据表中数据，建立y关于x的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数(人数用四舍五入法取整数)； (2)为了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查．得到如下所示不完整的2×2列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30   150 未参与过网上购物   30   合计     200 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)列联表如下： 零假设为H0：参与网上购物和年龄无关． 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 120 150 未参与过网上购物 20 30 50 合计 50 150 200 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 提能训练　练案[61] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2024·高考天津卷)下列图中，相关性系数最大的是(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　观察四幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他三图更接近1.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2025·重庆乌江新高考协作体调研)以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的(　　) A．样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好 B．样本标准差越大，数据的离散程度越小 C．相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越弱 D．决定系数R2越接近1，模型的解释能力越强 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　样本均值不能表示样本的代表性，A错；样本标准差越大，数据的离散程度越大，B错；相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越强，C错；决定系数R2越接近1，模型的解释能力越强，D对．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(2026·湖北黄石起点考试)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2≈0.837，依据小概率值α＝0.1(x0.1＝2.706)的独立性检验，则(　　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y独立 C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 [答案]　B [解析]　因为χ2≈0.837<x0.1＝2.706，所以在显著性水平α＝0.1下，没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量x与y是独立的，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 4．(2026·云南楚雄彝族自治州月考)某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据： 使用年限x(年) 2 4 5 6 8 维护费用y(千元) 2.75 4.25 6.25 7.25 8.75 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．(2025·湖北八市联考)某省采用“3＋1＋2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取200人，其中选考物理的120人，选考历史的80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是(　　) 　　　选择科目 选考类别　　　　 思想 政治 地理 化学 生物 物理类 35 50 90 65 历史类 50 45 30 35 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高 B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例低 C．有90%的把握认为是否选择生物与选考类别有关 D．没有95%的把握认为是否选择生物与选考类别有关 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 选考类别 是否选择生物 选择生物 不选择生物 合计 物理类 65 55 120 历史类 35 45 80 合计 100 100 200 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．商品的价格和需求量存在正相关关系 B．y与x不具有线性相关关系 C．m＝6 D．价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25 t [答案]　D 价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 m 3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 7．(2025·山东济宁一中质检改编)下列说法错误的是(　　) A．将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故B错误；数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故C正确；在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 8．(2026·宁夏银川一中模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：   优秀 非优秀 总计 甲班 10 b   乙班 c 30   合计       返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 附： α 0.05 0.025 0.010 0.005 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 时间 2023年 1月 2023年 2月 2023年 3月 2023年 4月 2023年 5月 2023年 6月 编号x 1 2 3 4 5 6 y/百亿元 y1 y2 y3 11.107 y5 y6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 则下列说法正确的是(　　) A．经验回归直线经过点(3.5，11) C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元 D．相应于点(x4，y4)的残差为0.103 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 10．(2026·河北衡水质检)下列说法中正确的是(　　) A．对于独立性检验，X2的值越大，说明两事件的相关程度越大 B．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 12．现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列2×2的列联表： 根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：有________的把握认为“使用互联网购物与年龄有关”．   年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 165   225 不常使用互联网购物       合计   90 300 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 附： α 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 xα 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 [答案]　95% 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　由条件可得如下表：   年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 165 60 225 不常使用互联网购物 45 30 75 合计 210 90 300 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 四、解答题 13．(2026·江西部分学校调研)数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y(单位：百人)的数据： x 1 2 3 4 5 y 10 12 15 18 20 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)根据第1至第5天的数据分析，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后三位)； (2)根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 14．(2025·高考综合改革适应性演练)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值； 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　(1)由列联表知s＝100＋80＝180， t＝80＋70＝150. (2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180(只)， 未服用药物A且患疾病B的动物有80(只)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (3)零假设为H0：药物A对预防疾病B无效，由列联表得到 根据小概率值α＝0.01独立性检验，推断H0不成立， 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．7 B．8 C．9 D．10 [答案]　C α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(多选题)(2026·广东东莞七校联考、陕西西安长安区一中质检)某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y(千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．由题中数据可知，变量y与x正相关 C．可以预测x＝6时该商场手机销量约为1.72(千只) D．当x＝5时，残差为－0.02 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0 kPa C．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 4．(多选题)(2024·湖北八市联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 a b a＋b 男生 c d c＋d 合计 a＋c b＋d 100 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．表中a＝12，c＝30 B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 12 28 40 男生 30 30 60 合计 42 58 100 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误； 零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异， 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异χ2≈3.941<6.635，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．(2026·四川成都七中入学考试)小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得数据如下： x 1 4 9 16 25 36 49 y 0 4 7 9 11 12 13 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 数据的散点图如图所示： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)判断说法“高度从1 000 cm长到1 001 cm所需时间超过一年”是否成立，并给出理由． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)说法“高度从1 000 cm长到1 001 cm所需时间超过一年”成立． 设其幼苗从观察之日起，第m天的高度为1 000 cm， n－m＝227 393－226 939＝454天， 所以说法“高度从1 000 cm长到1 001 cm所需时间超过一年”成立． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 C组拓展应用(选作) (多选题)(2026·河南郑州外国语学校调研)“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则(　　)   喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 谢谢观看 记＝i，＝i，因此当a，b的取值为 (，)称为样本点的中心． 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为________________，这种求经验回归方程的方法叫做______________，求得的，叫做b，a的________________. (1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为__________，通过经验回归方程得到的称为__________，观测值减去预测值称为________.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为____________. (3)决定系数R2＝1－. 在R2表达式中，(yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和___________________与经验回归方程有关．因此R2越大，意味着残差平方和越______，即模型的拟合效果越______；R2越小，表示残差平方和越______，即模型的拟合效果越______.在线性回归模型中，R2表示解释变量对响应变量的贡献率，R2越接近1，拟合效果越好． (yi－i)2　 2．相关系数r＝. (4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．(　　) B．若由样本数据得到经验回归直线＝x＋，则其必过点(，) 根据列联表中的数据，经计算得到 2＝≈4.881<7.879＝x0.005. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验， 认为两种疗法效果没有差异． 附：2＝， 2＝ ＝≈3.205>2.706. 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 3．线性回归直线方程中：>0时，正相关；<0时负相关． 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为＝1.2x＋，则下列说法正确的是(　　) A．＝0.6 [解析]　依题意＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(2＋3＋4＋5＋7)＝，因为回归直线方程为＝1.2x＋必过样本中心点(，)，则＝1.2×3＋，解得＝0.6，故A正确；回归直线方程为＝1.2x＋0.6，则x与y成正相关，即相关系数r>0，故B错误；当x＝6时，＝1.2×6＋0.6＝7.8，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确； 当x＝1时，＝1.2×1＋0.6＝1.8，残差绝对值为|1.8－2|＝0.2，当x＝2时，＝1.2×2＋0.6＝3，残差绝对值为|3－3|＝0，当x＝3时，＝1.2×3＋0.6＝4.2，残差绝对值为|4.2－4|＝0.2，当x＝4时，＝1.2×4＋0.6＝5.4，残差绝对值为|5.4－5|＝0.4，当x＝5时，＝1.2×5＋0.6＝6.6，残差绝对值为|6.6－7|＝0.4，所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确．故选ACD. 参考公式：经验回归方程＝x＋，其中＝，＝－. 相关系数r＝. 参考数据：iyi＝3 200，＝471，＝22 000，≈12.845. [解析]　(1)由题意有＝＝9， ＝＝60， xiyi＝3 200，x＝471，y＝22 000， 则r＝ ＝ ＝＝≈≈0.97， 所以两个变量具有很强的相关程度． (2)由题意有＝＝＝＝≈7.58， ＝－＝60－×9＝－≈－8.18， 所求经验回归方程为＝7.58x－8.18， 令x＝153，得＝1 151.56， 预测153天时的累计票房为1 151.56亿元，远超过实际票房，故该预测方法不合理． (1)利用公式，求最小二乘估计，. 决定正相关还是负相关的是最小二乘估计. (xi－)(yi－) (xi－)(wi－) 73.5 3.85 －95 －2.24 表中：wi＝ln(yi－25)，＝i 附：(1)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为 (2)参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. ＝i＝＝3， (xi－)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋12＋22＋32＝28， 结合表中数据， 得ln c＝＝＝－0.08， 结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92， 由ln d＝－ln c＝3.85－3×(－0.08)＝4.09， 结合参考数据可得d＝e4.09≈60， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为＝60×0.92x＋25. 整理得xln 0.92＝ln ， 解得x≈＝7.5， 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)(2026·湖南部分学校联考)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)．若已求得一元线性回归方程＝x＋0.34，则下列选项中正确的是(　　) A．＝0.22 [解析]　＝＝3，＝＝1，则样本中心点为(3，1)．对于A，由3＋0.34＝1，得＝0.22，A正确；对于B，由>0，得x与y的样本是正相关，B错误；对于C，当x＝8时，y的预估值为＝0.22×8＋0.34＝2.1，C错误；对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，D错误．故选A． (，精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：(ti－)(yi－)＝11.00，(ti－)2＝17.50)；参考公式：回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. [解析]　＝＝3.5， ＝＝35， ＝＝≈0.63， 所以＝－·＝35－0.63×3.5≈32.80. 所以y关于t的线性回归方程为＝0.63t＋32.80. 2028年对应t＝8，代入回归方程得＝0.63×8＋32.80＝38.16≈38，故选C. 3．(角度2)(2025·广东高中综合测试)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5， ＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为_______； 为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i(i＝1，2，…，8)，若残差平方和(yi－i)2≈0.28，则决定系数R2≈________.(参考公式：决定系数R2＝1－) [解析]　因为f＝cWk，两边取自然对数可得ln f＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，依题意回归直线方程＝x＋7.4必过样本中心点(，)，所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3， 所以k＝－0.3，R2＝1－＝1－＝1－＝0.98. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. A．> [解析]　由表中数据易得a＝12，b＝15，c＝6，d＝13，a＋b＝27，c＋d＝19，a＋c＝18，b＋d＝28，对于A，＝>＝，故A正确；对于B，χ2＝≈0.775<2.706＝x0.1，故B错误；对于C、D，依据α＝0.1的独立性检验，没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，故C错误，D正确．故选AD. (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝ 可得χ2＝＝＝4.687 5， (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.567， 可知>p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d 因此，P的估计值为＝＝0.24. (2)零假设H0：每天喝咖啡与失眠独立(即无关)． 根据表中数据可得， χ2＝＝10>3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每天喝咖啡与失眠有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05. 参考数据：iyi＝22 820，i＝435，＝38 999，107.42≈11 540，xi的方差为200. 附：方差：s2＝(xi－)2相关系数： r＝， 回归方程＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－，χ2＝. [解析]　(1)＝＝50，＝＝87， 又xi(i＝1，2，3，…，5)的方差为(xi－)2＝200， (yi－)2＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2， ＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154， r＝ ＝ ＝ ＝ ≈≈0.996. (2)由(1)知r≈0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合： ＝＝ ＝＝1.07， ＝－＝87－1.07×50＝33.5，故＝1.07x＋33.5， 当x＝100时，＝140.5， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分． (3)零假设H0：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： χ2＝ ＝＝≈12.22， 因为12.22>10.828，所以依据α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－， 2＝. [解析]　(1)由表中数据可得＝3，＝90， (xi－)2＝10，(xi－)(yi－)＝58， 所以＝＝＝5.8， ＝－＝90－5.8×3＝72.6， 所以＝5.8x＋72.6， 令x＝7，可得＝113.2. 因此，估计当年2月21日在该店购物的人数为113人． 根据数据，计算得到： 2＝ ＝＝8， 因为8>7.879， 所以根据小概率α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为参与网上购物和年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 已知x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为＝1.05x＋.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为(　　) A．9.75千元 B．10.05千元 C．10.25千元 D．10.75千元 [解析]　由题意可得＝＝5，＝＝5.85，由于回归直线过样本的中心点，所以1.05×5＋＝5.85，解得＝0.6，当x＝9时，＝1.05×9＋0.6＝10.05，所以当该品牌的新能源汽车的使用年限为9年时，维护费用约为10.05千元．故选B. [解析]　依据题表中数据可知，物理类的学生中选择地理的比例为＝，历史类的学生中选择地理的比例为＝，因为<，所以物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例低，故A错误；物理类的学生中选择生物的比例为＝，历史类的学生中选择生物的比例为＝，因为>，所以物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例高，故B错误；由题中表格数据知，物理类的学生中选择生物和不选择生物的人数分别是65，55，历史类的学生中选择生物和不选择生物的人数分别是35，45，可得2×2列联表如下： 则χ2＝≈2.083，由2.083<2.706知，没有90%的把握认为是否选择生物与选考类别有关，故C错误；由2.083<3.841知，没有95%的把握认为是否选择生物与选考类别有关，故D正确．故选D. 6．(2026·山西大同学情调研)在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为＝28.1－11.5x，根据上述信息，如下判断正确的是(　　) [解析]　由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误；由经验回归方程为＝28.1－11.5x，可知y与x具有线性相关关系，故B错误；又＝＝1.8，＝＝，又经验回归直线方程＝28.1－11.5x必过样本中心点(，)，则＝28.1－11.5×1.8，解得m＝5，故C错误；当x＝1.9时，＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25 t，故D正确．故选D. 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) [解析]　由题意知，成绩优秀的学生数是105×＝30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，故A、B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”，故C正确，D错误，故选C. 二、多选题 9．(2025·福建厦门质检)为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为＝0.42x＋，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示： 参考数据：＝796，(yi－)2＝70. B.＝10.255 [解析]　由题意得＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，因为＝796，(yi－)2＝－62＝70，所以796－62＝70，得＝11，因此该经验回归直线经过样本点的中心(3.5，11)，故A正确；由A知，11＝0.42×3.5＋，得＝9.53，故B错误；由B得＝0.42x＋9.53，则当x＝12时，＝14.57，故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确；当x＝4时，＝11.21，相应于点(x4，y4)的残差为11.107－11.21＝－0.103，(相应于点(xi，yi)的残差i＝yi－i)，故D错误．故选AC. C．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程＝＋x中，＝2，＝1，＝3，则＝1 D．通过回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势 [解析]　对于A，根据独立性检验的性质知，X2的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故A正确；对于B，由y＝cekx，两边取自然对数，可得ln y＝ln c＋kx，z＝ln y，则z＝kx＋ln c，因为z＝0.3x＋4，所以则故B正确；对于C，由于回归直线过点(，)，＝－＝3－2×1＝1，故C正确；对于D，通过回归直线＝x＋及回归系数，可预测变量的取值和变化趋势，故D错误．