第十章概率单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新教材必修二第十章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解. 【详解】将甲，乙分别记为x，y，另2名同学分别记为a，b． 设“甲，乙只有一人被选中”为事件A，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有，，，，，，共6种， 其中事件A包含的可能情况有，，，，共4种， 故． 故选：B 2．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法求得总的选法种数和符合条件的选法种数，从而可得答案. 【详解】《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c, 《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f, 从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇，有: abd,abe,abf；acd,ace,acf；bcd,bce,bcf,共计9种不同的结果,每种结果都是等可能的，其中含《新安吏》和《无家别》的选法有abe,ace，共有2种， ∴所求概率为, 故选：A. 3．某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，由此能求出结果. 【详解】解：因为某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品， 所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品， 所以P(ξ＝3) ＝ ， 故选：C 【点睛】此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题. 4．春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型计算公式计算即可． 【详解】两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有3种，所以所求概率为． 故选：D． 5．算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具．算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位，、百位…；上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）表示1，即五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小现在从个位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被5整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用列举分析得到所有可能的等可能的情况种数，再考虑能被5整除的情况种数，从而求得所求概率. 【详解】用表示拨出的数的情况，a,b表示上档数，c,d表示下档数，a,c是十位，b,d为个位， (a,b)取(0,5),(5,0), (c,d)可能为(2,0),(0,2),(11,12),(12,11)(后面的两种情况表示第一次拨十位第二次拨个位和第一次拨个位第二次拨十位),共四种不同的情况，每种情况都是等可能的， 故总共有8种不同的情况，每种情况都是等可能的， 只有，两种情况所得数为70和25，能被5整除， ∴所得数能被5整除的概率为， 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的计算，关键是弄清楚总共有多少种等可能的不同情况，并确保各种情况都是等可能的. 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解 【详解】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}， 则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个， 而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等． 因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 故选：D 7．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】因为方程组有解，故直线与圆有公共点， 所以即， 当时，，有3种情形； 当时，，有3种情形； 当时，，有4种情形； 当时，，有18种情形； 故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为. 故选：B. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 8．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 【答案】A 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，， 则2个球都是红球的概率为，故正确， 2个球不都是红球的概率为，故不正确． 至少有1个红球的概率为，故正确， 2个球中恰有1个红球的概率为，故正确， 故选：． 10．（多选）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是（    ） A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 【答案】AD 【解析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可. 【详解】A中两个事件是互斥事件,恰有一名男生即选出的两名中有一名男生一名女生,它与全是男生不可能同时发生； B中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生； C中两个事件不是互斥事件,至少一名男生包含全是男生的情况； D中两个事件是互斥事件,至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生. 故选：AD 【点睛】本题主要考查了互斥事件的判定,属于基础题. 11．设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解； 对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解； 对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解 【详解】若A与B相互独立，则， ∴，故A正确； 若A与B互斥，则，∴，故B错误； ∵，∴， ∴，故C正确； ∵，∴， ∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立. ∴ ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 【答案】 【详解】要求至少有一道“有害垃圾”题的概率，可以先求一道“有害垃圾”题都没有的概率. 总抽法数种，一道“有害垃圾”题都没有的抽法数. 故所求概率为. 13．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________. 【答案】 【分析】根据比分可知前三局输一局第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解. 【详解】中国队以获胜，则一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜. 前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为， 每局比赛独立，概率为. 14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________. 【答案】50 【分析】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品，为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2），利用可求得的值. 【详解】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品， 为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2）， X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且，则， 故易有， 又，，则. ，， 故，解得或（舍），即. 此时甲批次总体，样本； 乙批次总体未知，样本， 根据题意，抽样方法为按比例分层抽样，则，代入解得. 故答案为：50. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数值，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3.现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为m，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为n.设点A的坐标为. （1）请用树状图或列表法，列出所有可能的结果； （2）求点A落在第一象限的概率. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】(1)根据题意画出树状图,即可得到(m,n)所有可能的结果; (2)由(1)中的树形图求得所有等可能的结果与点A落在第一象限的情况,再利用概率公式即可求得答案 【详解】解：（1）画树形图得： 由树形图可知共有、、、、、可能情况； （2）由（1）可知点A落在第一象限的情况有、两种可能，所以其概率. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，求点P落在圆x2＋y2＝16内的概率. 【答案】 【分析】由题，先求出连续掷两枚骰子的所有情况共36种，再找出在圆x2＋y2＝16内的概率的情况，求其概率即可. 【详解】掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝16内的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3),(2,1)，(2,2)，(2,3),(3,1),(3,2)共8种，故所求概率P＝. 【点睛】本题考查了古典概型，列出所有情况，找出符合题意的情况，属于基础题. 17．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，，且两题是否答对相互之间没有影响． （1）求恰好答对一个问题的概率； （2）求至少答对一个问题的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）利用对立事件的概率计算公式即可求解. 【详解】解：设事件A：“答对第一个问题”，事件B：“答对第二个问题”，事件C：“恰好答对一个问题”，事件D：“至少答对一个问题”，由题意事件A与B相互对立． （1）由题意得，且事件与互斥， 所以． （2）由题意，事件“两个问题都答错”可表示为，且事件D与互为对立事件， 所以． 18．“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300．名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈： ①写出这个试验的样本空间； ②求这2人中至少有1人的评分在概率． 【答案】(1)；众数为；中位数为； (2)，，，，，，，，，； 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和为1，可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为的点，众数估计值为最高小矩形的中点； （2）首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，根据古典概型的概率计算公式求解即可 【详解】（1）第三组的频率为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为. 前三组的频率之和为， 这名业主评分的中位数为. 众数为． （2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为. 采用分层抽样法抽取人，评分在的有人，评分在有人. 不妨设评分在的人分别为；评分在的人分别为， 这个试验的样本空间为： ，，，，，，，，，； ②从人中任选人的所有可能情况有共种. 其中选取的人中至少有人的评分在的情况有： ，，，，，，共种. 故这人中至少有人的评分在的概率为. 19．设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设两小球上的数字的乘积为奇数为事件A，根据题意求出即可； （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数：至少一个数为10；两数均不为10，计算概率即可； （3）不妨设取出小球编号为有序数对， 分类讨论取m为质数和m为合数即可． 【详解】（1）由题意，时，抽取一个小球为奇数的概率为，设两小球上的数字的乘积为奇数为 事件A，则，故乘积为奇数的概率为． （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数： 1、至少一个数为10，共有种， 2、两数均不为10，则一个为5，另一个为偶数，共有种， 共计种，故． （3）由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材必修二第十章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 2．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（    ） A． B． C． D． 4．春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（    ） A． B． C． D． 5．算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具．算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位，、百位…；上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）表示1，即五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小现在从个位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被5整除的概率是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（    ） A． B． C． D． 7．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 10．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是（    ） A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 11．设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 13．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________. 14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数值，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3.现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为m，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为n.设点A的坐标为. （1）请用树状图或列表法，列出所有可能的结果； （2）求点A落在第一象限的概率. 16．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，求点P落在圆x2＋y2＝16内的概率. 17．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，，且两题是否答对相互之间没有影响． （1）求恰好答对一个问题的概率； （2）求至少答对一个问题的概率． 18．“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300．名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈： ①写出这个试验的样本空间； ②求这2人中至少有1人的评分在概率． 19．设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $