4.2指数函数（课件）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2 指数函数 参赛教师：祁阳四中王可 人教版数学高一上册 2026年祁阳市优质教学资源评选活动 1 【回顾】大家是否还记得或听说过一个耳熟能详的故事？ 一、背景故事——《国际象棋与米粒》 【故事】一位智者向国王请求赏赐，要求在一个标准的国际象棋棋盘上的每个格子上放置米粒。具体来说，他要求： □ 第一格放1颗米， □ 第二格放2颗米， □ 第三格放4颗米， 以此类推，每个格子的米粒数量都是前一个格子的两倍。 于是，这个请求看起来似乎并不多，因为每个格子上的数量都是一个相对小的数目。国王同意了这个请求，但当计算到最后几个格子时，国王才意识到问题的严重性…… 一、背景故事——《国际象棋与米粒》 8行 8列 8=64格 一、背景故事——《国际象棋与米粒》 8行 8列 我们称之为第1个格子、第2个格子……第n个格子的话，不难发现第n个格子需要放置的米粒数量是 那么在最后第64个格子上米粒数： 次数N取64 9.22* 一、背景故事——《国际象棋与米粒》 9.22* 【指数增长】A、B两个景区旅游人数不断增加，他们自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票。下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量。 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快. 一、背景故事——景区人数增长 为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像： 观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律. 一、背景故事——景区人数增长 A景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 B景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1244 【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过 对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 增加量=变后量-变前量 【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 2002年游客人次 2001年游客人次 =   2003年游客人次 2002年游客人次 =   2015年游客人次 2014年游客人次 =   增长率= 增加量 变前量 【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. 一、背景故事——景区人数增长 【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长。因此，B景区的游客 人数近似于指数增长.即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的 1.1倍左右，增长量越来越多. t年后，B景区游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景区的游客人次: 【指数衰减】南极冬季的冰架面积大约为1880万平方千米，假设冰川每年融化0.1%， 那么n年后南极的冰川的剩余量W为：   一、背景故事 二、指数函数 这种前面一轮与后面一轮的（前后格子、前后一年、前后一月等）之间数量的比值是一个常数，或约等于一个常数，根据其大于0或小于0称之为“指数增长”和“指数衰减” 指数增长常见的例子有“一传十十传百”、投资上的复利、病毒/癌细胞在身体内的繁殖、经济的增长等等；指数衰减常见的例子有考古学中碳14的半衰期、药物在身体里面的代谢等等； 【定义】如果用字母代替上述两个问题中的底数1.11和0.999，那么函数形式，其中，是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常数。 一般地，函数 叫做指数函数。 其中 x 是自变量，定义域是R. 因为所以它是指数函数。 二、指数函数 函数 是指数函数么？ 【1】 解析式中的系数为1 【2】 底数 是常数，满足 【3】 自变量是指数，且 因此，指数函数的定义只是一个形式定义。判断一个函数是不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征. 例如，等都是指数函数，这是因为 。其中，称为指数型函数，称为正整数指数函数. 二、指数函数的特征 ③若，则对于任意，=1，是一个常量，没有研究的意义。 ②若 ，则对于 的某些数值，可以 无意义。如，这 时对于 等情况在实数范围内函数值不存在。 【问题】 指数函数 中为什么规定 ？ ①若，则当，=0，无研究意义；当， 无数学意义。 【答】 【结论】 只有，才在 上都有意义。 二、指数函数的特征 【二】指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像. 一般地，指数函数的图像和性质如下表所示： 过定点（0，1） 减函数 增函数 三、指数函数的图像和性质 -3 -2 -1 1 2 3 1 【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大 图像越高。（底大图高） 【3】①当 ②当 ③当 ④当 【4】指数函数图像下端与 轴无限接近， 但永不相交。 【5】指数函数都是下凸的函数。 三、指数函数的图像和性质 -3 -2 -1 1 2 3 1 【例题】比较下列各题中两个值的大小。 【解】（1）函数 是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73 （2）函数 是减函数，且 （3）因为所以 四、指数函数的应用——例题 （1） 和 （2） （3） 【1】求下列函数的定义域和值域. 【解】 （1） （2） （1） 的值域为 ，则的值域为 （2）定义域为 易知 所以值域为 四、指数函数的应用——例题 【2】不论 为何值，函数 的图像一定经过点P， 则点P的坐标是多少？ 【解】（方法一）当 所以函数经过定点（2，2） （方法二）因为指数函数经过定点（0，1）， 而我们知道从变成 图像向右移动2个单位，向上移动一个单位 此时定点由（0，1）变化成（2，2） 四、指数函数的应用——例题 【3】求出函数 的单调区间. 【解】设 易知在 上是增函数，在上是减函数 当时，在R上单调递增， 所以在上是增函数，在上是减函数 四、指数函数的应用——例题 复合单调增减问题 $