第九章统计单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新教材必修二第九章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（    ） A．景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98 B．景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283 C．记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为，平均分为，则 D．分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则 【答案】D 【分析】对于A，直接计算极差判断即可；对于B，对数据排列后直接求中位数即可；对于C，计算众数和平均数判断；对于D，由数据的离散程度判断标准差 【详解】解：对于A，景区A这七年的空气质量优良天数的极差为，所以A错误； 对于B，景区B这七年的空气质量优良天数从小到大排列依次为，则中位数为266，所以B错误； 对于C，由图中的数据可知，，则，所以C错误； 对于D，由图中的数据可知，景区A这七年的空气质量优良天数比较分散，而景区B这七年的空气质量优良天数比较集中，所以，所以D正确， 故选：D 2．某工厂从一批产品中抽取一个容量为的样本，根据样本数据分成，，，，五组，得到频率分布直方图如图所示．若样本数据落在内的个数是66，则（    ） A．150 B．300 C．600 D．1200 【答案】A 【解析】先由频率分布直方图求出数据落在内的频率，再由频率等于频数除以总数，可求得的值 【详解】由图可知样本数据落在内的频率为，则． 故选：A 3．已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 【答案】C 【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断的大小. 【详解】由题设，，即， ∴，，即有. 故选：C. 4．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（    ） A．， B．， C．， D．，s1=s2 【答案】C 【分析】先根据茎叶图读书甲乙同学的成绩，然后根据平均数、方差与标准差的概念即可分别求出甲乙的平均数、方差与标准差，从而可以求出结果. 【详解】由题可 知甲同学成绩为74，75，84，88，89，乙同学成绩为76，78，83，86，87， 其中 =82，， 甲同学测试成绩的方差是 ， 标准差是 乙同学测试成绩的方差是 标准差是，， 故选：C. 5．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如下表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设这30名学生得分的中位数为，众数为，平均数为，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位数，众数，平均数的定义，分别求出其值，可得出答案. 【详解】这30名学生得分的中位数为，众数为， 平均数为， 所以 故选：D 6．已知一组数据、、、、的平均数为，方差为.若、、、、的平均数比方差大，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设新数据的平均数为，方差为，可得，，由题意得出得出，由得出，将代入，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】由题意可得，， 设新数据的平均数为，方差为， 则， ， 由题意知，即，可得， ，， ，，， 因此，的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查方差与平均公式的应用，涉及利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，属于中等题. 7．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若数据，方差，则所有的数据都为0 B．若数据，的平均数为，则的平均数为6 C．若数据，的方差为，则的方差为12 D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90 【答案】C 【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误； 对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误； 对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确； 对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于或等于90，故选项错误， 故选：. 8．某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据样本的平均数、标准差及极差的定义分类讨论计算即可. 【详解】不妨设该五个班级的样本数据分别为，且， 则依题意有， 化简得 易知， 又易知五个数据减7的平方数为整数，五个数的绝对值不超过4， 当时，，由数据为整数且均不相同得不成立， 当时，，由数据为整数且均不相同得该四个平方数只能为，则，符合题意，此时极差为6； 当时，，由数据为整数且均不相同得不成立； 综上，五组数据的极差为6. 故选：D 【点睛】本题关键在于对五组数据减7的平方数进行讨论，排除. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（    ） A．极差为7 B．分位数为4 C．平均数为4 D．方差为 【答案】ACD 【详解】将这7个数据从小到大排序为0，2，3，5，5，6，7，则极差为，A正确； ，分位数对应排序后第3个数，为3，B错误； 平均数为，C正确； 方差为，D正确． 10．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 【答案】AC 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：， 新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：， 新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. 11．有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ） A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 【答案】BC 【分析】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为，由题意知平均数也为，故，，，的总和为.选项A，求出，，，的平均数为，若，则需，但是题目中未给出这个条件，选项A错误；选项B，去掉，后，剩余数据为，，，，共个数，中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为，再求新数据的方差，比较大小，即可判断选项D错误. 【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为， 由题意知平均数也为，故，，，的总和为. 选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和， 即，其中，，，的平均数为， 若，则需，但是题目中未给出这个条件， 反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为， 故选项A错误； 选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数， 中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为， ， 设，，，，，，，的方差为， ， 又， 所以， ， 即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某花卉种植园有红、黄、白三个品种的菊花，红色菊花有盆、黄色菊花有盆、白色菊花有盆，现要按照三种颜色菊花的数量比例用分层抽样的方法从中抽取盆参加花展，则需要抽取______盆黄色菊花. 【答案】16 【分析】直接根据分层抽样公式计算即可. 【详解】三个品种的菊花共有盆，需要抽取黄色菊花盆. 故答案为: 13．某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为是_________和_________． 【答案】， 【详解】解：最高分为93，最低分为79，剩余数的和为84+84+86+84+87=425，那么平均数为425/5=84，方差为 14．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 【答案】3 【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解. 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号； 所以， 所以当，时中位数可以达最大， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某车间四个生产小组生产同种产品，其日产量相关资料如下： 组别 工人数/人 日产量/件 1 20 300 2 25 280 3 30 310 4 25 320 (1)计算平均每个小组的日产量； (2)计算平均每个工人的日产量. 【答案】(1)302.5件 (2)12.10件 【分析】根据平均数的定义计算. 【详解】（1）平均每个小组的日产量为（件） （2）平均每个工人的日产量为（件） 16．某市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖区的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2020年的家庭人均纯收入状况进行了调查，经统计，样本数据全部介于45至70（单位∶百元）之间. 现将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这组样本数据的均值和中位数 （2）若家庭的年人均纯收入低于5000元的家庭为“贫困户”，用样本的频率分布估计总体分布，估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为多少. 【答案】（1）57.25，；（2）5（万户）. 【分析】（1）将频率直方图各组用中间值代替，乘以各自的频率，计算平均数；利用中位数平分频率直方图的面积列方程求得中位数； （2）利用样本的“贫困户"的频率作为整体“贫困户”的比例进行计算估计. 【详解】（1）,解得. 样本均值 ; 设中位数为x，则 , 解得∶ ; （2）由频率分布直方图知，样本“贫困户"的频率为0.05， ∴估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为(万户) 17．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 【答案】(1)， (2)这个系统能投入使用，理由见解析 【分析】（1）借助频率和为1计算即可得的值，利用中位数定义计算即可得结果； （2）计算出准确率的平均数即可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为. （2）估计准确率的平均数为， ，所以认为这个系统是准确的，并投入使用. 18．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为分的选做题，学生可以从两道题目中任选一题作答．某校有名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为的样本，为此将名学生的选做题的成绩随机编号为． (1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数． 61  71  62  99  15            06  51  29  16  93 58  05  77  09  51            51  26  87  85  85 54  87  66  47  54            73  32  08  11  12 44  95  92  63  16            29  56  24  29  48 26  99  61  65  53            58  37  78  80  70 (2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为；样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为．试用样本估计该校名学生的选做题得分的平均数与方差． 【答案】(1) (2)平均数约为，方差约为 【分析】（1）将有效的编号由小到大排序，利用中位数的定义可得答案； （2）分别求出样本中选择与选择题目的成绩的平均数和方差，利用样本平均数的性质以及方差的性质计算求解即可． 【详解】（1）根据题意，读取的编号依次是（超界），（超界），（超界），（重复），． 将有效的编号由小到大排序，得， 故样本编号的中位数为． （2）设样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为； 样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为， 则，，，， 所以样本的平均数为， 方差为 ． 故该校名学生的选做题得分的平均数约为，方差约为． 19．某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材必修二第九章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（    ） A．景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98 B．景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283 C．记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为，平均分为，则 D．分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则 2．某工厂从一批产品中抽取一个容量为的样本，根据样本数据分成，，，，五组，得到频率分布直方图如图所示．若样本数据落在内的个数是66，则（    ） A．150 B．300 C．600 D．1200 3．已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（   ） A． B． C． D．无法判断 4．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（    ） A．， B．， C．， D．，s1=s2 5．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如下表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设这30名学生得分的中位数为，众数为，平均数为，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 6．已知一组数据、、、、的平均数为，方差为.若、、、、的平均数比方差大，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若数据，方差，则所有的数据都为0 B．若数据，的平均数为，则的平均数为6 C．若数据，的方差为，则的方差为12 D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90 8．某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（    ） A．极差为7 B．分位数为4 C．平均数为4 D．方差为 10．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 11．有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ） A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某花卉种植园有红、黄、白三个品种的菊花，红色菊花有盆、黄色菊花有盆、白色菊花有盆，现要按照三种颜色菊花的数量比例用分层抽样的方法从中抽取盆参加花展，则需要抽取______盆黄色菊花. 13．某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为是_________和_________． 14．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某车间四个生产小组生产同种产品，其日产量相关资料如下： 组别 工人数/人 日产量/件 1 20 300 2 25 280 3 30 310 4 25 320 (1)计算平均每个小组的日产量； (2)计算平均每个工人的日产量. 16．某市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖区的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2020年的家庭人均纯收入状况进行了调查，经统计，样本数据全部介于45至70（单位∶百元）之间. 现将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这组样本数据的均值和中位数 （2）若家庭的年人均纯收入低于5000元的家庭为“贫困户”，用样本的频率分布估计总体分布，估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为多少. 17．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 18．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为分的选做题，学生可以从两道题目中任选一题作答．某校有名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为的样本，为此将名学生的选做题的成绩随机编号为． (1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数． 61  71  62  99  15            06  51  29  16  93 58  05  77  09  51            51  26  87  85  85 54  87  66  47  54            73  32  08  11  12 44  95  92  63  16            29  56  24  29  48 26  99  61  65  53            58  37  78  80  70 (2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为；样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为．试用样本估计该校名学生的选做题得分的平均数与方差． 19．某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $