4.3对数 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.1 对数的概念 1 问题引入 问题1 分别求出下列的值： (1)； (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 问题2 如何将中的准确表示出来呢？ 2 概念辨析 1.对数的定义 一般地，如果(，且)，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. ⇔ 底数 指数 对数 幂 底数 真数 3 概念辨析 假设， 问题3 有意义吗？ 不成立 在对数式中，即负数与零没有对数. 则 2.常用对数与自然对数 （1）以10为底的对数称为常用对数，记为； （2）以无理数为底的对数称为自然对数， 记为. 4 性质探究 问题4 指数具有如下两个性质：，据此，你能 得到对数的什么性质呢? 3.对数的性质： 5 性质探究 问题5 这个说法正确吗？ 证明：（1）令，则 （2）令，则 4.对数的重要恒等式： 例 ； . 6 例题讲解 1.求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 课本P123，练习T2 7 例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1); (2); (3); (4); (5); (6). 例题讲解 8 例题讲解 例2 求下列各式中的值： （1） ; （2）; （3）; （4）. 9 例题讲解 2.使式子有意义的的取值范围是（ ） ，且 课本P127，T2（1） 10 课堂小结 1.对数的定义 2.常用对数和自然对数 （1）负数和零没有对数； （2） 3.对数基本性质 4.对数恒等式： ⇔ 记作 记作 . 11 4.3.2 对数的运算 12 问题1 在引入对数之后，自然就应研究对数的运算性质.我们 知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质 得出相应的对数运算性质呢？ 追问 指数幂的运算性质有哪些？ ； ； ； 问题引入 性质探究 问题2 由指数幂的运算性质，你能得出对数 运算的性质吗？ 设 则 ∵ 追问 由指数幂的运算性质，你能得出对数运算的 什么性质？ 设 则 ∵ 性质探究 1.对数的运算性质 如果，且，，，那么 性质探究 例3 求下列各式的值： （1）；（2）. 例题讲解 例4 用表示. 例题讲解 探索公式 问题3 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和 自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.将之一般化，我们就需要解决问题： 根据对数的定义，你能用和表示（且，且）吗？ 问题3 根据对数的定义，你能用和表示 （且，且）吗？ 追问1 根据对数的定义，你能用、表示吗？ 首先应该对哪个数进行变形？变形的方向是什么？ 解：设 于是 则， 则 即 即 探索公式 问题3 根据对数的定义，你能用和表示 （且，且）吗？ 解：设 于是 则， 则 即， 即 探索公式 2.对数的换底公式 探索公式 课本P127，习题4.3 T7 1.证明： ； 探索公式 2.对数的换底公式： 3.由换底公式推导出的重要结论： 例题讲解 （1） （2） 2.化简下列各式： ； 课本P126 例题讲解 例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震之间的关系为. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震的多少倍（精确到1）？ 例题讲解 追问 为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却 相差那么多呢 地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍，每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，1对数值就增加1，真数是原来的100倍，对数值就增加2.所以，在指数幂运算“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢. 例题讲解 1. 对数运算性质： 2. 对数换底公式： 3. 对数换底公式导出的性质： 课堂小结 $