故选ABC. 三、填空题 11．(2025·江西红色十校联考)已知变量y与x线性相关，由样本点(xi，yi)(xi＝i，i＝1，2，3，4，5)求得的回归方程为＝x＋，若点(x5，y5)在回归直线上，且y5＝2，则i＝________. [解析]　由题意，点(5，2)在回归直线上，∴2＝1＋，解得＝1，又＝3，且样本中心点(，)在回归直线上，∴＝×3＋1＝，故i＋2＝5×，解得i＝6. 其中χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. χ2＝＝≈4.762>3.841＝χ0.050， 所以有95%的把握认为“使用互联网购物与年龄有关”． (参考公式：相关系数r＝，参考数据：≈13.038 回归方程：＝x＋，其中＝＝，＝－) [解析]　(1)依题意可得＝＝3， ＝＝15， iyi＝1×10＋2×12＋3×15＋4×18＋5×20＝251， ＝ ＝， ＝ ＝2， ∴r＝≈0.997，∵r>0.75， ∴两个变量y与x相关关系很强． (2)因为＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴＝＝＝2.6， ∴＝－＝15－2.6×3＝7.2， ∴＝2.6x＋7.2，所以x＝10时＝2.6×10＋7.2＝33.2(百人)， 故预估该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数为33.2百人． 附：χ2＝， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为＝， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为P＝. χ2＝＝≈6.734>6.635， B组能力提升 1．(2025·福建泉州实验中学月考)针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m(m∈N*)人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为(　　) 附：χ2＝，附表： [解析]　根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝＝＝，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知≥3.841，解得m≥8.066 1，于是m的最小值为9.故选C. 若y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.24x＋，则下列说法正确的是(　　) B．线性回归方程＝0.24x＋中＝0.28 [解析]　从数据可得y随着x的增加而增加，所以变量y与x正相关，所以A正确；由表中数据知＝＝3，＝＝1，则样本中心点为(3，1)，将样本中心点(3，1)，代入＝0.24x＋中，可得＝1－3×0.24＝0.28，所以B正确；当x＝6时，该商场5G手机销售量约为＝0.24×6＋0.28＝1.72(千只)，所以C正确；线性回归方程为＝0.24x＋0.28，当x＝5时，可得＝0.24×5＋0.28＝1.48，残差为1.5－1.48＝0.02，所以D错误．故选ABC. 3．(多选题)(2026·湖北部分高中协作体联考)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，这些都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6千米—15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R＝0.09；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e－0.163x，决定系数为R＝0.99，则下列说法正确的是(　　) [解析]　对于A项，由图可知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A项正确；对于B项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B项错误；对于C项，当x＝11时，1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C项正确；对于D项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，又R>R，因此方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，故D项正确．故选ACD. 参考数据：本题中χ2＝≈3.94. [解析]　由题可知，抽取男生人数为600×＝60人，女生抽取的人数400×＝40人，由等高条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60×0.5＝30人，抽取男生不感兴趣的人数为60×0.5＝30人，抽取女生感兴趣的人数为40×0.3＝12人，抽取女生不感兴趣的人数为40×0.7＝28人，2×2的列联表如下 由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确； 女生不感兴趣的人数约为400×＝280人，男生不感兴趣的人数约为600×＝300人， χ2＝≈3.941>3.841， 为近似描述y与x的关系，除了一次函数＝bx＋a，还有＝b＋a和＝bx2＋a两个函数可选． (1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y与x的关系，并求出其回归方程(保留到小数点后1位)； 参考公式：＝＝，＝－. 参考数据(其中ui＝，ii＝x)：＝20，＝4，＝668，＝8，＝4 676，＝140，＝7 907 396，iyi＝1 567，iyi＝283，iyi＝56 575. [解析]　(1)由散点图可知，这些数据集中在图中曲线的附近，而曲线的形状与函数y＝的图象很相似，因此可以用类似的表达式＝b＋a来描述y与x的关系，即三个函数中＝b＋a的图象是拟合y与x的关系“最好”的曲线． 令u＝，则＝bu＋a，根据已知数据， 得＝4，＝8，iyi＝283，＝140， 所以＝＝＝≈2.1， 又回归直线＝bu＋a经过点(4，8)，所以a＝8－2.1×4＝－0.4， 所以y关于x的回归直线方程为＝2.1u－0.4，即＝2.1－0.4. 有1 000＝2.1－0.4，解得m≈226 939， 第n天的高度为1 001 cm， 有1 001＝2.1－0.4，解得n≈227 393， 参考公式及数据：①χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.②当α＝0.05时，xα＝3.841. A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 [解析]　对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P＝＝，故A错误；对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率＝，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P1＝C2×＝，故B正确； 对于C：因为χ2＝＝≈2.667<3.841，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为＝，故D错误．故选BC. $